2018-2023年高考数学真题知识点分类汇编：直线与圆（附答案解析）

2018-2023年高考数学真题知识点分类汇编：直线与圆

一.选择题（共9小题）

1.（2020•新课标III）点（0,-1）到直线y=k（x+1）距离的最大值为（）

A.1B.&C.V3D.2

2.（2018•北京）在平面直角坐标系中，记d为点P（cos0,sine）到直线x-zny-2=0的

距离.当0、机变化时，”的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022•上海）设集合。={（x,y）|（尤-A）2+（y-F）2=4|）t|,jteZ}

①存在直线/,使得集合。中不存在点在/上，而存在点在/两侧；

②存在直线/，使得集合Q中存在无数点在/上；（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

4.（2022•北京）若直线2x+y-1=0是圆（x-1的一条对称轴，则“=（）

A.AB.，C.1D.-1

22

5.（2021•全国）已知点P在圆（x+1）2+/=2上，贝ljP至IJ直线x+y-5=0距离的最小值为

（）

A.料B.C.2&D.3&

2

6.（2021•北京）已知直线）=丘+%（〃？为常数）与圆/+尸=4交于M,N,当％变化时，

若的最小值为2,则〃?=（）

A.±1B.±&C.±A/3D.±2

7.（2020•北京）已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

8.（2020•新课标H）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0

的距离为（）

A.遮B.275.c.迈D./

5555

9.（2020•新课标I）已知圆/+y2-6x=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度

的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

二.多选题（共2小题）

（多选）10.（2021•新高考H）已知直线/：ar+处-J=0与圆C：/+/=a，点A（a,b）,

则下列说法正确的是（）

A.若点4在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点4在圆C外，则直线/与圆C相离

C.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

D.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

（多选）11.（2021•新高考I）已知点P在圆（x-5）2+（厂5）2=16上，点A（4,0）,

B（0,2）,则（）

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线的距离大于2

C.当/P84最小时，|PB|=3&

D.当NPBA最大时，\PB\=3\f2

三.填空题（共16小题）

12.（2022•上海）若关于x,），的方程组1*W有无穷多解，则实数m的值为______.

lmx+16y=8

13.（2021•上海）直线x=-2与直线J§x-y+l=0的夹角为.

14.（2020•上海）已知直线A：x+ay=1,/2：ax+y=\,若l\//h,则1\与b的距离为.

15.（2018•全国）坐标原点关于直线x-y-6=0的对称点的坐标为.

16.（2023•上海）已知圆C的一般方程为/+Zr+y2=0,则圆C的半径为.

17.（2022•全国）已知。为坐标原点，点P在圆（x+1>+/=9上，则|OP|的最小值为.

18.（2022•天津）若直线x-y+/n=0（m>0）与圆（x-1）2+（y-1）2=3相交所得的弦

长为m,则tn=.

19.（2022•甲卷）设点M在直线2x+y-1=0上，点（3,0）和（0,1）均在OM上，则OM

的方程为.

20.（2022•乙卷）过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程为.

21.（2022•新高考H）设点A（-2,3）,B（0,a）,若直线AB关于y=“对称的直线与圆

（x+3）?+（y+2）2=1有公共点，则a的取值范围是.

2

22.（2022•新高考I）写出与圆7+/=1和（x-3）+（y-4）2=16都相切的一条直线的

方程

23.（2021•天津）若斜率为我的直线与y轴交于点A,与圆/+（y-1）2=1相切于点

则|AB|=.

24.（2020•天津）己知直线x-J§y+8=0和圆/+y2=/（r>0）相交于A,B两点.若|AB|

=6,则r的值为.

22

25.（2020•浙江）已知直线>=履+6（k>0）与圆/+V=1和圆（x-4）+y=l均相切，

则k—,b—.

26.（2019•浙江）已知圆C的圆心坐标是（0,〃?），半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C

相切于点A（-2,-1）,则

x=-lt

27.（2018•天津）己知圆/+_/-2x=0的圆心为C,直线，（f为参数）与该

y=3-

圆相交于A,8两点，则△ABC的面积为

四.解答题（共3小题）

28.（2021•甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线C的极坐标方程为p=2&cos。.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点产满足方=加高，写出P

的轨迹C\的参数方程，并判断C与Ci是否有公共点.

