2023中考数学几何压轴题(辅助线复习)

中考压轴题专题几何(辅助线)

精选1.如图，RtZ\A8C中，NABC=90。，DE垂直平分AC,垂足为。，AD//BC,且AB=3,BC=4,那么AD的长为.

精选2.如图，MBC中，ZC=60°,/CAB与/CBA的平分线AE,

录证：DE=DF.

精选3.：如图，。0的直径AB=8cm,P是AB延长线上的一点，过点P作。0的

切线，切点为C,连接AC.

(1)假设NACP=120°,求阴影局部的面积；

(2)假设点P在AB的延长线上运动，ZCPA的平分线交AC于点M,ZCMP的大小

是否发生变化？假设变化，请说明理由；假设不变，求出NCMP的度数。

精选4、如图1,R3ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,点。是斜边AB上一

动点，以OA为半径作O0与AC边交于点P,

⑴当。人=王时，求点0到BC的距离；

2

(2)如图1,当OA=K时，求证：直线BC与0。相切；此时线段AP的长是多少？

8

(3)假设BC边与。。有公共点，直接写出OA的取值范围；

(4)假设CO平分NACB,那么线段AP的长是多少？

精选5.如图，ZkABC为等边三角形，ZBDC=120°,AD平分N8DC,

求证：BD+DC=AD.

精选6、矩形A8CD的一条边AD=8,将矩形A8CD折叠，使得顶点B落在CD边上的P

(1)如图1,折痕与边3c交于点。，连结AP、OP、0A.

①求证：丛OCPs丛PDA；

②假设△OCP与△PDA的面积比为1：4,求边AB的长；

(2)假设图1中的点P恰好是CD边的中点，求/OAB的度数；

⑶如图2,在(1)的条件下，擦去折痕A。、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A

»»*»»»

不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连结MN交P8于点F,作ME_L8P于点E.试问当点M、

N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？假设变化，说明理由；假设不变，求出线段EF的长度.

精选7、如图，四边形ABCD是边长为2,一个锐角等于60。的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点

与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA(或它们的延长线)于点E、F,

ZEDF=60°,当CE=AF时,如图［小芳同学得出的结论是DE=DF.

(1)继续旋转三角形纸片，当CEXAF时，如图2小芳的结论是否成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请

说明理由；

(2)再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；

(3)连EF,假设ADEF的面积为y,CE=x,求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多

少？

精选8、等腰RSABC中，NBAC=90。，点A、点B分别是X轴、y轴两个动点，直角边AC交X轴于点D,斜边

BC交y轴于点E；

(1)如图⑴,假设A(0,1),B(2,0),求C点的坐标;

⑵如图⑵，当等腰RtAABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE,求证：ZADB=ZCDE

(3)如图(3),在等腰RtAABC不断运动的过程中，假设满足BD始终是NABC的平分线，试探究：线段OA、

OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由.

精选9.如图，正方形A8CD的四个顶点分别在四条平行线(、'、"上，这四条直线中相邻两条之间的距

离依次为/?(、h2、h}(%>0,h2>0,总>0).

(1)求证：%=用；

(2)设正方形ABC。的面积为S,求证：5=(4+")2+〃；；

(3)假设14+4=1,当々变化时，说明正方形A8CQ的面积

S随力的变化情况.第题图

参考答案

精选1

解：YRtZVlBC中，ZABC=90°,AB=3,8c=4,

**•/'C=VAB2+BC2=V32+42=5'

垂直平分AC,垂足为。，

NAOD=N8=90°,

22

'SAD//BC,

：.NA=NC,

△AODS/XCBA,

...也=色，即旭=Z_§,解得4D=

ACBC548

故答案为：

8

精选2

证明：在A8上截取AG,使AG=AF,C

易证aADF丝ZViDG(SAS).

E

：.DF=DG.VZC=60°,

AD,BO是角平分线，易证/AD8=120。.

，NADF=NADG=NBDG=NBDE=60°.

^iiEABDE^ABDG（ASA）.

