高中数学北师大版练习第六章3用样本估计总体分布

§3用样本估计总体分布水平11．频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数据的个数．频数大，发生的可能性就大；反之频数小，发生的可能性小．()2．频数与频率的联系：频数具体地反映了数据分布的情况，频率反映了不同的数据或在不同的范围内出现的数据在整个数据组中所占的比例．它们都反映了一组数据的分布情况．()3．在同一个统计过程中，频数与频率具有以下计算关系：①各试验结果的频数之和等于试验的总次数．②各试验结果的频率之和等于1.()4．在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率；同时各个长方形的面积之和为1.()【解析】1.提示：×.在一定程度上，频率的大小反映了事件发生的可能性的大小．频率大，发生的可能性就大；反之频率小，发生的可能性小．频数不能．2．√.3．√.4．提示：×.在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率和组距的比值．·题组一频数和频率的概念理解辨析1．在容量为50的样本中，某组的频率为0.18，则该组样本的频数为()A．9B．10C．18D．20【解析】选A.频数为50×0.18＝9.2．一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如表：组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数1213241516137则样本数据落在(10，40]上的频率为()A．0.13B．0.52C．0.39D．0.64【解析】选B.由题表知，样本数据落在(10，40]上的频率为eq\f(13＋24＋15,100)＝0.52.·题组二频率分布直方图的理解和性质1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为()A．10组B．9组C．8组D．7组【解析】选B.eq\f(极差,组距)＝eq\f(140－51,10)＝8.9，所以分为9组较为恰当．2．绘制频率分布直方图时，纵坐标是()A．组距B．频数C．频率D．eq\f(频率,组距)【解析】选D.·题组三频率分布直方图的绘制和应用1．某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100].若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是()A．45B．48C．50D．60【解析】选D.低于60分的人数是18人，由频率分布直方图得低于60分的频率为：(0.005＋0.010)×20＝0.3，所以参加体能测试的学生人数为eq\f(18,0.3)＝60.2．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位：千克)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为________．【解析】设报考飞行员的总人数为n，设第一小组的频率为a，则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1，解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25.又第2小组的频数为12，则有0.25＝eq\f(12,n)，所以n＝48.答案：48易错点一注意频率分布直方图的纵坐标的意义为了解某校学生课外阅读的情况，随机统计了1000名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示，则阅读时间在[125，150]中的学生人数为________，图中的a值为________．【解析】由频率分布直方图得阅读时间在[125，150]中的频率为1－(0.004＋0.012＋0.016)×25＝0.2.所以阅读时间在[125，150]中的学生人数为：1000×0.2＝200.a＝0.2÷25＝0.008答案：2000.008【易错误区】注意频率分布直方图的纵坐标是频率和组距的比值．易错点二用频率分布直方图估算各种数据时不细心导致错误(多选)某校高三年级共有800名学生参加了数学测验(满分150分)，已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是()A．a＝0.045B．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160C．这800名学生数学成绩的中位数约为121.4D．这800名学生数学成绩的平均数为125【解析】选BC.对于A，由频率和为1得(0.010×2＋0.025＋a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.035，所以A错误；对于B，这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为：0．010×2×10×800＝160，所以B正确；对于C，这800名学生数学成绩的中位数为：120＋eq\f(0.5－（0.010×10＋0.010×10＋0.025×10）,0.035)≈121.4，所以C正确；对于D，这800名学生数学成绩的平均数为：95×0.010×10＋105×0.010×10＋115×0.025×10＋125×0.035×10＋135×0.015×10＋145×0.005×10＝120.所以D错误．【易错误区】用频率分布直方图运算求解平均数、中位数，需要细心认真．水平1、2限时30分钟分值60分战报得分______一、选择题(每小题5分，共30分)1．一个容量为60的样本数据分组后，分组与频数如下：[10，20)，6；[20，30)，9；[30，40)，12；[40，50)，15；[50，60)，12；[60，70)，6，则样本在区间[10，30)上的频率为()A．eq\f(1,20)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(7,10)【解析】选B.由题意可知样本在区间[10，30)上共有6＋9＝15个数据，因为样本容量为60，所以样本在区间[10，30)上的频率为eq\f(15,60)＝eq\f(1,4).2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)频数234542则样本数据落在区间[10，40)的频率为()A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65【解析】选B.由已知区间[10，40)上的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为eq\f(9,20)＝0.45.3．