江苏省苏州八校联盟高三上学期第一次适应性检测数学试题

江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A＝，B＝，若1AB，则AB＝A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．命题“(0，1)，”的否定是A．(0，1)，B．(0，1)，C．(0，1)，D．(0，1)，3．的部分图象大致是4．函数在x＝1处的切线方程为A．B．C．D．5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B＋2sinAsinC＝1，则B的最大值为A．B．C．D．6．如图直角坐标系中，角(0＜＜)、角()的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足S△AOB＝，则的值为A．B．C．D．7．已知a＞0，b＞0，，则A．B．C．D．第11题第6题8．函数的值域为A．[5，10]B．[，10]C．[7，10]D．[7，]二、

多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，

共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下面命题正确的是A．“a＞1”是“”的充分不必要条件B．在△ABC中，“sinA＋cosA＝sinB＋cosB”是“A＝B”的充要条件C．设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件D．设a，bR，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件10．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是A．函数的值域与的值域不相同B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象C．函数和在区间(，)上都是增函数D．若是函数的极值点，则是函数的零点11．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧AB的中点F，连接FC，则A．OD的长度是a，b的几何平均数B．DE的长度是a，b的调和平均数C．CD的长度是a，b的算术平均数D．FC的长度是a，b的加权平均数12．关于函数，下列判断正确的是A．x＝2是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数k，使得成立D．对任意两个正实数，，且＞，若，则三、填空题（本大题共4小题，

每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是1，，则关于x的不等式的解集是．14．已知函数，则＝；若实数a满足，则a的取值范围是．15．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA＝()，为了节省建设成本，要使得PE＋PF的值最小，则当PE＋PF的值最小时，AE＝km．第15题16．已知，(，)，且，则的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）已知，求的值；（2）求值：．18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2．有以下3个条件：①2ccosA＝b；②2b﹣a＝2ccosA；③a＋b＝2c．请在以上3个条件中选择一个，求△ABC面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且AOB＝45°，OE＝1，EF＝，设∠AOE＝．（1）写出△AOB的面积关于的函数关系式；（2）求（1）中函数的值域．20．（本小题满分12分）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数(aR)，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．21．（本小题满分12分）在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＋c＝2b，求角B的最大值；（2）若a＋c＝mb(m＞1)．（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．22．（本小题满分12分）已知函数，，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）设，恒成立，求a的最大值；（2）设a＞0，讨论函数在[0，]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题2020．10一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合A＝，B＝，若1AB，则AB＝A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}答案：D解析：∵若1AB，∴B＝{1，3}，又∵A＝＝{0，1，2}，∴AB＝{0，1，2，3}，故选D．2．命题“(0，1)，”的否定是A．(0，1)，B．(0，1)，C．(0，1)，D．(0，1)，答案：B解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变存在量词，同时否定结论，故选B．3．的部分图象大致是答案：A解析：首先可判断函数是奇函数，其次可判断x≠0，当x＞0时，＞0，综上，选A．4．函数在x＝1处的切线方程为A．B．C．D．答案：C解析：设切线斜率为k，首先求得切点是(1，2)，，故k＝4，根据点斜式得，y﹣2＝4(x﹣1)，即，故选C．5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B＋2sinAsinC＝1，则B的最大值为A．B．C．D．答案：C解析：由cos2B＋2sinAsinC＝1，得sinAsinC＝sin2B，即ac＝b2，∴cosB＝，则B的最大值为，故选C．6．如图直角坐标系中，角(0＜＜)、角()的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足S△AOB＝，则的值为A．B．C．D．答案：B解析：∵，且，故，又0＜＜，∴0＜＜，即∠AOB(0，)，根据S△AOB＝，得sin∠AOB＝，，故选B．7．已知a＞0，b＞0，，则A．B．C．D．答案：C解析：∵a＞0，b＞0，，故0＜a＜1，0＜b＜1，∴，，故，故选C．8．函数的值域为A．[5，10]B．[，10]C．[7，10]D．[7，]答案：D解析：∵，∴，∵0≤≤1，故49≤≤50，又≥0，∴7≤≤，故选D．二、

