结构力学Ⅱ课件：单元刚度矩阵

单元刚度方程和

单元刚度矩阵2掌握单元刚度方程的概念及其在单元和结构坐标系下的描述;掌握单元刚度矩阵的物理意义和特点；能根据概念直接列出单元及结构坐标描述的单元刚度矩阵。本节内容要求3单元刚度方程

(e)

θ(e)单元坐标系描述：单元杆端位移单元杆端力单元坐标系下(e)已知自由梁单元注意元素排序和正方向

θyxθ(e)yxθ(e)4单元刚度方程

结构坐标系描述：单元杆端位移单元杆端力结构坐标系下(e)已知自由梁单元5单元刚度方程

自由梁单元的刚度方程：矩阵表达形式：

θ(e)自由梁单元杆端力杆端位移(e)(e)

代数表达形式：6矩阵展开如果位移第s项uS=0时,

第S列元素的值对杆端力有影响吗？那第S列元素是否可以不用写出来？——无影响。u2=0时

单元刚度矩阵的物理意义7矩阵展开假想把位移拆分，每次只作用一项第2列元素:表示单元第2个位移u2=1单独作用于基本结构引起的各杆端力。

单元刚度矩阵的物理意义仅u2单独作用且u2=1时8矩阵展开刚度矩阵中的每一列元素的物理意义？第s列的元素:表示单元第s个位移us=1单独作用于基本结构引起的相应杆端力。如何得到单元基本结构？把单元结点位移全部约束住即可.

单元刚度矩阵的物理意义9

单元刚度矩阵的物理意义刚度系数krs：表示仅us=1单独作用于基本结构引起的杆端力Fr的值。刚度系数都是力或力矩。矩阵展开仅第5个位移u5=1作用,对应第4个杆端力F4=k45的值。刚度矩阵中每个元素的物理意义？根据单元刚度系数的物理意义,由概念可以直接列出单元刚度矩阵。 u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u1=1第1列平面自由梁单元的刚度矩阵平面自由梁单元的刚度矩阵u2=1第2列根据位移法形常数根据平衡条件数值的正负号与坐标系有关。u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u3=1第3列根据位移法形常数根据平衡条件平面自由梁单元的刚度矩阵u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u4=1第4列根据拉压胡克定律根据平衡条件平面自由梁单元的刚度矩阵u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u5=1第5列根据位移法形常数根据平衡条件平面自由梁单元的刚度矩阵u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

u6=1第6列平面自由梁单元的刚度矩阵u1=1

u2=1

u3=1

u4=1

u5=1

u6=1

单元刚度矩阵的特点主元素：Kii>0,副元素正负与坐标轴正向有关2.对称性1.奇异性krs=ksr

第i行元素和第

i列元素对应相等17平面一般梁单元刚度方程单元刚度矩阵可按结点分块表示:其中每个都是3×3的方阵，子块

Kij(e)

表示：单元终端作用一单位位移向量时,在始端引起的杆端力向量。3.可分块18平面一般梁单元刚度方程轴向变形和弯曲变形彼此独立无关！特点:对称性奇异性可分块不考虑轴向变形的梁单元19独立位移相应杆端力不考虑轴向变形的梁单元20

独立位移相应杆端力单元刚度方程：只考虑转角位移的梁单元21

独立位移相应杆端力单元刚度方程：只考虑转角位移的梁单元22单元刚度方程：先处理法可根据单元非零位移的数目来确定单元的刚度矩阵的阶数，只计算非零位移对应的刚度系数。已知位移最后计算单元杆端内力时，可根据所求杆端内力数确定单元刚度矩阵的阶数。独立位移相应杆端力23梁结构，没有水平荷载，消除各结点的零位移。未知量是2、3、4结点的转角位移。例题5：列出先处理法各单元的刚度矩阵思考中…2.各单元结点位移向量：

1.先对结构进行离散。确定未知量。243.各单元对应的杆端力向量：2.各单元结点位移向量：例题5：列出先处理法各单元的刚度矩阵

254.各单元的刚度矩阵：12(1)23(2)23(2)例题5：列出先处理法各单元的刚度矩阵

264.各单元的刚度矩阵：(3)34(3)34例题5：列出先处理法各单元的刚度矩阵

§9.2单元刚度方程和

单元刚度矩阵（续）28单元刚度方程:单元刚度系数的物理意义和特点；根据概念直接列出单元及结构坐标描述的单元刚度矩阵。本节任务：根据概念直接列出整体坐标描述的单元刚度矩阵。§9.2单元刚度方程和

单元刚度矩阵内容回顾

29不同坐标系描述的单元刚度矩阵(e)整体分析——用整体坐标描述的单元刚度矩阵；最后内力计算——用单元坐标描述的单元刚度矩阵。例6.列出图示自由梁单元两类坐标系下的刚度矩阵。1.单元坐标下自由梁单元的刚度矩阵第2列(e)单元坐标系第3列利用对称性和平衡条件单位位移施加、元素排序及正负号都参照单元坐标系。2.整体坐标下自由梁单元的刚度矩阵第1列(e)整体坐标系第3列利用对称性和平衡条件单位位移施加、元素排序及正负号都参照结构整体坐标系。32例7.列出各单元先处理法的单元刚度矩阵。