下表是某电器销售公司2020年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其他类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%－0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是()A．该公司2020年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2020年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2020年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类销售数据后，该公司2020年度空调类电器销售净利润占比将会降低【解析】选B.选项A，该公司2020年度冰箱类电器净利润占比为负值，因此冰箱类电器销售亏损，所以A项正确；选项B，该公司2020年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B项错误；选项C，该公司2020年度空调类净利润占比比其他类占比大得多，因此2020年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C项正确；选项D，剔除冰箱类销售数据后，该公司2020年度总净利润变大，而空调类电器销售净利润不变，因此净利润占比降低，所以选项D正确．4．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.8，则估计样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数共有()分组[10，20)[20，30)[30，40)频数345A.14B．15C．16D．17【解析】选B.由题意可知，样本在[20，60)的数据个数为30×0.8＝24，样本在[20，40)的数据个数为4＋5＝9，因此，样本在[40，50)，[50，60)内的数据个数为24－9＝15.5．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A．588B．480C．450D．120【解析】选B.不少于60分的频率为(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝0.8，所以所求学生人数为0.8×600＝480.6．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为()A．20 B．30C．40 D．50【解析】选C.前3组的频率之和等于1－(0.0125＋0.0375)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×eq\f(2,1＋2＋3)＝0.25，设样本容量为n，则eq\f(10,n)＝0.25，即n＝40.二、填空题(每小题5分，共20分)7．已知样本：71014871211108101310811891291312那么这组样本数据落在范围8.5～11.5内的频数为________，频率为________．【解析】样本容量是20，落在8.5～11.5内的数据有2个9，4个10，2个11，共8个数据，所以频数为8，频率是8÷20＝0.4.答案：80.48．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长方形的面积和的eq\f(1,4)，且样本容量为200，则第8组的频数为________．【解析】设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积和为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频数为200×0.2＝40.答案：409．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20mm.【解析】由题意知，棉花纤维的长度小于20mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20mm的有0.3×100＝30(根).答案：3010．在样本频率分布直方图中，共有11个长方形，中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积的eq\f(1,3)，若样本容量为320，则中间一组的频数为________．【解析】设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，因为中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积的eq\f(1,3)，则y＝3x，又x＋y＝1，解得：x＝0.25，所以中间一组的频数＝320×0.25＝80.答案：80三、解答题11．(10分)已知某工厂有甲、乙两条互不影响的生产线，同时生产一种内径为25.40mm的零件．为了对它们生产质量进行检测，分别从生产的零件中随机抽取部分零件绘成频率分布直方图如图：(1)从直方图中数据均值说明哪条生产线加工零件精确度更高？(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(2)记加工的零件内径尺寸落在[25.38，25.42)的零件为一等品，零件内径尺寸落在[25.42，25.50]的为二等品，零件内径尺寸落在[25.30，25.38)的为三等品．一等品和二等品零件为合格品，三等品零件为次品．从两条生产线生产的零件中分别取10000个零件，试估计其中合格品的零件数．【解析】(1)甲生产线零件内径落在[25.30，25.34)，[25.34，25.38)，[25.38，25.42)，[25.42，25.46)，[25.46，25.50]的频率分别为0.10，0.10，0.35，0.25，0.20，所以内径尺寸的平均值为eq\x\to(x)1＝25.32×0.10＋25.36×0.10＋25.40×0.35＋25.44×0.25＋25.48×0.20＝25.414.乙生产线零件内径落在[25.30，25.34)，[25.34，25.38)，[25.38，25.42)，[25.42，25.46)，[25.46，25.50]的频率分别为0.10，0.20，0.30，0.30，0.10，所以内径尺寸的平均值为eq\x\to(x)2＝25.32×0.10＋25.36×0.20＋25.40×0.30＋25.44×0.30＋25.48×0.10＝25.404.从上面均值说明乙生产线生产的零件的精度更高一些．(2)甲生产线零件合格率