多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，

共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下面命题正确的是A．“a＞1”是“”的充分不必要条件B．在△ABC中，“sinA＋cosA＝sinB＋cosB”是“A＝B”的充要条件C．设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件D．设a，bR，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件答案：AD解析：选项A，a＞1，故A正确；选项B，sinA＋cosA＝sinB＋cosBA＝B或A＋B＝，故B错误；选项C，“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；选项D，∵a≠0时，ab≠0不一定成立，而ab≠0，则a≠0一定成立，故D正确．综上，选AD．10．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是A．函数的值域与的值域不相同B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象C．函数和在区间(，)上都是增函数D．若是函数的极值点，则是函数的零点答案：CD解析：，，所以函数的值域与的值域相同，A错误，把函数的图象向右平移个单位长度，得到，并不是函数的图象，故B错误；选项C，D都正确，故选CD．11．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧AB的中点F，连接FC，则A．OD的长度是a，b的几何平均数B．DE的长度是a，b的调和平均数C．CD的长度是a，b的算术平均数D．FC的长度是a，b的加权平均数答案：BD解析：OD的长度是a，b的算术平均数，CD的长度是a，b的算术平均数，DE的长度是a，b的调和平均数，FC的长度是a，b的加权平均数，故选BD．12．关于函数，下列判断正确的是A．x＝2是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数k，使得成立D．对任意两个正实数，，且＞，若，则答案：BD解析：，，选项A，x＝2是的极小值点，故A错误；选项B，，，y在(0，)上单调递减，当x＝1时，y＞0，当x＝2时，y＜0，故函数有且只有1个零点，B正确；选项C，由，当，，，知C错误；选项D，，欲证，则证，即证，显然成立，故D正确，故选BD．三、填空题（本大题共4小题，

每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是1，，则关于x的不等式的解集是．答案：(﹣1，2)解析：∵不等式ax﹣b＜0的解集是1，，∴a＜0，，∵，∴﹣1＜x＜2，解集为(﹣1，2)．14．已知函数，则＝；若实数a满足，则a的取值范围是．答案：2；(，﹣1]解析：，，∴，解得a≤﹣1．15．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA＝()，为了节省建设成本，要使得PE＋PF的值最小，则当PE＋PF的值最小时，AE＝km．答案：4解析：由PE＋PF＝，由权方和知，故AE＝8tan＝4．16．已知，(，)，且，则的最大值为．答案：﹣4解析：由已知齐次化得，故．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）已知，求的值；（2）求值：．解：（1）由可得：且，所以，即.（2）因为18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2．有以下3个条件：①2ccosA＝b；②2b﹣a＝2ccosA；③a＋b＝2c．请在以上3个条件中选择一个，求△ABC面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：若选择①由正弦定理可将化为：又，所以所以即，，所以（当时取到等号）所以面积的最大值为2.若选择②由正弦定理可将化为：又，所以所以即，又，又由余弦定理可得：（当且仅当时取等号）所以面积的最大值为.若选择③因为，所以（当且仅当时取等号）又由余弦定理得：（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）所以面积的最大值为.19．（本小题满分12分）如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且AOB＝45°，OE＝1，EF＝，设∠AOE＝．（1）写出△AOB的面积关于的函数关系式；（2）求（1）中函数的值域．解：（1）∵OE=1，EF=∴∠EOF=60°当∈[，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tan,BE=tan(45°+)∴f()=S△AOB=[tan(45°+)－tan]==当∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°=综上得：f()=（2）由（1）得：当∈[0，]时f()=∈[,－1]且当=0时，f()min=；=时，f()max=－1；当∈时,－≤2－≤，f（）=∈[－,]且当=时，f()min=－；当=时，f()max=所以f()∈[,]．20．（本小题满分12分）对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数(aR)，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．解：（1）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”．（2）当时，可化为．设，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”．令，1°当，在有解，由，即，解得；2°当时，在有解等价于解得．（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为．21．（本小题满分12分）在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＋c＝2b，求角B的最大值；（2）若a＋c＝mb(m＞1)．（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．解：（1）因为，所以由余弦定理可得：（当且仅当时取等号）又，所以角B的最大值为.（2）（i）由及正弦定理得，所以（或者由可得上式）因为，所以有，