29.（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖

上有桥AB（AB是圆。的直径）.规划在公路/上选两个点P,Q,并修建两段直线型道

路PB,QA,规划要求：线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已

知点A,8到直线/的距离分别为AC和8。（C,。为垂足），测得AB=10,AC=6,BD

=12（单位：百米）.

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和。中能否有一个点选在力处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当〃最小时，P、

Q两点间的距离.

30.（2019•新课标I）已知点A,3关于坐标原点O对称，|A3|=4,OM过点A,3且与直

线x+2=0相切.

（1）若A在直线x+y=0上，求。〃的半径；

（2）是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由.

2018-2023年高考数学真题知识点分类汇编：直线与圆

参考答案与试题解析

一.选择题(共9小题)

1.(2020•新课标III)点(0,-1)到直线y=Z(x+1)距离的最大值为()

B.近C.a

【考点】点到直线的距离公式.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论.

【解答】解：方法一：因为点(0,-1)到直线y=Z(x+l)距离

•.•要求距离的最大值，故需&>0；

•.•必+122%当且仅当％=1时等号成立,

可得痣=&,当A=1时等号成立.

方法二：由y=k(x+l)可知，直线y=k(x+l)过定点B(-1,0),

记4(0,-1),则点A(0,-1)到直线>=氏(x+1)距离e

故选:B.

【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题.

2.(2018•北京)在平面直角坐标系中，记d为点尸(cos。，sin。)到直线尤--2=0的

距离.当。、〃?变化时，”的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

【考点】点到直线的距离公式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆.

【分析】if要d应共3当sm(e-

a)=-1时，加“=1+」—Q.由此能求出d的最大值.

【解答】解：由题意d=

・•・当sin(0-a)=-1时，

o

dmax=1+,/W3.

的最大值为3.

故选：C.

【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函

数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

3.(2022•上海)设集合Q={(x,j)|Qx-k)2+(y-必)2=4因,依Z}

①存在直线/,使得集合Q中不存在点在/上，而存在点在/两侧；

②存在直线/，使得集合。中存在无数点在/上；()

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】分&=0,k>0,k<0,求出动点的轨迹，即可判定.

【解答】解：当k=0时，集合。={(x,y)|(x-Z)2+(y-必)2=4因，依Z}={(0,

0)},

当%>0时，集合Q={(x,y)|(x-k)2+(j-fc2)2=4阂，keZ],

表示圆心为(k,必),半径为r=2j'T的圆，

圆的圆心在直线y=/上，半径r=/(A)=24单调递增，

相邻两个圆的圆心距d=V(k+l-k)2+[(k+l)2-k2]2=V4k2+4k+2)相邻两个圆

的半径之和为/=2«+2«71，

因为“>/有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，

当&<0时，同火>0的情况，故存在直线/,使得集合。中不存在点在/上，而存在点在

/两侧，故①正确，

若直线/斜率不存在，显然不成立，

设直线/：y=mc+n,若考虑直线/与圆(x-A)2+(y-F)2=4伙|的焦点个数，

d=峥F-L,厂=R|卜I，

给定m,n,当k足够大时，均有d>r,

故直线/只与有限个圆相交，②错误.

故选：B.

【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题.

4.（2022•北京）若直线2x+y-1=0是圆（x-a）2+/=1的一条对称轴，则“=（）

A.AB.C.ID.-1

22

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算.

【分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得。值.

【解答】解：圆（x-a）2+/=1的圆心坐标为（小0）,

•.•直线2x+y-1=0是圆（x-a）2+y2=l的一条对称轴，

.♦.圆心在直线2x+y-1=0上，可得2a+0-l=0,即a=_L.

2

故选：A.

【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题.

5.（2021•全国）已知点P在圆（x+1）2+y2=2上，则P到直线x+y-5=0距离的最小值为

（）

A.&B.C.272D.35/2

2

【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.

【分析】求出圆心C（-1,0）到直线x+y-5=0的距离，减去半径，即可得出结论.

【解答】解：（X+1）2+）?=2的圆心C（-1,0）到直线x+y-5=0的距离等于

故圆（X+1）2+尸=2上的动点P到直线x+y-5=0的距离的最小值为3我//^=2&.

故选：C.

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，求出圆心C（-1,0）

到直线x+y-5=0的距离是解题的关键.

