《樂律全書》之明代嘉量說

()《樂律全書》之明代嘉量說上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112何世強HoSaiKeung提要：“嘉量”是古代量度穀物體積之標準量器之名稱，《嘉量筭經》稱之為“嘉量釡”。嘉量釡分成三部分：鬴、臀及耳，本文詳述各部分體積之算法。關鍵詞：嘉量釡鬴臀耳筆者已有文談及古代之“嘉量”，本文作補充。本文主要說明“嘉量”各部分之體積算法。本文題材取自《樂律全書‧卷十》及《嘉量筭經》。兩書均為明‧朱載堉所著。“嘉量”是古代量度穀物體積之標準量器之名稱，《嘉量筭經》稱之為“嘉量釡”。“嘉量釡”主要分成三部分：上部分鬴音“釡”。﹝或曰“腹”音“釡”。下部分臀左右部分耳嘉量之製作最早見之於《周禮》之記載，王莽新朝“始建國”元年亦有製作嘉量，銅製，後世稱之為“新莽嘉量”。嘉量之說早見於《周禮‧冬官考工記》：㮚此非“栗”字。此非“栗”字。改煎金錫則不耗，不耗然後權之，權之然後準之，準之然後量之。量之以為釜，深尺，內方尺而圜其外，其實一釜。其臀一寸，其實一豆；其耳三寸，其實一升。重一鈞。其聲中黃鐘之宮。概而不稅。其銘曰：“時文思索，允臻其極。嘉量既成，以觀四國。永啟厥後，茲器維則。”以上文意指嘉量有銘文，而銘文刻在嘉量之底﹝見後文﹞。《周禮注疏‧卷四十》原文：《周禮注疏》注曰：㮚，古文或作歷。“㮚氏”指姓㮚之人及其相關人士；“為量”指負責製造“量器”也；“㮚氏為量”此處指㮚氏製作嘉量也。《周禮注疏》注曰：量之以為鬴，深尺指深一尺。，內方尺而圜指深一尺。圓也。即鬴之外形為圓形。容積也。注意《周禮注疏》所云之“一鬴”可容六斗四升也。周時以四升為一豆，以四豆為一區，以四區為一鬴。即可知“一鬴”有64升，即6斗4升。明‧朱載堉認為此容積數錯誤，見筆者另文。注意《周禮》所談及之嘉量稱為釡，故明‧朱載堉稱之為“嘉量釡”，釡之名實有所本。《周禮》之嘉量釡深一尺，外為圓形，內可容邊長一尺之正方形。其容量為一“鬴”﹝朱載堉作一“釜”﹞。其“臀”高一寸，“臀”乃鬴之底，相信為圓形，但無說明其直徑之長，但比“鬴”之直徑短。“臀”之容量為一豆。釡之耳三寸高，相信亦為圓形，亦無說明其直徑之長，其容量為一升。釡之重為一鈞，古代以三十斤為一鈞。明嘉量之臀及耳均有尺寸。《漢書‧律曆志上》曰：一曰備數，二曰和聲，三曰審度，四曰嘉量，五曰權衡。以上五種乃不同類別之單位。《晉書》稱之為“大率”，《晉書‧志第六》曰：大率有五：一曰備數，一、十、百、千、萬也；二曰和聲，宮、商、角、徵、羽也；三曰審度，分、寸、尺、丈、引也；四曰嘉量，龠、合、升、斗、斛也；五曰權衡，銖、兩、斤、鈞、石也。班固因而志之。故“嘉量”又屬五“大率”之一，其量度之單位為龠、合、升、斗、斛，二龠為合，十合為升，十升為斗，十斗為斛。相信朱載堉依《周禮》所云而談論嘉量。《樂律全書‧卷十》曰嘉量用銅鑄，古之所謂“赤金”，“赤金”其實為紅銅與白錫之合金，紅銅佔6份，白錫佔1份，共7份。《周禮注疏》疏曰：“六分其金而錫居其一。”故朱載堉之說有所本也。以下兩圖源自《嘉量筭經》：上圖之嘉量可算作明代之尺寸，與《周禮》所記未完全相同，《周禮》曰：深尺，內方尺而圜其外，其實一釜。其臀一寸，其實一豆；其耳三寸，其實一升。但上圖之耳深四寸，《周禮》云耳只有三寸，此乃顯著之不同。不過《樂律全書‧卷十》言三寸誤，以四寸為是。以下兩圖源自《樂律全書‧卷十》：嘉量為圓形，內之正方形為ABCD，每邊長1尺﹝見下頁之“嘉量中截曰底圖”﹞。其內直徑AC長√(12+12)=√2=1.414213562﹝尺﹞。《樂律全書》作

