第4章 连续时间信号与系统的复频域分析

第4章

连续时间信号与系统的复频域分析4.1拉普拉斯变换LT4.2连续系统复频域分析4.3连续系统的信号流图及模拟

4.4系统零极图分析4.5系统的稳定性1

频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析；（3）求傅里叶反变换比较麻烦。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s

，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。2一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t（

为实常数）乘信号f(t)

，适当选取

的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为令s=+j,d=ds/j，有34.1.1双边拉式变换双边拉普拉斯变换对F(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为F(s)

的双边拉氏逆变换（或原函数）。4二、双边拉式变换的收敛域使连续时间信号f(t)的双边LTF(s)为无穷大的点为F(s)的极点，显然在收敛域中一定没有极点存在下面举例说明F(s)收敛域的问题。在以为实轴，为虚轴的复平面中，凡能使变换存在的s值范围称为双边拉氏变换的收敛域，记为，在S平面上用阴影表示。5（1）因果信号的收敛域是S平面的某一右半开平面σ：(α、∞)

，全部极点均为区左极点λj，收敛边界α=Re(λj)max图

因果信号的LT的收敛域wj0sa61.部分S平面收敛收敛域收敛边界例

因果信号f1(t)=e

t

(t)

，求其拉普拉斯变换。

解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=

>

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界7

(2)反因果信号的收敛域是S平面上的一个左半开平面σ:(-∞,β)。全部极点均为区右极点λ’j

。收敛边界β=Re(λ’j

)min图

反因果信号的LT的收敛域0swjβ8收敛边界收敛域例

反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=

<

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。9收敛边界收敛域

(3)连续时间信号f(t)的双边LT的收敛域是S平面上的一个带σ:(α，β)。F(s)既有区左极点λj（位于收敛域左方），又有区右极点λ’j。收敛边界：

α=Re(λj)max，β=Re(λj’

)min10图

双边信号的LT的收敛域wj0sαβ11例

求函数的双边拉氏变换及其收敛域。解：当时，上式第一项存在；当时，上式第二项存在，1210010100132.整个S平面收敛14(4)时限信号的收敛域是全S平面σ：(-∞，∞）。f(t)乘指数增长或指数衰减信号，因为时间有限，总是绝对可积的。故在整个S平面内，f(t)e-

t绝对可积。15上述积分过程与σ的取值无关，所以σ可以任意取值，即s可位于全复平面，记为σ：(-∞,∞）3.整个S平面均不收敛16例

求函数的双边拉氏变换及其收敛域。解：当时，上式第一项存在；当时，上式第二项存在，但，所以这个函数在整个S平面均不收敛当

时，若：

则称为收敛区（满足上面极限的的取值范围）。收敛区收敛轴收敛坐标判断收敛域的方法17例题求下列信号

的Laplace变换的收敛域是单脉冲信号即取任何值都可以满足:所以收敛域为s全平面。18例题求下列信号的Laplace变换的收敛域(1)

为时间范围内的脉冲信号，取任何值都可以满足，故收敛域为s

全平面。(2)

当

时，

，故收敛域为s平面

区域。即s右半平面。19(3)当时，，故收敛域为s右半平面(4)当时，故收敛域为s右半平面。(5)当时，故收敛域为s平面的区域。(6)

增长比指数函数要快，不存在合适的值使得，时式存在，所以它们的Laplace变换不存在。20结论凡是定义在有限区间上（有始有终）的能量信号，如例题中的矩形脉冲信号，不管取何值，都能使信号的Laplace变换存在，其收敛域为s全平面。即有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；如果信号是等幅信号或等幅振荡信号，如例题中的阶跃信号，正弦信号，只要乘以衰减因子也可以收敛，收敛坐标落在原点，收敛域为s右半平面。即对任何周期信号只要稍加衰减就可收敛；对于一些比指数函数增长更快的函数，不能找到它的收敛坐标，拉氏变换不存在。21三、双边LT与FT的关系FT:时域函数f(t)频域函数变量

t变量LT:时域函数f(t)复频域函数（变量t、都是实数）变量t变量s(复频率)

t(实数)(复数)