6.（2021•北京）已知直线），=履+%（加为常数）与圆/+9=4交于M,N,当上变化时,

若|MN|的最小值为2,则〃i=（）

A.±1B.±V2C.±V3D.±2

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；逻辑推理.

【分析】将直线被圆C所截的弦长的最小值，转化为圆心到直线/的距离的最大值，结

合点到直线的距离公式，得到等式关系，求解即可得到答案.

【解答】解：圆C：/+）2=4,直线/：y=kx+m,

直线被圆C所截的弦长的最小值为2,设弦长为“，

则圆心C到直线/的距离"=¥

当弦长取得最小值2时，则d有最大值4n

又m---＞因为必＞0，则《1+k?＞1，

Vl+k2

故d的最大值为|mI=«，解得m=±V3.

故选：C.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查了直线被圆所截得的弦长问

题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.

7.（2020•北京）已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

【考点】圆的标准方程.

【专题】对应思想；数形结合法；直线与圆；直观想象.

【分析】结合题意画出满足条件的图象，结合图象求出答案即可.

【解答】解：如图示：

半径为1的圆经过点（3,4）,可得该圆的圆心轨迹为（3,4）为圆心，1为半径的圆,

故当圆心到原点的距离的最小时，

连结08,A在。8上且4B=1,此时距离最小，

由08=5,得04=4,

即圆心到原点的距离的最小值是4,

故选：A.

【点评】本题考查了圆的基础知识，考查数形结合思想，是一道常规题.

8.（2020•新课标H）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0

的距离为（）

A.近B.班C.岖D.晅

5555

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】方程思想；综合法；直线与圆：数学运算.

2

【分析】由已知设圆方程为（x-d）+（y-a）2=〃2,（2,1）代入，能求出圆的方程，

再代入点到直线的距离公式即可.

【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a,a）,则半径为ma>0.

故圆的方程为（x-a）2+（y-a）2-a2,再把点（2,1）代入，求得。=5或1,

故要求的圆的方程为（x-5）2+（y-5）2=25或（x-1）2+（y-1）2=1.

故所求圆的圆心为（5,5）或（1,1）；

故圆心到直线2r-y-3=0的距离d=忸.七-^|=汉鱼或d=忸尸-卜3]=

22

业+12572+1

娓,

5，

故选：B.

【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，

是解题的关键，属于基础题.

9.（2020•新课标I）已知圆/+）?-6x=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度

的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】由相交弦长和圆的半径，及圆心C到过。（1,2）的直线的距离d之间的勾

股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d

最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值.

【解答】解：由圆的方程可得圆心坐标C（3,0）,半径r=3；

设圆心到直线的距离为d,则过。（1,2）的直线与圆的相交弦长|AB|=2行彳，

当d最大时弦长最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d=\CD\=

I（3-1）2+（2-0）2=2&，

所以最小的弦长|AB|=呼_@近产=2，

故选：B.

【点评】本题考查直线与圆相交的弦长公式，属于中档题.

二.多选题（共2小题）

（多选）10.（2021•新高考II）已知直线/：以+勿-2=0与圆C：点A（a,b）,

则下列说法正确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离

C.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

D.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.

【分析】A中，由点A在圆上，可得a,b,r的关系，求出圆心到直线/的距离，与半径

比较可得A的真假；B中，由点A在圆外，可得a,4r的关系，求出圆心到直线/的距

离，与半径比较，可得8的真假；C中，点A在直线/上，可得“，儿『的关系，求出

圆心到直线/的距离，与半径比较，可得C的真假；。中，由点A在圆内，可得a,b,

r的关系，求出圆心到直线/的距离，与半径比较，可得。的真假.

2

【解答】解：A中，若A在圆上，则/+必=/,而圆心到直线/的距离］=丁3_

J2-2

va+b

仍，所以直线与圆相切，即A正确；

2

8中，点4在圆C外，贝I而圆心到直线/的距离金_.<W，所以直

J22

Va+b

线/与圆相交，所以3不正确；

2

。中，点4在直线/上，贝|/+必=’,而圆心到直线/的距离所以

J2

va+b

直线/与圆相切，所以C正确；

2

。中，点4在圆。内，则/+/72V凡而圆心到直线/的距离d=r=£_->|r|,所以直

J2-2

Va+b

线/与圆相离，所以。正确：

故选：ACD.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，点与圆，点与直线的关系的性质的应用，

属于基础题.

