完全平方公式讲练课

【基础知识精讲】1．完全平方公式（1）（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2右边是三项（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．（3）公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．（4）几何解释图1－5图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．2．三个数的完全平方式（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc【学习方法指导】［例1］计算（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2［例2］计算（1）（－m－n）2（2）（－5a－2）（5a＋2）点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m与－n是同号，所以公式中的2ab取“＋”．（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算．［例3］计算（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y）（2）（m－n）（m2－n2）（m＋n）点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公式将m－n与m＋n相乘，再将所得结果m2－n2与中间括号里的m2－n2相乘，可利用完全平方公式．［例4］计算：（x＋）2－（x－）2点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2－b2＝（a＋b）（a－b），将此题转化为平方差公式进行计算．［例5］计算：（a－2b＋1）（a＋2b－1）点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（a＋b）（a－b）的形式，利用平方差公式进行简化运算．关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！［例6］利用公式计算：1962［例7］某正方形边长acm，若把这个正方形的边长减小3cm，则面积减少了多少？【拓展训练】迁移你能运用本节课知识解答下列几个题目吗？1．已知：a＋b＝－5，ab＝－6，求a2＋b2．2．利用公式计算：992－1点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案．1．完全平方公式的推导（1）两数和的平方(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2（2）两数差的平方(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b22．完全平方公式两数和（或差）的平方、等于它们的平方和，加上（或者减去）它们乘积的2倍。即：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2【重点难点解析】1．本节的重点是理解并掌握完全平方公式的结构特征，正确运用的该公式，难点是正确理解使用公式的条件。2．完全平方公式的结构特征：①左边是两个相同的二项式相乘（即二项式的平方）。②右边是三项，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式两项积的2倍。a2±2ab+b2称为完全平方式，完全平方公式由此而来。3．公式中a，b可以是数，也可以是单项式或多项式。4．对于形如两数和（差）的平方的乘法，就可以运用上述公式写出结果。5．在运用公式时，经常出现的错误是(a±b)2=a2±b2，要特别注意。例1计算（1）(2y-1)2（2）(1-2y)2（3）(3x-2y)2-(3x+2y)2（4）(a-2b+1)(a+2b-1)-(a+2b)(a-2b)解：例2计算(a+b)2(a-b)2例3计算（1）5012（2）99.82例4计算（1）(a+b-c)2（2）(x-y-z)2【难题巧解点拨】1．已知a+b=3，ab=-12，求下列各式的值。（1）a2+b2（2）a2-ab+b2（3）(a-b)2（2）∵a2+b2=33，∴a2-ab+b2=33-ab=33-(-12)=452．已知：有理数x，y，z满足x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y3．（1）42-9x+=(2x-)2（2）已知：x2-(m-1)x+4是一个完全平方式，求m的值。【课本难题解答】1．计算（1）(3x+2y-4)(3x+2y+4)-(3x+2y+4)(3x-2y-4)（2）3(m+1)2-5(m+1)(m-1)+2(m-1)22．先化简，再求值（1）(8x3+8x2+4x+1)(8x3-8x2+4x-1)，其中（2）(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y)，其中x=0.2，y=0.01【典型热点考题】例1已知：x+y=2，xy=1，求下列代数式的值（1）x2+y2（2）x4+y4例2计算（1）(a-2b+3c)(a-3c-2b)（2）(a+b-c)2例3先化简，再求值(1-4y)(1+4y)+(1+4y)2，其中【同步达纲练习】1．计算（1）(-2a-b)2（2）(x2+y2)2(x+y)2(x-y)2（3）2052（4）2992（5）（6）(3a-2b+c)(3a+2b-c)-(a+2b-3c)(a-2b+3c)（7）(a-b+1)22．解方程或不等式（1）2x-4(x-1)