高考数学一轮复习 课时跟踪检测（四十）空间向量的运算及应用 理（含解析）苏教版-苏教版高三数学试题

课时跟踪检测（四十）空间向量的运算及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x＝________.解析：由b＝eq\f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．答案：(0,6，－20)2．(2019·汇龙中学检测)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则直线l和平面α的位置关系为________．解析：因为a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，所以n＝－2a，即a∥n.所以l⊥α.答案：l⊥α3．(2018·睢宁中学检测)已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up7(→))＝________.解析：如图所示，连结ON，AN，则eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c)，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up7(→))－2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－2a＋b＋c)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(ON,\s\up7(→))＋eq\o(AN,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c4．若点C(4a＋1,2a＋1,2)在点P(1,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)所确定的平面上，则a＝________.解析：由题意得eq\o(PA,\s\up7(→))＝(0，－3,2)，eq\o(PB,\s\up7(→))＝(7，－1,4)，eq\o(PC,\s\up7(→))＝(4a,2a＋1,2)，根据共面向量定理，设eq\o(PC,\s\up7(→))＝xeq\o(PA,\s\up7(→))＋yeq\o(PB,\s\up7(→))，则(4a,2a＋1,2)＝x(0，－3,2)＋y(7，－1,4)＝(7y，－3x－y，2x＋4y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝7y，,2a＋1＝－3x－y，,2＝2x＋4y，))解得x＝－eq\f(13,3)，y＝eq\f(8,3)，a＝eq\f(14,3).答案：eq\f(14,3)5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.解析：因为α∥β，所以u1∥u2，所以eq\f(－3,6)＝eq\f(y,－2)＝eq\f(2,z)，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.答案：－36．(2019·滨海检测)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(－2,3,6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为________．解析：∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,3，－1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2,1,3)．∴eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝－4＋3－3＝－4，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(22＋32＋－12)＝eq\r(14)，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(－22＋12＋32)＝eq\r(14).∴cos∠BAC＝eq\f(eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→)),|eq\o(AB,\s\up7(→))|·|eq\o(AC,\s\up7(→))|)＝eq\f(－4,\r(14)×\r(14))＝－eq\f(2,7).∴sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝eq\f(3\r(5),7).故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|·|eq\o(AC,\s\up7(→))|·sin∠BAC＝eq\r(14)×eq\r(14)×eq\f(3\r(5),7)＝6eq\r(5).答案：6eq\r(5)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up7(→))是平面ABCD的一个法向量；④eq\o(AP,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→)).其中正确的是________．(填序号)解析：∵eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AP,\s\up7(→))＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，∴eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(AP,\s\up7(→))，即AP⊥AB，故①正确．∵eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，∴eq\o(AP,\s\up7(→))⊥eq\o(AD,\s\up7(→))，即AP⊥AD，故②正确．又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故eq\o(AP,\s\up7(→))是平面ABCD的一个法向量，故③正确．∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,3,4)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1,2，－1)，∴eq\f(2,－1)≠eq\f(3,2)≠eq\f(4,－1)，∴eq\o(AP,\s\up7(→))与eq\o(BD,\s\up7(→))不平行，故④错误．答案：①②③2．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1,1,2)．所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(3,\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2).所以a与b的夹角为eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)3．(2019·盐城中学检测)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0，1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0,1，－1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1,0，－1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－z＝0，,x－z＝0，))令x＝1，得m＝(1,1,1)．因为m＝－n，所以m∥n，所以α∥β.答案：α∥β4．已知正三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将此三角形沿DE翻折，当AE⊥BD时，二面角A­DE­F的余弦值等于________．解析：不妨设GD＝GE＝1，则GA＝GF＝eq\r(3)，AE＝BD＝2，由已知得∠AGF即为二面角A­DE­F的平面角，设其为θ.则eq\o(AE,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝(eq\o(GE,\s\up7(→))－eq\o(GA,\s\up7(→)))·(eq\o(BF,\s\up7(→))＋eq\o(FG,\s\up7(→))＋eq\o(GD,\s\up7(→)))＝(eq\o(GE,\s\up7(→))－eq\o(GA,\s\up7(→)))·(2eq\o(GE,\s\up7(→))－eq\o(GF,\s\up7(→))－eq\o(GE,\s\up7(→)))＝(eq\o(GE,\s\up7(→))－eq\o(GA,\s\up7(→)))·(eq\o(GE,\s\up7(→))－eq\o(GF,\s\up7(→)))＝eq\o(GE,\s\up7(→))2－eq\o(GE,\s\up7(→))·eq\o(GF,\s\up7(→))－eq\o(GA,\s\up7(→))·eq\o(GE,\s\up7(→))＋eq\o(GA,\s\up7(→))·eq\o(GF,\s\up7(→))＝1－0－0＋eq\r(3)·eq\r(3)cosθ＝1＋3cosθ＝0，所以cosθ＝－eq\f(1,3)，即当AE⊥BD时，二面角A­DE­F的余弦值等于－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)5．(2019·南京调研)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________．