数学人教A版必修2课时作业2-3-1直线与平面垂直的判定

课时作业15直线与平面垂直的判定——基础巩固类——1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是(A)A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．2．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥α”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件．故选C.3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为(A)A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D，又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED，又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(B)A．有且只有一个 B．至多一个C．有一个或无数个 D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．5．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(1,2)a.∴tan∠ADE＝eq\r(3).∴∠ADE＝60°.6．如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(D)A．重心B．内心C．外心D．垂心解析：如图，由PA，PB，PC两两互相垂直，可得AP⊥平面PBC，BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB，所以BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，所以点O是△ABC三条高的交点，即点O是△ABC的垂心，故选D.7．▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是垂直．解析：∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.8．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有4.解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.9．如图，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2eq\r(3)cm，则PC与平面ABC所成角的大小为45°.解析：如图，过P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，则CO为∠ABC的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，连接OF，易知△CFO为直角三角形．又PC＝4，PF＝2eq\r(3)，∴CF＝2，∴CO＝2eq\r(2)，在Rt△PCO中，cosθ＝eq\f(CO,PC)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.10.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.证明：连接AC，则AC⊥BD，又BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.11．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是BC的中点．(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．解：(1)证明：直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.又BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面BCC1B1.(2)如图，连接C1D.由(1)可知AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．在Rt△AC1D中，AD＝eq\f(\r(3),2)，AC1＝eq\r(2)，sin∠AC1D＝eq\f(AD,AC1)＝eq\f(\r(6),4)，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为eq\f(\r(6),4).——能力提升类——12．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(A)A.eq\f(\r(6),4) B.eq\f(\r(10),4)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：如图所示，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则易证得B1D⊥平面ACC1A1，∴∠DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角．不妨设正三棱柱的棱长为2，则在Rt△AB1D中，sin∠DAB1＝eq\f(B1D,AB1)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，故选A.13.如图，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(D)A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选项A正确，因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD.又ABCD为正方形，所以AC⊥BD.因为BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB.选项B正确，因为AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是[2，＋∞)．解析：因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.15.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2eq\r(2).(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．解：(1)证明：如图，连接AC与BD相交于点O，连接OE，因为AD＝CD，DB平分∠ADC，所以OA＝OC.又因为E为PC的中点，所以PA∥OE.又PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)证明：因为AD＝CD，DB平分∠ADC，所以AC⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，所以AC⊥PD，又因为BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PBD.(3)由(2)知CO⊥平面PBD，所以直线BC在平面PBD内的射影为BO，所以∠OBC是直线BC与平面PBD所成的角．因为AD＝CD，AD⊥