(多选)11.(2021•新高考I)已知点P在圆(%-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0),

B(0,2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NP8A最小时，|尸8|=3&

D.当/PBA最大时，|PB|=3&

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；转化法；直线与圆；直观想象；数学运算.

【分析】求出过AB的直线方程，再求出圆心到直线A8的距离，得到圆上的点P到直线

AB的距离范围，判断A与8；画出图形，由图可知，当过8的直线与圆相切时，满足/

PBA最小或最大，求出圆心与B点间的距离，再由勾股定理求得|P8|判断C与。.

【解答】解：(4,0),B(0,2),

...过A、8的直线方程为方玲=1，即x+2)，-4=0,

圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心坐标为(5,5),

X

圆心到直线x+2y-4=0的距离d=ll5+2X5-41U=21VI>4,

71W娓5

...点P到直线A8的距离的范围为［卫近__中型近_+事，

55

vJjV5<5>_4<1,刊<10,

555

.•.点P到直线A8的距离小于10,但不一定大于2,故4正确，8错误；

如图，当过3的直线与圆相切时，满足NPBA最小或最大(P点位于Pi时/PBA最小,

位于P2时NP54最大)，

此时|BC1=4(5-0)2+(5-2)2=425+9=V34,

；•|P8|=7|BC|2-42=V18=3V2,故CO正确.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题.

三.填空题(共16小题)

12.(2022•上海)若关于x,y的方程组有无穷多解，则实数切的值为4.

lmx+16y=8

【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系；直线的一般式方程与直线的平行关系；

两条直线的交点坐标.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】根据题意，分析可得直线x+，〃y=2和mr+16y=8平行，由此求出机的值，即可

得答案.

【解答】解：根据题意，若关于X,y的方程组（,何=？有无穷多解，

lmx+16y=8

贝1J直线x+my=2和〃a+16y=8重合，则有1X16="?XM,即〃?=]6,解可得加=±4,

当机=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，

当〃2=-4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，

故）?=4.

故答案为：4

【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题.

13.（2021•上海）直线x=-2与直线愿x-y+l=0的夹角为

【考点】两直线的夹角与到角问题.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数据分析.

【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.

【解答】解：•••直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为三，

2

直线愿x-y+l=0的斜率为北，倾斜角为三，

3

故直线x=-2与直线J§x-y+l=o的夹角为三一三=工，

236

故答案为：2L.

6

【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题.

14.（2020•上海）已知直线/|：x+ay=l,/2：ox+y=l,若h//l2,则/1与/2的距离为

【考点】两条平行直线间的距离.

【专题】方程思想；定义法；直线与圆；数学运算.

【分析】由人〃/2求得a的值，再根据两平行线间的距离计算即可.

【解答】解：直线/i：x+ay=1,/2：ax+y=1,

当/1〃/2时，a2-1=0,解得a=±l；

当。=1时/1与/2重合，不满足题意；

当。=-1时此时八：x-y-1=0,/2：x-j+l=0；

则/1与/2的距离为d=I-1।=近.

#+（-1）2

故答案为：&.

【点评】本题考查了平行线的定义和平行线间的距离计算问题，是基础题.

15.（2018•全国）坐标原点关于直线x-y-6=0的对称点的坐标为（6,-6）

【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.

【专题】计算题；方程思想：定义法；直线与圆.

【分析】设坐标原点关于直线x-y-6=0的对称点的坐标为（a,b）,利用中点坐标公

式、直线与直线垂直的性质列出方程组，能求出结果.

【解答】解：设坐标原点关于直线x-y-6=0的对称点的坐标为（a,h）,

解得q=6,b--6,

坐标原点关于直线x-y-6=0的对称点的坐标为（6,-6）.

故答案为：（6,-6）.

【点评】本题考查点关于直线对称的点的坐标的求法，考查中点坐标公式、直线与直线

垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.

16.（2023•上海）已知圆C的一般方程为/+2x+y2=0,则圆C的半径为1.

【考点】圆的一般方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】把圆C的一般方程化为标准方程，可得圆C的圆心和半径.

【解答】解：根据圆C的一般方程为7+2x+y2=0,可得圆C的标准方程为（x+1）2+）,2

=1,

故圆C的圆心为（0,-1）,半径为1,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属基础题.