：.DE=DG=DF.

精选3、

解：（1）连接OC.

PC为。0的切线，

/.PC±OC.

ZPCO=90度.

,/ZACP=120°

ZACO=30°

,/OC=OA,

・•・ZA=ZACO=30度.

・•・ZBOC=60°

,/OC=4

PC=4-tan600=4遂

g打

S阴*=SAOPC-S用形BOC=1;

3

⑵NCMP的大小不变,ZCMP=45°

由（1）知NBOC+NOPC=90°

PM平分NAPC

ZAPM」NAPC

2

---ZBOC

2

ZPMC=ZA+ZAPM=1（ZBOC+ZOPC）=45°.

2

精选4、

解：（1）在RtAABE中，起二4AC2+BC2=Y32+42=5"（1分）

过点。作ODJLBC于点D,那么。DllAC,

5K—-5

△ODB-AACB,=，UD_--------2...OD__3（

ACTAB3~52

点。到BC的距离为国（3分）

2

⑵证明：过点。作OEJLBC于点E,OFJLAC于点F,

_15

5R——

Q

AOEBsAACB,=0E_-------8t...E_15.

AC~AB3~58

直线BC与0。相切.（5分）

此时，四边形OECF为矩形，

AF=AC-FC=3-

88

OF±AC,二AP=2AF=2（7分）

4

⑶（9分）

oZ

⑷过点。作OGJLAC于点G,OH_LBC于点H,

又•.CO平分NACB,..OG=OH,，矩形OGCH是正方形.（10分）

设正方形OGCH的边长为X,那么AG=3-x,

OGIIBC,△AOG-△ABC,

.0GAG.3

"BC=AC'…AG="^x'

3-x=3乂』，AP=2AGH.（12分）

4X7-7

精选5、

证法1：（截长）如图,截DF=DB,易证△DBF为等边三角，然后证△BDC丝48"即可;

证法2:（截长）如图,截DF=DC,易证AOCF为等边三角，然后证△BDC^^AFC即可;

证法3:（补短）如图,延长BD至F,使DF=DC,止匕时BD+DC=BD+DF=BF,

易证△DCF为等边△,再证aBCF四△ACD即可.

证法4:（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆.

设A8=AC=BC=a,根据（圆内接四边形）托勒密定理:

CD,a+BD,a=AD,a,得证.

精选6、

解：（1）如图1,①；四边形ABC。是矩形，；.AD=8C,DC=A8,NDA8=/B=NC=NO=90。.

由折叠可得：AP^AB,PO=BO,ZPAO=ZBAO.NAPO=/B.

NAPO=90°.

ZAPD=900-ZCPO=ZPOC.

"：ZD=ZC,ZAPD=ZPOC.

：./\OCP^/\PDK.

②:△OCP与△PDA的面积比为1：4,

•OC.O^CP.H-l

"PDPADAV42-

APD^2OC,PA=2OP,DA=2CP.

♦；AD=8,；.CP=4,BC=8.

设OP=x,那么OB=x,CO=8-x.

在Rt/\PCO中，

VZC=90°,CP=4,OP=x,C0=8-x,

.".x2=(8-x)2+42.

解得：x=5.

，AB=AP=2OP=10.

.•.边AB的长为10.

(2)如图1,

,.•P是CD边的中点，

DP=1DC.

2

VDC^AB,AB=AP,

DP^IAP.

2

ZD=90°,

sinZDA.

AP2

，ZDAP=30°.

'：ZDAB=90°,ZPAO=ZBAO,ZDAP=30°,

/OA8=30°.

二ZOAB的度数为30°.

(3)作MQ〃AN,交P8于点Q,如图2.

"：AP=AB,MQ//AN,

：.NAPB=ZABP,ZABP^ZMQP.

：.NAPB=/MQP.

：.MP=MQ.

'：MP=MQ,ME±PQ,

：.PE=EQ=1PQ.

2

•；BN=PM,MP=MQ,

/.BN=QM.

'：MQ//AN,

:.NQMF=NBNF.