1尺4寸1分4釐。 A 內徑 D C B 外徑嘉量之厚為1分﹝見上圖右﹞，即0.01尺，所以外徑=1.414213562+0.02=1.434213562﹝尺﹞。《樂律全書》作1尺4寸3分4釐。嘉量上截曰“鬴”，“鬴”之高為1尺，此為“夏尺”﹝見下圖之說明﹞，若為如此，其他尺寸理亦應為夏尺方合，否則容易混亂，但《樂律全書》無詳細說明或強調。以下為《樂律全書》原文：以上左圖乃右圖之平面圖。底上之銘文見前頁《周禮‧冬官考工記》。《樂律全書》所云之夏尺與周武王八寸尺、與商湯十二寸半之尺之關係如下頁圖所示。若以夏禹十寸之尺為準﹝夏尺﹞，周武王之十寸尺只等於夏尺之八寸，即將夏尺之八寸分成十份即為“周武王八寸尺”，8寸夏尺=10寸周尺，1寸夏尺=1.25寸周尺，或1寸周尺=0.8寸夏尺。又商湯尺之十寸尺中之八寸，等於夏尺之十寸，即將商湯尺之八寸分成十份即為“夏尺”之十寸，8寸商湯尺=10寸夏尺，1寸商湯尺=1.25寸夏尺，或1寸夏尺=0.8寸商湯尺。因為10寸商湯尺=12.5寸夏尺，所以商湯尺稱為“商湯十二寸半之尺”。以下為《樂律全書‧卷四》原圖：《樂律全書》云鬴﹝或曰“腹”或“釡”﹞能容二十豆，即二十豆是為“一鬴”，其“積實”即“體積”為1571348分﹝應為“立方分”﹞。現簡介《樂律全書》之算法：《樂律全書》指出若圓直徑為9√2，則其圓周為40﹝近似值﹞，略去單位。見筆者另文。即9√2π=40，則π=4092。《樂律全書》以此數為π，等於3.142696805，此數比準確之π 直徑141.4213562分 高1尺 即100分若圓直徑√2=1.414213562﹝尺﹞=141.4213562分。半徑平方=222×10000平方分=5000積實=π×半徑平方×高=4092×5000×=1571348.403立方分。若小數後之位數略去，即可得1571348立方分，《樂律全書》即以此為答案。此數其實略大，若π=3.141592654，則π×5000×100立方分=1570796.327立方分。﹝二﹞《樂律全書》云臀容4升，是為1豆。積實78567分﹝應為“立方分”﹞。“臀”又作“臋”。“其臀一寸，其實一豆” 直徑100分，半徑為50分 高1寸即10分積實=π×半徑平方×高=4092×2500×=78567.42013立方分。若小數後之位數略去，即可得78567立方分，《樂律全書》即以此為答案。如上條，此數略大，若π=3.141592654，則π×2500×10立方分=78539.81634立方分。另法：鬴之容積為20豆，臀之容積為1豆，所以臀之容積乃鬴之120即其積實=120×1571348.403立方分=78567.42013答案與前相同。﹝三﹞《樂律全書》云其耳容20龠，即1升。積實19641分﹝應為“立方分”﹞。以下為《樂律全書》原圖，圖左為嘉量之雙耳。“臀”似“羅圈”，“羅圈”指以矮欄所圍繞成之大圓形面積，古時之“羅圈”以柵欄圍攏牲畜，大而呈圓形之地之謂也。“竹筩”乃以竹製成之內空筩；《樂律全書》強調兩耳無底。 耳 厚一分 內直徑25分﹝連厚直徑27分﹞ 高4寸即40分積實=π×半徑平方×高=4092×2522×=4092×6254=19641.85503立方分。若小數後之位數略去，即可得19641立方分。另法：20龠為1升，4升為1豆，即80龠為1豆，1豆為78567.42013立方分，即80龠為78567.4201