17.（2022•全国）已知O为坐标原点，点P在圆（x+l）2+y2=9上，则|OP|的最小值为2.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】函数思想；转化法；直线与圆；坐标系和参数方程；数学运算.

【分析】由圆的参数方程可得P的坐标，再由两点间的距离公式写出|OP|,结合三角函

数求最值.

【解答】解：如图，

令x+l=3cos。，y=3sinO,得x=3cos8-l,y=3sin。，即尸(3cosO-l,3sin0),

..1=yj(3cos9-1)+(3sin6)=V10-6cos9，

则当cos0=l时，|0P|有最小值为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查圆的应用，考查圆的参数方程，考查运算求解能力，是基础题.

18.(2022•天津)若直线x-y+m=0(nz>0)与圆(x-1)?+(y-1)2=3相交所得的弦

长为tn,则m=2.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可

得解.

【解答】解:•.•圆心C(1,1)到直线x-y+m=0(m>0)的距离”=m

万

又直线与圆相交所得的弦长为m,

2

m2=4(3-^-),

解得机=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查直线与圆相交的弦长问题，点到直线的距离公式，方程思想，属基础

题.

19.(2022•甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在。"上，则QW

的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.

【考点】圆的标准方程.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】设出圆心坐标(a,l-2a),根据半径相等，求得。的值，可得圆心和半径，从

而得到圆的标准方程.

【解答】解：由点历在直线2x+y-1=0上，可设M(a,l-2a),

由于点(3,0)和(0,1)均在OM上，一圆的半径为｛(a-3)2+(l-2a-0)2=

V(a-0)2+(1-2a-l)

求得。=1,可得半径为遥，圆心M(l,-1),

故。M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5,

故答案为：(X-1)2+(y+1)2=5.

【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题.

20.(2022•乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

/+丫2_标_6y=0(或/+y2_4x_2y=0或7+\2_当-JAy=0或f+B--2y-史

3—355

=0).

【考点】圆的标准方程；圆的一般方程.

【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；数学运算.

【分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程.

【解答】解：设过点(0,0),(4,0),(-1,1)的圆的方程为/+y2+Dt+Ey+F=0,

'F=0

即,16+4D+F=0>解得尸=0，D--4,E--6,

2-D+E+F=0

所以过点(0,0),(4,0),(-1,1)圆的方程为了+y2-4x-6y=0.

同理可得，过点(0,0),(4,0),(4,2)圆的方程为f+y2-4x-2y=0.

过点(0,0),(-L1),(4,2)圆的方程为7+)，-当:-均=0.

33

过点(4,0),(-L1),(4,2)圆的方程为一+)?-也「2y-」旦=0.

55

故答案为:/+y2-4x-6y=0(或7+y2-4%-2y=0或/"-退y=0或；?+/-也%

335

-2y-至=0).

5

【点评】本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题.

21.(2022•新高考H)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=q对称的直线与圆

(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则〃的取值范围是

3—2

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.

【分析】求出4B的斜率，然后求解直线48关于y=a对称的直线方程，利用圆的圆心

到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解。的范围即可.

【解答】解：点A(-2,3),B(0,a),kAB二世3,所以直线AB关于y=a对称的直

2

线的斜率为：立生，所以对称直线方程为：y-a=&曳・x，即：(3-«)x-2y+2a=0,

22

(x+3)2+(y+2)2=1的圆心(-3,-2),半径为1,

所以139回上支+2_g_L41，得12a2-22a+6W0,解得“日工，3］.

“+(3-a)232

故答案为：［上，旦］.

32

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是

中档题.

2

22.(2022•新高考I)写出与圆7+丁=1和(x-3)+(y-4)2=脂都相切的一条直线的

方程x=-1(填3x+4y-5=0,7x-24y-25=0都正确).

【考点】圆的切线方程.

【专题】方程思想；综合法；直线与圆；数学运算.

【分析】由题意画出图形，可得两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条.分

别求出三条切线方程，则答案可求.

【解答】解：圆/+y2=l的圆心坐标为。(0,0),半径门=1,

圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心坐标为C(3,4),半径以=4,

如图：

x

：|0C|=ri+，2,.•.两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条.

