2022届高考数学考前提分题

2022年高考数学考前提分题

1.平行四边形中(图1),N/=60°,AB=2AD,将△力8。以8。为折痕折起，使

得平面48。，平面8C。，如图2.

(1)证明：平面48C,平面480；

(2)m为线段HC上靠近⑷的三等分点，求二面角M-8。-C的余弦值.

【分析】(1)在△45。中，设则48=2°,求解三角形证明，DLDB,结合平

面平面8C。，可得Z'。，平面8C。，得到HDA.BC,再证明8CJ_O8,即可

得到8C1平面/'DB,进一步得到平面48CJ_平面48。；

(2)以。为原点，D4为x轴，为y轴，DA'为z轴，建立空间直角坐标系，利用

向量法求解.

【解答】解：(1)证明：在中，设则N8=2a,

由余弦定理得，BD=>JAB2+AD2-2AB-ADcosA=V3a,

：.AD2+BD2=AB2,^ADYDB,翻折后有/'DLDB,

又•.•平面48Z)_L平面BCD,且平面48。n平面BCD=DB,

根据平面与平面垂直的性质定理可得，A/平面BC。，

又；8Cu平面8C£>,：.A'DLBC.

在平行四边形/8CO中，ADA.DB,BC//AD,J.BCLDB,

DCDB=D,."C，平面TDB.

：8Cu平面BC,二平面48C_L平面©8。；

y

图1图2

(2)以。为原点，D4为x轴，。8为^轴，DAf为z轴，建立空间直角坐标系，可设

AD=lf

AfD=1,48=2,BD=遮,则8(0,V3,0),C(-1,V3,0),Af(0,0,1),

7171V311V32

AM=-3^AC3=3(一亍，3—，—□)>>3•M3(—53,—,一),

—1y[32Tf—

••DM=(-5,—，—)，DB—(0,V3,0),

333

可取平面。。的法向量为£=(0,0,1),

、r,,,,,、rT/、_.f772,DM=-3%++KZ=0

设平面MD8的法向重为m=(x,y,z),则J_333,

•DB=y/3y=0

可取益=(2,0,1),

TT,—

t-、m-nV5

cosm/n>=Tt=丫，

17nlMI5

二二面角M-BD-C的余弦值为日.

【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了二面角的

求解，考查运算求解能力，是中档题.

2.如图，在三棱锥P-48C中，NACB=9Q°,以_1_平面45C；

(1)求证：平面以CJ_平面P8C；

(2)若AC=BC=R4,求二面角N-PB-C的正切值.

【分析】(1)由ZC_L8C,R1_L8C可知8C_L平面R1C,结合8Cu平面尸8c即可得证；

(2)作辅助线，分析可知NCE。为二面角4-尸5-。的平面角，再求出Rt^CDE中各

边长，进而可求得二面角A-PB-C的正切值.

【解答】解：(1)证明：•.•/NC5=90°,

：.AC±BC,

平面NBC,5Cu平面/BC,

：.PA±BC,

5LAC^PA=A,以u平面以C,4Cu平面刃C,

；.8C_L平面处C,

又8Cu平面PBC,

，平面以。_1_平面PBC；

(2)如图所示，过点C作。＞_L/8于点过点D作DEA.PB于点E,连接CE,

"JPAY^-^ABC,CDu平面N8C,

：.PALCD,

又CDUB,Rlu平面以8,48u平面必8,PAHAB=A,

，CD_L平面为8,WJCDLPB,

又DELPB,CDCDE=D,CZ)u平面CDE,DEu平面CDE,

.,.PS±¥ffiCDE,则尸B_LCE,

，NCED为二面角A-PB-C的平面角,

则心曷邛

设AC=BC=PA=\,PC=V1+1=V2,PB=yjl+1+1=y/3,

V2xlV6

CE=~7T=T

CD_T_V3

.•.在RtZiCDE中，sin乙CEDZT=7I=T'

T

又二面角A-PB-C的平面角为锐二面角,

：.tanACED=V3,即二面角/-P8-C的正切值为g.

【点评】本题考查面面垂直的判定以及二面角的求解，考查推理论证能力及运算求解能

力，属于中档题.

3.如图，四棱锥P-/8C。的底面为矩形，〃1.平面/188,4P=AB,尸是尸8的中点，E

是8c上的动点；

(1)证明：PE1AF；

(2)若BC=2BE=26AB,求直线RI与平面POE所成角的大小.

【分析】(1)建立合适的空间直角坐标系，设AP=4B=2,BE=a,求出所需点的坐标

和向量的坐标，然后利用向量垂直的充要条件证明即可；

(2)利用题中的条件，求出点。的坐标，求出所需向量的坐标，利用待定系数法求出平

面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(1)证明：以点/为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设4P=AB=2,BE=a,

则/(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),E(a,2,0),

所以届=(a,2,-2),AF=(0,1,1),

故病-7lF=ax0+2xl+(-2xl)=0,

所以昆1”，

故PEL4F；

(2)解：因为BC=2BE=26AB,则0(4次，0,0),

所以访=(4旧，0,-2),PE=(2V3,2,-2),

设平面PDE的法向量为1=(x,y,z),

则斤@=0,即(4e一2z=0,

tn-PE=012岛+2y-2z=0

令x=l,贝!|z=2>/5,y=V3,

故7=(1,V3,2V3),

又晶=(0,0,2),

|4P/|_4百_/3

所以|cosV4P,n>\=

\AP\\n\"+12+3x22'

故直线PA与平面PDE所成角的大小为60°.