在△MFQ和△A/FB中，

，ZQMF=ZBNF

,ZQFM=ZBFN.

QM=BN

/.△/WFQ^A/VFB.

，QF=BF.

，QF=」QB.

2

，EF=EQ+QF=3PQ+」QB=1PB.

222

由(1)中的结论可得：

PC=4,BC=8,NC=90°.

•'-pe=V82+42=4^-

EF=%B=2娓.

2

.•.在(1)的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2泥.

精选7、

解：(1)DF=DE.理由如下:

如答图1,连接BD.

•.•四功形ABCD是菱形，

；.AD=AB.

XVZA=60",

AABD是等边三角形，

；.AD=BD,ZADB=60°,

AZDBE=ZA=60°

VZEDF=60o,

，ZADF=ZBDE

ZADF=ZBDE.\•在aADF与^BDE中，＜AD=BD

ZA=ZDBE

.•.△ADF^ABDE(ASA),

；.DF=DE;

(2)DF=DE.理由如下：

如答图2,连接BD.•.•四边形ABCD是菱形,

；.AD=AB.

又；NA=60°,

...△ABD是等边三角形，

，AD=BD,NADB=60°,

AZDBE=ZA=60"

VZEDF=60°,

/.ZADF=ZBDE.

"ZADF=ZBDE

V^EAADF与4BDE中，AD=BD

ZA=ZDBE

/.△ADF^ABDE(ASA),

.\DF=DE；

〔3［由(2)知，AADF^ABDE.那么SAADF=SABDE,AF=BE=X.

依题意得：Y=SABEF+SAABD=—(2+X)xsin60°+—x2x2sin60°=^^(x+1)2+V^.即y=Y^(x+1)之+/

224444

:遢>0,

4

该抛物线的开口方向向上，

当x=0即点E、B重合时，y旭小值=近.

2

精选8、

(1)解：过点C作CFLy轴于点F,

ZAFC=90",

ZCAF+ZACF=90°.

1•,AABC是等腰直角三角形,ZBAC=90°,

AC=AB,ZCAF+ZBAO=90°,ZAFC=ZBAC,

ZACF=NBAO.

在小ACF和^ABO中，

，ZAFC=ZBAC

<ZACF=ZBAO.

AC=AB

...AACF空△ABO(AAS)

二CF=OA=1,AF=0B=2

OF=1

C(-1,-1)；

(2)证明：过点C作CG_LAC交y轴于点G,

ZACG=ZBAC=90°,

ZAGC+ZGAC=90".

ZCAG+ZBAO=90",

...ZAGC=ZBAO.

ZADO+ZDAO=90°,ZDAO+ZBAO=90°,

ZADO=ZBAO,

/.ZAGC=ZADO.

在4ACG和4ABD中

△ACG号△ABD(AAS),

CG=AD=CD.

•・•ZACB=ZABC=45°,

・•・ZDCE=ZGCE=45°,

在小DCE和^GCE中，

'DC=GC

<ZDCE=ZGCE，

CE=CE

DCE合△GCE(SAS),

ZCDE=ZG,

ZADB=ZCDE；

(3)解：在OB上截取OH=OD,连接AH

由对称性得AD=AH,ZADH=ZAHD.

•••ZADH=ZBAO.

ZBAO=NAHD.

BD是NABC的平分线，

ZABO=ZEBO,

ZAOB=ZEOB=90°.

在小AOB和4EOB中,

，ZAB0=ZEB0

<0B=0B，

ZA0B=ZE0B

△AOB”△EOB(ASA),

AB=EB,AO=EO,

r.ZBAO=ZBEO,

ZAHD=ZADH=ZBAO=ZBEO.

ZAEC=ZBHA.

在^AEC和4BHA中，

"ZAEC=ZBHA

<ZCAE=ZAB0，

AC=AB

△ACE2△BAH(AAS)

AE=BH=2OA

---DH=2OD

BD=2(OA+OD).

精选9、

(1)证：设A。与4交