高考数学人教B版一轮复习测评5-1平面向量的线性运算

核心素养测评二十五平面向量的线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(多选)下列说法错误的是 ()A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选ACD.对于选项A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该说法错误;对于选项B,因为零向量就是0,所以该说法正确;对于选项C,方向相同且长度相等的向量叫相等向量,所以该说法错误;对于选项D,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以该说法错误.2.在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则= ()A.+ B.+C.+ D.+【解析】选D.如图,因为=,又因为=+,所以=+.【变式备选】如图,向量ab等于 ()A.4e12e2 B.2e14e2C.e13e2 D.3e1e2【解析】选C.由题图可知ab=e13e2.3.(2019·石家庄模拟)在△ABC中,点D在边AB上,且=QUOTE,设=a,=b,则= ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEa+QUOTEb【解析】选B.因为=QUOTE,所以=QUOTE,所以=+=+QUOTE=+QUOTE()=QUOTE+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb.4.(2019·唐山模拟)在等腰梯形ABCD中,=2,M为BC的中点,则= ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】选B.因为=2,所以=2.又M是BC的中点,所以=QUOTE(+)=QUOTE(++)=QUOTE=QUOTE+QUOTE.5.(2020·黄山模拟)已知向量a,b是两个不共线的向量,若向量m=4a+b与n=aλb共线,则实数λ的值为 ()A.4 B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】选B.由已知得m=kn,即4a+b=k(aλb).所以QUOTE解得QUOTE6.矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2= ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选A.=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=QUOTEQUOTE,所以λ=QUOTE,μ=QUOTE,所以λ2+μ2=QUOTE.7.(2019·济南模拟)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】选B.由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ1)b],整理得λa+b=ka+(2λkk)b.因为a,b不共线,所以QUOTE整理得2λ2λ1=0,解得λ=1或λ=QUOTE,又k<0,所以λ<0,所以λ=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,在△ABC中,D为边BC上靠近B点的三等分点,连接AD,E为线段AD的中点,若=m+n,则m=________,n=________.

【解析】=QUOTE=QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE()QUOTE=QUOTE+QUOTE,又=m+n,所以m=QUOTE,n=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE9.在平行四边形ABCD中,=e1,=e2,=QUOTE,=QUOTE,则=________.(用e1,e2表示) 导学号

【解析】如图所示,==+2=+QUOTE=QUOTE+QUOTE()=QUOTEe2+QUOTE(e2e1)=QUOTEe1+QUOTEe2.答案:QUOTEe1+QUOTEe210.直线l上有不同的三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量=(1cosα)+sinα(α是锐角)总成立,则α=________. 导学号

【解析】因为直线l上有不同的三点A,B,C,所以存在实数λ,使得=λ,所以=λ(),即=QUOTE+λ,所以QUOTE所以sinα=cosα,因为α是锐角,所以α=45°.答案:45°(15分钟35分)1.(5分)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2,=3,=λμ(λ,μ∈R),则QUOTEμλ= ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.3【解析】选A.=λμ=λμ(+)=(λμ)μ=2(λμ)3μ,因为E,M,F三点共线,所以2(λμ)+(3μ)=1,即2λ5μ=1,所以QUOTEμλ=QUOTE.2.(5分)(2020·朔州模拟)在△ABC中,+=2,+=0,若=x+y,则 ()A.y=3x B.x=3yC.y=3x D.x=3y【解析】选D.因为+=2,所以点D是BC的中点,又因为+=0,所以点E是AD的中点,所以有:=+=+QUOTE=+QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE,因此x=QUOTE,y=QUOTE⇒x=3y.3.(5分)(2020·合肥模拟)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3= 导学号()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,所以+2+3=QUOTE(+)+2×QUOTE(+)+3×QUOTE×(+)=QUOTE+++QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+=QUOTE+=QUOTE.4.(10分)如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.(1)试用a,b表示,,.(2)证明:B,E,F三点共线. 导学号【解析】(1)在△ABC中,因为=a,=b,所以==ba,=+=+QUOTE=a+QUOTE(ba)=QUOTEa+QUOTEb,=+=+QUOTE=a+QUOTEb.(2)因为=a+QUOTEb,=+=+QUOTE=a+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb=QUOTE(a+QUOTEb),所以=QUOTE,与共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.5.(10分)经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R+,求m+n的最小值.导学号【解析】设=a,=b,由题意知=QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE(a+b),==nbma,==QUOTEa+QUOTEb,由P