即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。2223在Fourier中用频谱图来描述：在Laplace变换中不能描述的关系。在Laplace变换中一般不画频谱图。24252627例

求下列信号的双边拉氏变换。

f1(t)=e-3t

(t)+e-2t

(t)

f2(t)=–e-3t

(–t)–e-2t

(–t)f3(t)=e-3t

(t)–e-2t

(–t)

解Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<<–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。28一切物理可实现信号和系统都是因果的，即t<0时，f(t)=0。因此计算双边LT时实际的积分下限可取0。考虑到信号f(t)在t=0时刻可能出现冲击或冲击的导数，将积分下限写为0-,从而拉氏变换式写为一切因果信号的双边LT和单边LT全同，本课程主要讨论单边拉氏变换。294.1.2单边拉氏变换一、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Re[s]>

0

要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标

0的值可分为以下三种情况：(1)

0<0，即F(s)的收敛域包含j

轴，则f(t)的傅里叶变换存在，并且F(

)=F(s)s=j

如f(t)=e-2t

(t)←→F(s)=1/(s+2),>-2；则

F(

)=1/(j+2)30(2)

0=0，即F(s)的收敛边界为j轴，

如f(t)=(t)←→F(s)=1/s=()+1/j31(3)

0>0，F(j

)不存在。例f(t)=e2t

(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里叶变换不存在。三、常见函数的拉普拉斯变换1、单位冲击函数2、单位阶跃函数3、指数函数32（1）单位冲激信号即：[]1)()()(0-===ò¥-dtettsFstddLσ：（-∞，∞）33推广:（2）单位阶跃信号即：stε1)(«σ：（0，∞）34（3）指数信号35

f(t)=es0t(t)s0为复常数。即Re[s]＞Re[s0]令s0=

实数，则,Re[s]＞

令s0=

j

虚数，则,

Re[s]＞0常用信号的单边拉氏变换

36说明几点f(t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时应指明其收敛域。在实际存在的有始信号，只要

取得足够大，总是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数(原函数)相差很大。这主要区别在于收敛域。如果拉普拉斯变换的收敛域不包括j

轴，那么傅里叶变换也不收敛。f(t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。37双边拉氏变换单边拉氏变换傅氏变换38联系区别傅氏变换是的双边拉氏变换，或虚轴上的双边拉氏变换，是双边拉氏变换的特例。双边拉氏变换是傅氏变换在s平面上的推广，是复平面上的傅氏变换。单边拉氏变换是时的双边拉氏变换是的傅氏变换。394.1.3拉氏变换的性质（1）线性性40一、双边拉式变换的性质（2）时移（延时）特性此性质说明，若波形延迟了t0，则它的拉氏变换应乘以，反之亦然。4142例

求如图信号的单边拉氏变换。解：f1(t)=

(t)–

(t-1)，f2(t)=

(t+1)–

(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)由于f(t)是时限信号，所以收敛域为全s平面43（3）尺度变换特性则：44例

已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1

[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1

[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)45例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)46（4）复频移特性47484950例

f(t)=cos(2t–π/4)←→F(s)=?解cos(2t–π/4)=cos(2t)cos(π/4)+sin(2t)sin(π/4)5152例

已知连续时间信号求e-tf(3-4t)的双边LT解1：

53解2：

54例

门函数(矩形波)

f

(t)=A[

(t)-

(t-T)]的拉式变换（5）时域卷积定理555657解：由双边LT的时域卷积特性得：取反58解：首先在时域将信号配成全时移59取反FT得：（6）双边LT的时域微分特性60例