【点评】本题考查了空间向量在立体几何的综合应用，涉及了空间向量垂直的坐标表示，

线面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将

空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

22

4.已知椭圆与双曲线一x-乙y二1有相同的焦点，且该椭圆过点P（5,2）.

2016

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆左焦点为尸，过尸作直线/与椭圆交于/、8两点，若弦中点在直线

上，求直线/的方程.

【分析】（1）由题可求椭圆的焦点，再结合条件即可求得椭圆方程；

（2）由题可设直线方程为x=my-6,联立椭圆方程，利用韦达定理法即可确定直线方

程.

【解答】解：（1）方法一：由题意，椭圆与双曲线或一1有相同的焦点为（±6,0）,

2016

x2y2

设椭圆的方程为：一^+77=l（a>b>0）,

a2b2

254

因为椭圆过点P（5,2）,可得一j+==1,

a2b2

又由c=6及以2=必+，,解得d=45,序=9,

22

所以椭圆的方程为六X+-V=1.

459

第2y2

方法二：由题意，椭圆与双曲线右一♦=1有相同的焦点为（土6,0）,

所以2Q=J（5+6）2+22+J（5—6尸+2?=6炳,得Q=3V5,

所以82=（3通乃一62=9,

所以椭圆的方程为1x++y=1.

459

（2）当直线与x轴重合时不满足题意;

当直线与x轴不重合时，设直线方程为x=my-6,

x=my—6

由x2y2消x化简得（谓+5）y2,-\2my-9=0,

.45+V=1

,

设/（xi，yi）,B（X2，y2）>得y[+丫2=1）工’

因为弦AB中点在直线y=所以二券=工解得m=12±V139,

47712+52

所以直线I的方程为x-（12-V139）y+6=0或x-（12+V139）y+6=0.

【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系及其应用等知识，属于

中等题.

5.如图，椭圆C：各*l（a>b>0）的离心率为?且经过点（仿当），P为椭圆上的

一动点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设圆/+y2=^,过点尸作圆。的两条切线小11，两切线的斜率分别为Q,k2.

①求A'的的值；

②若/1与椭圆C交于P,0两点，与圆。切于点/,与x轴正半轴交于点8（异于点Z）,

且满足S&POB=SAQOA，求1\的方程.

【分析】（1）由椭圆的离心率公式和已知点的坐标可求得4,b,从而得椭圆方程；

（2）①设P（冲，yo）,切线/：y-yo^k（x-xo）,根据直线与圆相切的条件和一元二次

的根与系数的关系可求得答案；

②由已知得P8=N0,设切线为人沙=去+用,与椭圆的方程联立可得：（4乒+1）»+84加"4加2

-8=0,由坐标间的关系可求得k=±孝，再利用直线与圆的位置关系可求得加，从而

得直线的方程.

【解答】解：⑴因为e2=*£-=*,所以。=26,

因为点(或，苧)在椭圆上，所以+-Z7=l,解得：a=2近，b=V2,

N4〃4/

X2V2

所以椭圆方程为：—=1；

82

(2)①设尸(xo,yo),切线/：y-yo=kCx-xo),即京-下约一去0=0

圆心。(0,0)到切线的距离d=竿竺1=r=要整理可得：(诏—前2—2xoyok+

J必+1''

据一q=0，

%

288

y-卜-1

0-5(2-5

==-

所以七七2884

X0---

55

②因为S△尸08=SAJ8C。。小所以尸3=40,所以XB-XP=XQ-XA所以办+期=切+工0，

设切线为/i：y=kx+m9

联立直线方程和椭圆方程可得：(4^+1)/+86a+4机2-8=0,所以4+和=表言,

kx+m_

令y=0可得小=-£，设/(XA，kxA+m),贝1k04=A1

XA~k,

所以4=含所以冷+々=^^=一£+—km

k2+l

整理可得:8必(必+1)=(42+1)(2必+1),

所以2乒=1,解得：k=±孝,

因为圆心。(0,0)到八：夕=区+用距离d=普==芈，

所以|加=等、J1+A雪,所以机=±亨，

因为4=一£>0,所以当〃=孝时，m=—雪；当k=-孝时，巾=空；

所以所求71的方程为y=会-等或y=—¥%+等.

【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，等知识，属于中等题.

6.己知圆锥曲线E上的点M的坐标(x,y)满足J(x+V3)2+y2+J(x-V3)2+y2=2\/6.

(1)说明E是什么图形，并写出其标准方程；

(2)若斜率为1的直线/与E交于y轴右侧不同的两点48,点尸为(2,1).

①求直线/在y轴上的截距的取值范围；

②求证：NAPB的平分线总垂直于x轴.

【分析】（1）根据椭圆的定义直接求解即可；

（2）①设直线/：y=x+m,与椭圆方程联立，结合判别式求解即可；

②由于点P在椭圆上可得，点/（或点8）与P不重合，且ZP与8尸的斜率都存在，再

设直线AP的斜率为k\,直线BP的斜率为k2,将问题转化为证明力+依=0即可.

【解答】（1）解：圆锥曲线E上的点M的坐标（x,y）满足J（x+g）2+y2+

故圆锥曲线E是以（-VL0）,（V3,0）为焦点，长轴长为2遍的椭圆,

x2y2

所以其标准方程为7•+-=1；

63

（2）①解：设直线/的方程为：y=x+m,A（xi，巾），B（X2，/），

y=%4-m

联立方程组/y2