6.2.4向量的数量积5题型分类（原卷版）

6.2.4向量的数量积5题型分类一、两向量的夹角与垂直1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．2．垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.二、向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.三、投影向量在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.四、平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.五、平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).（一）求两向量的数量积求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.题型1：求两向量的数量积11．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是边长为的等边三角形，则．12．（2023下·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则.13．（2023·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则.14．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．1415．（2023下·上海·高一期末）已知向量满足，，则的取值范围是．16．（2023下·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第三中学校考期中）在中，，，，是边上一点，，设，．（1）试用，表示；（2）求的值．17．（2023上·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）若非零向量与满足：，且，，则的最大值为．（二）向量的模和夹角的计算问题1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)来求解.(2)向量的夹角：利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.2、(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘记开方.(2)求向量的夹角，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.题型2：向量的模21．（2023上·江苏徐州·高三期末）已知，，则（

）A． B．C． D．22．（2023·高一课时练习）已知向量、满足，，，求.23．（2023下·吉林延边·高一延边二中阶段练习）设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.24．（2023下·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）已知非零向量满足，且，则．25．（2023下·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）设向量、满足，则．题型3：向量的夹角31．（2023·高二课时练习）已知，满足，，，求与的夹角的余弦值.33．（2023·全国·高一专题练习）已知非零向量满足，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．33．（2023·高一课时练习）设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.34．（2023下·上海浦东新·高一校考期末）已知向量､的夹角为，且，设，.(1)求；(2)试用来表示的值；(3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.（三）与垂直有关的向量问题解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量).题型4：与垂直有关的向量问题41．（2023·高一课时练习）已知，，若，，则．42．（2023下·天津和平·高一统考期末）已知，，向量与的夹角为．（1）求；（2）若与垂直，求实数的值．43．（2023·全国·高三专题练习）若，，试求，夹角的余弦值．44．（2023下·北京·高一景山学校校考期中）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件（四）投影向量(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).题型5：向量的投影51．（2023下·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知平面向量满足，则的最大值是.52．（2023·高一课时练习）（1）在中，，，，求，，的值.（2）已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影．53．（2023下·广东广州·高一广州市天河中学校考期中）已知，若向量在向量上的投影向量为，则.54．（2023上·甘肃临夏·高三统考期中）已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（

）A．－4 B．4C．－2 D．255．（2023下·湖南衡阳·高一统考期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（

）A． B． C．2 D．456．（2023下·河北邯郸·高一统考期末）已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（

）A．与的夹角是锐角B．与的夹角是锐角C．与的夹角是钝角D．与的夹角是锐角2．（2023上·贵州黔南·高二校考开学考试）若,|,的夹角为,则等于(

).A． B．C． D．3．（2023下·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（

）A．2 B． C． D．44．（2023下·山东·高一阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．向量满足B．若向量满足，则C．若向量，则D．对任意两向量，则与是相反向量5．（2023下·高一课时练习）若，，，的夹角为135°，则（

）A． B． C． D．126．（2023下·福建福州·高一福建省福州格致中学校考期末）已知为的外接圆圆心，若，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．8．（2023下·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（

）A． B． C．1 D．29．（2023下·山东济宁·高一统考期中）已知向量，且，则向量在上的投影向量是（

）A． B． C． D．10．（2023下·北京东城·高一统考期末）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（

）A．30° B．45° C．135° D．150°11．（2023下·天津西青·高一天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12 B．8 C．8 D．212．（2023·浙江杭州·统考一模）已知向量，对任意的，恒有，则（

）A． B．C． D．13．（2023下·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）若与都是非零向量，则“”是“”的（

）A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件14．（2023上·山东烟台·高三统考期末）已知，，则（

）A． B． C． D．15．（2023下·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知向量，满足，则与的夹角为（

）A． B． C． D．16．（2023下·高一课时练习）已知,,是与同向的单位向量,则向量在向量上的投影向量是A． B． C． D．17．（2023下·河北张家口·高二阶段练习）已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．18．（2023·浙江杭州·高三假期作业）在中，“”是“是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件19．（2023下·山东淄博·高一统考期末）已知，．若，则（

）A． B． C．2 D．420．（2023·广东·统考一模）已知，，，则（

）A． B．2 C． D．421．（2023上·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（

）A． B． C． D．22．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（

）A． B． C． D．23．（2023·湖北·高一校联考期末）已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．24．（2023下·浙江绍兴·高一统考期末）已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（

）A． B． C．－ D．－25．（2023下·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．26．（2023·浙江·高一校联考期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．27．（2023下·广西桂林·高一统考期末）已知单位向量的夹角为，向量，则的夹角等于（

）A． B． C． D．28．（2023·高二课时练习）设，，是三个向量，以下四个选项正确的是（

）A．B．若，，则C．若，且，则D．若，，，则29．（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（

）A．2 B． C． D．30．（2023·广西梧州·统考一模）已知向量，满足，，，则（

）A．3 B． C． D．431．（2023下·陕西渭南·高一统考期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．32．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．33．（2023下·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考期中）如图所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，则||＝（

）A． B． C． D．二、多选题34．（2023下·重庆铜梁·高一统考期末）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（

）A． B． C．3 D．35．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）中，点M是边的中点，，则一定不是（

）A．4 B．3 C．2 D．136．（2023下·湖北武汉·高一统考期末）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（

）A． B．不与垂直C． D．37．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（

）A．B．C．不与垂直D．38．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知非零向量，，下列说法中正确的是（

）A．若，则与共线且反向B．若，则C．若，则与的夹角为D．若，则的最大值为三、填空题39．（2023上·广西·高三校联考阶段练习）已知，，，则与的夹角是.40．（2023下·江苏·高一专题练习）已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为．41．（2023下·高一课时练习）若向量在向量方向上的数量投影为，且，则.42．（2023上·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）若，且和的夹角为，则43．（2023下·甘肃兰州·高一校考期中）已知向量和向量的夹角为30°，，，则．44．（2023下·高一课时练习）在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为．45．（2023下·安徽黄山·高一统考期末）已知向量，，满足，，，，，则.46．（2023下·山西·高一统考阶段练习）已知平面向量，，满足，，则的最大值是.47．（2023下·黑龙江绥化·高一校考期末）已知满足，则的形状一定是．48．（2023下·甘肃兰州·高一兰州五十一中校考期末）已知