解析：eq\o(AC1,\s\up7(→))2＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))2＝eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AD,\s\up7(→))2＋eq\o(AA1,\s\up7(→))2＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＋2eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＝16＋9＋25＋2×4×3×cos90°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝50＋20＋15＝85，即|eq\o(AC1,\s\up7(→))|＝eq\r(85).答案：eq\r(85)6．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．解析：由题意知eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|，又eq\o(AB,\s\up7(→))＝(6，－2，－3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(x－4,3，－6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x－4－6＋18＝0，,x－42＝4，))解得x＝2.答案：27．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________.解析：连结PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝eq\f(1,2)PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，所以PD＝eq\r(02＋－12＋12)＝eq\r(2)，所以MN＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)8．已知向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(3,1,2)，eq\o(DE,\s\up7(→))＝(x，－3,6)．若DE∥平面ABC，则x的值是________．解析：∵DE∥平面ABC，∴存在实数m，n，使得eq\o(DE,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋neq\o(BC,\s\up7(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋3n，,－3＝5m＋n，,6＝－2m＋2n，))解得x＝5.答案：59．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．解：因为∠ACD＝90°，所以eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0.同理可得eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝0.因为AB与CD成60°角，所以〈eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))〉＝60°或〈eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))〉＝120°，又eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))，所以|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up7(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up7(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＋2eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋2eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))〉．所以当〈eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))〉＝60°时，|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))〉＝120°时，|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝2，此时B，D间的距离为eq\r(2).10．如图，在多面体ABC­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝eq\r(2)AB，B1C1綊eq\f(1,2)BC，二面角A1­AB­C是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明：因为二面角A1­AB­C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，所以AA1⊥平面ABC.又因为AB＝AC，BC＝eq\r(2)AB，所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．(1)eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝(0,2,0)，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝(0,0，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(A1A,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2z＝0，,2x＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,z＝0.))取y＝1，则n＝(0,1,0)．所以eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝2n，即eq\o(A1B1,\s\up7(→))∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.(2)易知eq\o(AB1,\s\up7(→))＝(0,2,2)，eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq\o(A1C,\s\up7(→))＝(2,0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝0，,m·eq\o(A1C,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋y1＝0，,2x1－2z1＝0，))令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．所以eq\o(AB1,\s\up7(→))·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以eq\o(AB1,\s\up7(→))⊥m.又AB1⊄平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且eq\o(CE,\s\up7(→))＝λeq\o(CC1,\s\up7(→)).当∠BEA1为钝角时，则实数λ的取值范围为________．解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,3,0)，C1(0，3,5)，B(2,3,0)，A1(2,0,5)．因为eq\o(CE,\s\up7(→))＝λeq\o(CC1,\s\up7(→))，所以E(0,3,5λ)．从而eq\o(EB,\s\up7(→))＝(2,0，－5λ)，eq\o(EA1,\s\up7(→))＝(2，－3,5－5λ)．当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，所以eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EA1,\s\up7(→))＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，解得eq\f(1,5)＜λ＜eq\f(4,5).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(4,5)))2．(2019·海门中学检测)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为________．解析：由题意知CD，CB，CE两两垂直，所以以C为原点，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设M点的坐标为(x，y,1)，AC∩BD＝O，连结OE，则Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，又E(0,0,1)，A(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，所以eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝(x－eq\r(2)，y－eq\r(2)，1)，因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面BDE∩平面ACEF＝OE，所以OE∥AM，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(2)＝－\f(\r(2),2)，,y－\r(2)＝－\f(\r(2),2)))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(\r(2),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f