已知因果信号f(t)如图,求F(s)解：对f(t)求导得f’(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–2δ(t–2)←→F1(s)61例题求图所示三角脉冲信号的Laplace变换解162解263（7）双边LT的时域积分特性64当N=1时，根据双边LT的时域卷积特性得：依次类推65例

t2

(t)<---->?（8）复频域卷积定理66二、单边LT的性质除具双边LT的全部性质外，还具有如下性质：67（1）复频域微分(时域乘t)特性68推广例题已知求6970解：根据LT的时域卷积特性：71解：（2）单边LT时域微分特性72双边LT时域微分特性：73解（1）已知f(t)21t74（2）计算信号f(t)u(t)的LT即为求信号f(t)的单边LTF(s)f(t)u(t)2t75[f(t)u(t)]’-2t(2)方法1：直接用双边LT的时域微分特性(3)方法1：[f(t)u(t)]’的波形图如下图所示，计算[f(t)u(t)]’的LT76f’(t)-21t(1)方法2：直接用单边LT的时域微分特性（3）复频域积分特性77例例78（4）初值定理和终值定理79应用条件：

必须是真分式。若F(s)不是真分式，则可利用长除法使F(s)中出现真分式项F0(s),则80即：当且仅当F(s)的全部极点在左半s平面，或在s=0处只有一阶极点时，终值定理才可应用。8182例已知求解：因为F(s)是假分式，不能直接使用初值定理，先长除

如果不用长除法，而直接用则将得到的错误结论。8384(6)周期信号的单边LT8586例

求冲激序列的拉普拉斯变换，其中f

1(t)=(t)(1)T2T例题求下图所示周期的半波整流波形的单边象函数。…87f(t)第一个周期的信号为f1(t)

88例题求下图所示单边周期方波的Laplace变换。89拉普拉斯变换的性质90例

锯齿波

查看性质方法一：用复频域微分性质：方法二：用时域微分性质：91AT例查看性质方法二：方法一：因为用频域微分性质：应用频移性质：应用时移性质：应用频域微分性质：92查看性质方法三：应用频移性质：应用时移性质：93求下列函数的拉普拉斯变换。查看性质(1)(2)方法一：方法二：方法一：方法二：94直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若m≥n

（假分式），可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。4.1.4拉普拉斯逆变换95由于L-1[1]=

(t)，L

-1[sn]=

(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n），则可写为式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。96(1)极点为实数，无重根(m<n)

式中，系数ai和bi都为实数，m和n是正整数

，

pi为的极点97例

求下列函数的逆变换解：将F(s)展开成部分分式形式分别求K1,K2,K398对于mn的情况99100例：已知求其拉氏反变换。解：对F(s)进行长除运算，101(2)包含共轭复数极点设：

其中：

则其中：由待定系数法求出。102例：求下列函数的逆变换解：103上两式的分子应相等，即104105解之得：1064.2LTI连续时间系统的复频域分析4.2.1系统函数4.2.2LTI连续时间系统对输入信号的响应4.2.3用单边拉氏变换解微分方程4.2.4用拉氏变换分析电路返回首页1074.2.1系统函数1、系统函数的定义设LTI连续系统输入f(t)时系统的零状态响应为yf(t)，则定义系统函数H(s)为：108它只与系统的结构、元件参数有关，由系统唯一描述，而与激励、初始状态无关。2.h(t)与H(s)是一对LT1093、系统函数的求解方法：(1)根据H(s)的定义，对系统微分方程取拉氏变换，并求得(2)根据系统时域冲激响应h(t)，求其拉氏变换，即(3)根据电路的S域模型，应用电路分析的理论方法，求出响应象函数和激励象函数的比。(4)根据系统模拟图，求出输入象函数与输出象函数的比。110111例题LTI系统微分方程：求系统冲激响应。112113例

已知当输入f(t)=e-t

(t)时，某LTI因果系统的零状态响应

yf(t)=

(3e-t-4e-2t+e-3t)

(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解h(t)=(4e-2t-2e-3t)

(t)微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+

8f(t)s2Yf(s)

+5sYf(s)

+6Yf(s)=2sF(s)+8F(s)