VkA_=A,.•./［的斜率为上，设直线/”y=-3x+b，即3x+4y-4b=0,

oc344

由।Yb|,解得匕=$（负值舍去），则/i：3x+4y-5=0：

54

由图可知，/2:X--1;/2与，3关于直线尸■|^对称，

\=-1

联立14，解得/2与/3的一个交点为（-1,一生），在/2上取一点（-1,0）,

y.x3

O

yp_4x^T

~2~

该点关于y=^x的对称点为（刈，和），则］，解得对称点为（工，一丝）.

y

30=_32525

x0+1一.

则/3:产工（x+1）二即7x-24y-25=0.

24''3

与圆*2+y2=l和（x-3）2+（j-4）2=16都相切的一条直线的方程为:

X--1（填3x+4y-5=0,7x-24y-25=0都正确）.

故答案为：x=-1（填3x+4y-5=0,7x-24厂25=0都正确）.

【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能

力，是中档题.

23.（2021•天津）若斜率为旧的直线与y轴交于点A,与圆/+（y-1）2=1相切于点以

则怩8|=_百_.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.

【分析】由题意如图可得A8与半径3c的关系，再由切线的斜率可得|AB|的值.

【解答】解假设A在x轴的上方，斜率为鱼的直线与x轴交于。，

则可得tan/AOO=f，所以cotNBAC=J§,如图所示，由圆C的方程可得，圆的半

径为

由于8为切点，所以A8J_8C,所以|AB|=|BC|,cot/BAC=J§,

故答案为：V3.

【点评】本题考查直线与圆相切的性质，直线斜率的应用，属于中档题.

24.（2020•天津）已知直线x-禽y+8=0和圆/+y2=J（厂＞0）相交于A,B两点.若|AB|

=6,则r的值为5.

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；直线与圆；数学运算.

【分析】根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线1-我尹8

=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得/=/+（」笆_1）2,计算可得答案.

2

【解答】解：根据题意，圆/+/=/的圆心为（0,0）,半径为r；

则圆心到直线x^^），+8=0的距离d=*=4

V1+3

若|AB|=6,则有/=/+2=16+9=25,

2

故厂=5；

故答案为：5

【点评】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题.

25.（2020•浙江）己知直线＞=入+/2（左＞0）与圆/+/=1和圆（x-4）2+/=1均相切,

则k=,b=-2巨.

—3——3—

【考点】圆的切线方程.

【专题】方程思想；分析法；直线与圆；数学运算.

【分析】根据直线/与两圆都相切，分别列出方程力也-L=1,小=1产|=i,

解得即可.

【解答】解：由条件得Ci（0,0）,n=\,Ci（4,0）,n=\,

因为直线/与Ci,C2都相切，

故有力=|一=[,d2=愕+bI=i,

则有」b|__=_愕+11_,故可得必=（4k+b）2,整理得&（2k+b）=0,

因为人＞0,所以2A+b=0,BPb=-2k,

代入力=/LL=1,解得上=返_,则b=-R2,

向33

故答案为：逅：-2^1.

33

【点评】本题考查直线与圆相切的性质，考查方程思想，属于中档题.

26.（2019•浙江）已知圆C的圆心坐标是（0,m）,半径长是r.若直线2x-），+3=0与圆C

相切于点A（-2,-1）,则片-2,r=_\[5_.

【考点】圆的切线方程.

【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆.

【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得相，再由两点间

的距离公式求半径.

【解答】解：如图，

22

，圆心为(0,-2),则半径r=yj(-2-0)2+(-1+2)2=A/5,

故答案为：-2,V5-

【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题.

27.（2018•天津）已知圆-2x=0的圆心为C,直线《广，。为参数）与该

y=3-4t

圆相交于A，8两点，则AABC的面积为

【考点】直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；坐标系和参数方程.

【分析】把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；

直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，

计算弦长|A8|,利用三角形面积公式求出aABC的面积.

【解答］解：圆?+『-2%=0化为标准方程是（x-1）2+/=1,圆心为C（1,0）,半

x=_1+__t

直线《化为普通方程是x+y-2=0,

则圆心C到该直线的距离为d=11+0-2|=&

弦长|明=2777=2。^=2X隼=近,

：./XABC的面积为S=2•依阴乜=工*&X返

2222

故答案为：1.

2

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了参数方程应用问题，是基

础题.

四.解答题（共3小题）

28.（2021•甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线C的极坐标方程为p=2V2cos0.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足亚=&京，写出P

的轨迹C\的参数方程，并判断C与Ci是否有公共点.