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文档简介

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页随机变量的函数的分布一维延续型随机变量的函数的分布问题：设延续型随机变量的概率密度为,对给定延续函数，则有是随机变量，试求的分布函数和概率密度。普通主意如下:记,则随机变量的分布函数,对分布函数求导数得到概率密度.求随机变量的函数的概率密度的普通主意:先求的分布函数,然后对求导数得到概率密度.这种主意不仅适用于求一维随机变量的函数的概率密度.而且也适用于求二维或更多维的随机变量的函数的概率密度.定理一设延续型随机变量的概率密度为,函数在区间上郑重单调,其反函数有延续导数,则是一个延续型随机变量,其概率密度为,其中和分离为的定义域和值域.证实若在区间上郑重单调递增，当，有；当时，，此时；当时，，，于是，因为，所以。若在区间上郑重单调递减，当，有；当时，，此时；当时，，，于是，因为，所以。综合上述两种情形的论述即得定理的结论。该定理从理论上对问题举行了彻底解决,实际做题时可套用,也可以按其证实的主意举行做题,而不必记此公式.例1设,试求(为常数,且)的概率密度.解由题设条件,的概率密度为,,先求分布函数若,则,于是,;若,则,于是,,从而得的概率密度,,由正态分布的定义,可见,异常当时,,,即顺从标准正态分布.(这个结论很实用).例2设随机变量在上顺从匀称分布,试求的概率密度.解由题设条件,的概率密度为;记,所以,.例3设随机变量在上顺从匀称分布,试求的概率密度.解由题设条件,的概率密度为;,当时,;当时,;当时,;当时,,此时所以.例4由统计物理学知道,气体分子运动速度的绝对值顺从马克斯威尔分布,即其概率密度为,其中参数,试求分子运动动能的概率密度.解的分布函数,当时,,当时,,,于是的概率密度.例5已知,求的概率密度.解由题设条件,的概率密度为,；,当时,;当时,,,故的概率密度为.例6已知随机变量的分布函数,求的分布函数.解当时,;当时,,当时,,故.例7设随机变量和互相自立,且都顺从标准正态分布,试求的概率密度(的分布叫做自由度为2的分布).解按照题设条件知,和的概率密度分离为,,,,由和互相自立,得的概率密度为,;,当时,;当时,;当时,,于是的概率密度为.例8若气体分子的速度是随机向量,各分量互相自立,且均顺从,试证顺从马克斯威尔分布.证实由题设条件,的概率密度分离为,,;因为互相自立,所以()的概率密度为当时,;当时,,于是的概率密度为.其中我们用到了球面坐标变换,,,;.例9设随机变量的概率密度为，试求的分布函数和概率密度。解,（1）当时,;（2）当时,;（3）当时,，，，于是，其中。不是的概率密度。例10设随机变量的概率密度为，试求的分布函数和概率密度。解,当时,；当时,;（3）当时,，于是，其中。是的概率密度。显然例9，例10的关系为。例11设对球的直径举行测量，测量值在区间

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