取逆变换yf"(t)+5yf'(t)+6yf(t)=2f'(t)+8f(t)

1144.2.2LTI连续时间系统对输入信号

的响应1151161174.2.3LTI连续时间系统零状态响应的复频域分析LTI连续时间系统的零状态响应：对上式取LT:根据LT的时域卷积特性：取反由于一切物理可实现信号和系统都是因果的，其LT的收敛域为复平面上某一右半开平面

，因此收敛域的公共部分一定存在，所以，今后在讨论因果信号通过因果系统的问题时就不再提及收敛域了。118例：LTI连续时间系统的系统方程为

y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)

，求输入信号f(t)=e-2tu(t)时的零状态响应yf(t)119解：由系统方程得系统函数输入信号的LT:取反得系统零状态响应120例：某LTI连续时间系统的单位阶跃响应为s(t)=(1-e-2t)u(t)，(1)求系统的单位冲击响应h(t)；(2)设系统的输入信号为f(t)，输出信号为y(t)，试写出系统方程；(3)求系统当零状态响应为yf(t)=(1+te-2t-e-2t)u(t)时的输入信号f(t)解

(1)121(2)(3)122例：LTI连续时间系统的系统方程为y”(t)+6y’(t)+8y(t)=f(t),求系统的单位阶跃响应s(t)解：123解(1)由于两种情况下系统的初始状态相同，因此，两种情况下对应的零输入响应也相同，设为ys(t)，两种输入下所对应的零状态响应为：124两式相减得：两边同时取LT得：125(2)系统的零输入响应为系统的零状态响应为全响应：基于单边拉氏变换的时域微分特性：系统的初始状态为4.2.3

用单边拉氏变换解微分方程描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。126

二阶微分方程

f(t)是因果激励整理整理127128与系统的初始状态无关，是系统零状态响应yf(t)的Yf(s)与系统的输入无关，是系统零输入响应ys(t)的Ys(s)例描述LTI系统的微分方程为：2y”(t)+5y’(t)+3y(t)=2f’(t)+8f(t)若输入激励f(t)=e-4tε(t)，初始状态y(0-)=2,y’(0-)=-1，求系统的零输入响应，零状态响应和全响应y(t)。

解：对微分方程等式两边取单边拉氏变换：经整理后，得到响应象函数：129式中只与激励和系统有关，称其为零状态响应拉氏变换式，而只与系统起始状态和系统有关，称其为零输入状态响应拉式变换式。由于初始状态分别代入拉式变换式和中，得：130131求得：所以全响应为：132如果只是求全响应，则可以直接代入初始状态和激励象函数F(s)，整理后得：取拉氏反变换就可以得全响应y(t)，结果同上。133例题描述某LTI系统的微分方程，已知输入，求系统的零输入响应和零状态响应以及全响应。134135例题描述某LTI系统的微分方程，已知输入求系统的全响应。将及各初始状态带入上式1361374.2.4用拉氏变换分析电路1．电阻元件的S域电路模型2．电容元件的S域电路模型3．电感元件的S域电路模型4．用拉氏变换法分析电路138对时域电路取拉氏变换1、电阻u(t)=R

i(t)2、电感U(s)=sLIL(s)–LiL(0-)U(s)=R

I(s)元件的s域模型1393、电容I(s)=sCUC(s)–CuC(0-)4、KCL、KVL方程140例题电路如下图所示，激励为e(t)，响应为i(t)，求s域等效模型及响应的S域方程。141142例题电路如下图所示，求零输入响应is(t)，其中

143144由克拉默法则：例题电路如下图所示，已知

，求i1(t)。145146由克拉默法则：(1)零状态响应147(2)零输入响应148用拉氏变换分析动态电路的步骤将网络中电源的时间函数进行拉氏变换；常用的拉氏变换有：常数AA/s,e-at(t)1/(s+a)画出Ｓ域电路图（特别注意初值电源）；电感、电容和互感分别用其S域模型代替；检查初值电源的方向和数值；电源用其象函数(拉氏变换)代替；电路变量用其象函数代替：i(t)