已知各杆EI、EA均为常量。yΘx

解：先对结构进行离散，结构未知量。第1列第2列第3列第4列单元坐标系描述33例7.列出各单元先处理法的刚度矩阵。

已知各杆EI、EA均为常量。yΘx

解：先对结构进行离散，结构未知量。第1列第2列第3列第4列整体坐标系描述34例7.列出各单元先处理法的刚度矩阵。

已知各杆EI、EA均为常量。yΘx

解：先对结构进行离散，结构未知量。第2列第3列单元、整体坐标系相同第1列35平面链杆单元

平面桁架中的链杆单元只有轴力和轴向变形；

矩阵表示：单元刚度矩阵：36平面链杆单元

为了后面结构整体分析和坐标变换

链杆单元的刚度方程表示：链杆单元的刚度矩阵也可以写出：37例5.列出图示链杆单元的刚度矩阵。已知杆长I、刚度EA。单元坐标系下，单元的刚度矩阵不变单元坐标系描述第1列第3列yx链杆——垂直杆轴方向施加位移不产生内力。38第1列：i端施加水平位移ui=1，分解为：第1列yx整体坐标系下，单元的刚度矩阵轴力沿整体坐标分解为：把沿x、y轴施加的位移1分解为轴向和切向的位移。轴向位移分量才会产生轴力。最后再把轴力沿整体坐标分解。39第2列：i端施加竖向位移vi=1，分解为：轴力沿整体坐标分解为：第2列yx可利用对称性和平衡条件列出另外两列整体坐标系下，单元的刚度矩阵40例题8：列出各单元先处理法的刚度矩阵桁架结构，未知量即2结点的线位移。1.各单元结点位移向量：2.相应的杆端力向量：3.单元坐标下各单元的刚度矩阵：41例题8：列出各单元先处理法的刚度矩阵4.整体坐标下各单元的刚度矩阵：3.单元坐标下各单元的刚度矩阵：直接取刚度矩阵终端子块42第1列：2点施加水平位移u2=1，分解出轴向位移：第1列或按概念写（2）单元整体坐标系下的刚度矩阵第2列第2列：2点施加竖向位移v2=1，分解出轴向位移：43第2列第3列第1列特殊单元刚度矩阵例9.写出下列约束梁单元的刚度矩阵，已知l、EA、EI。

θ

i(e)j

解：单元杆端位移向量：根据概念列出单元刚度矩阵：44第2列第3列第1列特殊单元的刚度矩阵例10.写出下列约束梁单元的刚度矩阵，已知l、EA、EI。

θ

解：单元杆端位移向量：根据概念列出单元刚度矩阵：ij

(e)特殊单元的刚度矩阵例.写出图示折杆单元的刚度矩阵。已知EI为常量，忽略轴向变形。45l(e)l

θ

解：确定单元杆端位移向量：在单元基本结构上依次施加位移1，把位移对应约束解除，用力法求解。支座约束力就是刚度矩阵对应的列元素。第1列ll第一列对应的力法方程：基本体系46

θ

单元刚度矩阵：在单元基本结构上依次施加位移1，把位移对应约束解除，用力法求解。支座约束力就是刚度矩阵对应的列元素。第2列第3列第4列第1列47

θ

单元刚度矩阵：第2列第1列那可否只按概念计算第一列？48作业2图示一端刚接一端铰接平面梁单元，长度l，抗拉刚度EA，抗弯刚度EI。要求列出单元及整体坐标系下的单元刚度方程。(e)提示：1.铰点的转角作未知量2.铰点的转角不作未知量49写出图示连续梁各单元的刚度矩阵。已知EI=常量。作业312

2ll3

①

②

50作业4求图示刚架用矩阵位移法（先处理）求解，列出用单元坐标及整体坐标描述的单元刚度矩阵。已知：各杆刚度EI、EA均为常量。ll

l②①③yΘx作业5根据概念写出下列约束梁单元的刚度矩阵。已知各杆的长度L、刚度EA、EI均相同。51yΘxij

(e)52作业6求图示刚架用矩阵位移法（先处理）求解，忽略各杆的轴向变形。列出各单元用整体坐标描述的单元刚度矩阵。作业7写出下列折杆单元的刚度矩阵。

已知截面抗弯刚度均为EI。忽略杆件轴向变形。53yθx(e)ll54思考题已知坐标系，各杆长均为l、EI、EA均为常量。

列出：单元及整体坐标下各单元的刚度矩阵。

yθx②①③2143yθx如果修改结构坐标系会有何不同？55②①③2143yθxyθx单元单元yθx单元一、考虑轴向变形，单元坐标下各单元刚度矩阵

56②①③2143yθx单元单元不变单元二、考虑轴向变形，整体坐标下各单元刚度矩阵

57②①③2143yθx