金融工程（第五版）期权损益及二叉树模型

期权的损益及其二叉树模型金融期权（financialoption）简称为期权是主要的金融衍生产品，它是金融工程的主要工具,也是构成金融工程其它金融衍生产品的基础。期权合约买卖双方签定的一种协议，该协议赋予期权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买(或出售）某一资产的权利。但是，那时他可以行使他的权利也可以不行使这个权利。在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购买权利的期权称为看涨期权。具有出售权利的期权称为看跌期权。第一节(欧式)期权及其组合的损益

一、（欧式）期权交易到期的损益分析

设执行价为X，在期权到期时刻T,股票价格为ST（一）看涨期权到期日的损益分析2.看涨期权空头（卖），（承担义务）1.看跌期权多头(买),(赋予权力)2.看跌期权空头(卖),(承担义务)1.看涨期权多头（买），（赋予权力）（二）看跌期权到期日损益分析

设股票初始价格为S,期权的执行价格为股票初始价格，

二、在(

S,

W)平面上欧式看涨期权和看跌期权的损益表示

W为期权的收益令(一)在(

S,

W)平面上看涨期权多头和看涨期权空头的收益(二)在(

S,

W)平面上看跌期权多头和看跌期权空头的收益(二)债券买卖的收益1.购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。2.卖一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益4.S+P-C损益的数学表达式：5.直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险证券组合(三)无风险证券组合的构造:(一)股票买卖的收益购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权和卖一份看涨期权3.购入一份股票的收益三、在(

S,

W)平面上,股票和债券的收益:为了说明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素(四)其他期权组合的收益1.牛市价差买卖(bullishverticalspread)：购买一份执行价格为X1的看涨期权，卖出一份执行价格是X2的看涨期权，其中X2>X12.熊市价差买卖（bearishverticalspread）：卖出执行价格为X1的看涨期权，买入一份执行价格是X2的看涨期权，其中X2>X1。3.蝶式价差买卖(butterflyspread）：它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一份执行价格为X1和一份执行价格为X2的看涨期权，再卖出两份执行价格为X3的看涨期权。其中，X2>X3>X1

，且4.底部马鞍式组合（bottomstraddle或买马鞍式）：

购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为X5.顶部马鞍组合（topstraddle或卖马鞍式)：卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为X6.底部梯形组合（Bottomverticalcombination或买入梯形组合)：买入一份看涨期权和一份看跌期权,执行价格分别是X1和X2，其中X2>X1。7.顶部梯形组合（Topverticalcombination或卖出梯形组合)：卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为X1和X2，其中X2>X1

。8.叠做期权（Straps）：

购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与到期日都相同。9.逆叠做期权（Strip）：

购买两份看跌期权和一份看涨期权，具有相同的执行价和到期日。10.三明治买卖（sandwich）期权：买两份执行价格为中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为XL的较低价格的看涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即11.W型第二节期权定价的二叉树模型一、期权定价的一期模型Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型：设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的股票价格只取两种可能的值。先讨论一期模型：

注:条件u>1+r>d必须成立,否则可能出现套利机会。（一）股票价格的一期变化规律设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格为22,则对此期权如何定价是合理的?为了解决此问题,构造一个无风险套期保值的证券组合：

q1-qC（二）以股票为标的期权价格由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合条件，我们有：由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有：(1+r)(S-mC）=uS-mCU购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：将m的值代入时,有(m称为套期保值率hedgeratio)令p称为套期保值概率。事实上,若投资者是风险中性，则有由此得p=q所以通常也称p为风险中性概率例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22，求C。注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资

在期末所得到的无风险收益为22。注2.此套期保值的证券组合为,买一份股票,卖一份看涨期权。注3.

投资的回报率22/19.13=1.15=1+r.注4.

由上面推导期权定价的过程可知,期权的价值依赖于存在一个套期保值的证券组合,以及期权的定价是要使此套期保值组合获得无风险回报率,即债券的回报率。期权定价公式三个有趣的性质：期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资者对股票上升的概率有不同的判断,但他仍然只能接受与u，d，X，S，r相关联的期权价值，而股票本身是引起投资者对q的不同判断的根源。投资者对风险的态度与期权定价公式无关,所得的结果只假设人们偏好更多的财富。3.股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。

二、期权定价的二期模型

设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投资到二期后有(1+r)2元，设股票的初始价格为S，

与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套期保值证券组合,从而得到：由一期模型得到的Cu,Cd,代入上式有:

从另一个角度看,上式表明:期权价值等于在风险中性概率下二期收益的期望值折现。实际上,上式是两次应用一期模型定价公式得到的,括号中是

的二项展式，只不过分别用二期之后期权可能取得的三个值代替,它们分别是：第三节以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型1.就债券支付状态的变化规律而言,与股票支付状态的变化规律相反。股票支付状态随着时间的推移逐渐地分叉3.设利率也是取二值的过程一、债券价格的二叉树模型概述2.债券支付(收益)在到期日收敛于它的面值,此外多数债券有票息支付4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若把此债券看成面值与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值为D的零息债券。(一)风险中性方法债券价格树的构造1.一年期债券的价格树2.一年半期债券的价格树（二）利率期限结构模型方法先固定半年期利率在下一期以同样的概率分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期利率值，从而构成一个利率树。用所得到的利率树对债券未来的价值折现就可得到债券的价格。t期债券价格:二、以债券为标的资产的期权定价

设以例[8-8]中的债券为标的资产、执行价X=100的看涨期权,在t时期市场上价格为Ct，它的收益如下：

？例[8-8]

设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同时假设债券的面值D=100在一年期半内每半年支付的红利10,而每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券的价格。

若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付（收益）是一样的。设看涨期权在t期执行，则此债券组合在t+1期时两个状态的收益相等。

为了达到期权定价的目的。与以股票为标的看涨期权定价理论一样,构造一个无风险套期保值债券组合；购买一份债券，出售m份看涨期权（以该债券为标的的看涨期权）。Bd,t+1+票息-mCd,t+1=Bu,t+1+票息-mCu,t+1由于是无风险债券组合，故有（Bt-mCt

）（1+rt/2）=Bdt+1+票息-mCdt+1其中rt为无风险利率，将m的值代入上式，我们有：第四节n期欧式期权的定价模型

一、二项式及二项分布二项式试验(Binomialtrials)：称试验结果只有两个的试验为二项式试验。如在抛硬币试验中，可能出现的结果只有两个：正面和反面。硬币可以是均匀的，也可以不是均匀的。设抛硬币时出现正面的概率为p，出现反面的概率为1-p.二项分布告诉我们在n次试验中,出现k次正面的概率为记为Pr(k|n)。例如，试验次数为3，则出现两次正面的概率为Pr（2|3）。当试验次数不多时，Pr(k|n）的系数可以借助帕斯卡三角形（Pascal’striangle）。每一行的数据都是由前行相邻的两数之和。试验次数

帕斯卡三角形

01111212131331414641

出现正面次数n，n-1，…….n-nn期欧式看涨期权取值的结果:对应概率CnnpnCnn-1pn-1(1-p),……,Cnn-Kpn-K

（1-p）K，…Cn0p0(1-p）n故二、n期欧式看涨期权的定价公式分析结果：1.由知看涨期权的价值随着股票的价格上涨，而当执行价格升高时,它的价值随之降低。而且，无风险利率、期权到期期限n、二项分布的方差б2=np(1-p)都影响期权的价值。2.当无风险利率上升时,它的主要影响是降低执行价格的折现值尽管随着r的上升引起p和p′的变化但还是提高了看涨期权价值.3.增加到期期限同样提高了看涨期权的价格。4.看涨期权价值随着二项分布方差np(1-p)增加而增加。第五节存在交易费用条件下期权定价的二叉树模型一、不存在交易费用的期权二叉树定价问题设股票在0时刻的价格为S(0)=S0，在t=1时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12(S12>S11)在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21<S22<S23<S24假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r），同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样。

为了排除套利机会，下列条件必须满足：S11<RS0<S12S23<RS12<S24S21<RS11<S22

如果对每一个k，下式成立：则称市场为自融资，即从开始投资后，再不增加资金，也不从中抽取资金。设期权到期价值为：hi=h(S0，S11，S2i),i=1,2hj=h(S0,S12,S2j),j=3,4RB(k)+N(k)S(K+1)=B(k+1)+N(k+1)S(K+1)交易前交易后B11,N11(B12N12)表示证券组合在t=1时刻的分解,S(1)=S11(或=S12).则对于完全复制期权的证券组合有：（二期末）由此得式中:Δ21=S22-S21Δ22=S24-S23

在t=1时刻证券组合的价值F12=B12+N12S12

或F11=B11+N11S11F12=B12+N12S12

令q12=1-P12则且有即在条件S(1)=S12下S(2)的折现S(2)/R的期望值为S12

，符合鞅的性质，故称p12、q12为鞅测度。同理可得：E（1/R(S(2)|S(1)=S11))=S11上面导出了由S(2)确定F11F12的价值。下面推导出由F11，F12确定F0

的价值，即期权的初始价格。由自融资的性质：RB0+N0S(1)=B1+N1S(1)其中S(1)=S11

或S12

，(B1=B11

或B12)。由此可以得：RB0+N0S1