I(s),u(t)

U(s)运用直流电路的方法求解象函数；用网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理等分析方法求象函数。反变换求原函数。1494.3连续系统的信号流图及模拟

4.3.1连续系统的信号流图4.3.2连续系统的信流图分析4.3.3线性时不变系统的模拟返回首页150

用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由Mason于1953年提出的，应用非常广泛。

信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。一、信号流图1、定义：信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。2、信号流图中常用术语4.3.1连续信号的信号流图151(1)结点：信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。(2)支路和支路增益：连接两个结点之间的有向线段称为支路。每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统函数（转移函数）F(s)H(s)Y(s)即用一条有向线段表示一个子系统。(3)源点与汇点，混合结点：仅有出支路的结点称为源点（或输入结点）。仅有入支路的结点称为汇点（或输出结点）。有入有出的结点为混合结点

152沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为通路。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为闭通路。相互没有公共结点的回路，称为不接触回路。只有一个结点和一条支路的回路称为自回路。(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。(6)前向通路增益，回路增益：前向通路中各支路增益的乘积称为前向通路增益。回路中各支路增益的乘积称为回路增益。(4)通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路：1533、信号流图的基本性质

(1)信号只能沿支路箭头方向传输。支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。(2)当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。如：x4=ax1+bx2+dx5

x3=cx4

x6=ex4154

系统的串联155

系统的并联156

反馈系统E(s)1574.3.2连续系统的信流图分析——梅森规则信流图行列式：其中为系统信流图中所有环路系统函数之和；为系统信流图中所有两两不接触环路的系统函数乘积和；为系统信流图中所有的三个互不接触的环路系统函数乘积和；……158

2、梅森公式：提供一个不列写方程，直接观察写出系统函数H(s)的方法。159i表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号Pi

是由源点到汇点的第i条前向通路增益；即第i条开路的系统函数△i

称为第i条前向通路特征行列式的余因子，是移去Pi剩下子图的行列式消去接触回路例题用梅森公式求下图所示系统的传递函数。160例题用梅森公式求下图所示系统的传递函数。161例题用梅森公式求下图所示系统的传递函数。162流图共有四个回路，各回路增益为：它只有一对两两互不接触的回路：回路增益乘积为：没有三个以上的互不接触的回路：163有两条前向通路，各前向通路增益为：由于各回路都与该通路接触，所以前项通路：不与T2接触的回路有所以：164例求下列信号流图的系统函数解

(1)首先找出所有回路：L1=H3GL2=2H1H2H3H5

L3=H1H4H5

(2)求特征行列式△=1-(H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5)+H3GH1H4H5(4)求各前向通路的余因子：△1=1，△2=1-GH3

(3)然后找出所有的前向通路：p1=2H1H2H3

p2=H1H4

1654.3.3线性时不变系统的模拟系统的模拟是采用几种基本部件的组合形式来描述系统的，并使其与被模拟系统的数学模型一致，从而实现对系统的计算机仿真。通过计算机仿真实验可以更加快捷、方便地获得系统分析的结果，对于实际物理系统的设计与调试具有重要的工程意义。1661、系统模拟的基本部件系统除了可以抽象为数学模型以外，还可以借助一些能够反映输入与输出关系的理想运算单元的组合来表示系统。将这些具有某种特定运算功能的运算单元称为基本部件。167框图模拟的基本单元一加法运算器

1168标量乘法器

2169积分器

31702、线性时不变系统的模拟（1）直接实现形式（2）级联形式（3）并联形式171一、直接实现---利用Mason公式来实现例分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除1之外，其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。所有回路均相接触。二、级联实现将H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函数的乘积，即H(s)=H1(s)H2(s)…Hn(s)，做每一子系统直接实现形式模拟图，再将这些子系统的模拟图级联起来

172三、并联实现将H展开成部分分式