微积分全套教学课件

微积分函数是现代数学中的基本概念之一,是微积分的主要研究对象.在这一章当中,我们在中学知识的基础上,学习函数的定义和基本性态,并介绍一些经济学上常见的函数,为讨论函数的微分和积分做准备.函数1.1预备知识1.1.1变量及其变化范围1.变量的定义我们在观察某一现象的过程中,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在过程中不起变化,我们把其称为常量;有的量在过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,我们则把其称为变量.1.1预备知识2.变量的表示如果变量的变化是连续的,则常用区间来表示其变化范围.在数轴上来说,区间是指介于某两点之间的线段上点的全体.区间表示见表1-1.1.1预备知识在表1-1中,描述的都是有限区间,除此之外,还有无限区间:

[a,+∞):表示不小于a的实数的全体,也可记为:a≤x<+∞;

(-∞,b):表示小于b的实数的全体,也可记为:-∞<x<b;

(-∞,+∞):表示全体实数,也可记为:-∞<x<+∞.注意：其中-∞和+∞,分别读作“负无穷大”和“正无穷大”,它们不是数,仅仅是记号.1.1预备知识3.邻域设δ>0,则称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域,记作U(a,δ),即其中点a称为邻域的中心,δ称为邻域的半径．有时,用到的邻域需要把邻域的中心去掉,集合{x|0<x-a<δ}不包含点a,称为点a的去心邻域,记作U(a,δ),即1.1预备知识1.1.2函数及其特性1.函数的概念在研究实际问题时,常常有几个量同时变化,它们的变化往往不是彼此独立,而是相互之间存在着依赖关系.为了便于研究,我们先考虑两个变量之间的关系,下面是一些具体的例子.1.1预备知识

(1)函数定义中的两个基本要素由定义可见,当定义域与对应法则确定后,函数就完全确定了.函数定义中有两个基本要素:定义域和对应法则.研究函数时,必须注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义来确定定义域,如例2中的定义域为{220,208,196,184,172,160,148,136}.对于用数学式子表示的函数,它的定义域可由函数表达式来确定,这时约定函数的定义域就是使得算式有意义的一切实数组成的集合,称为函数的自然定义域.1.1预备知识

(2)函数与函数值的记号已知y是x的函数,可记为y=f(x).但在同一个问题中,如需要讨论几个不同的函数,为区别清楚起见,就要用不同的函数记号来表示.例如F(x),φ(x),y(x)等.

(3)函数的图形如图1-2所示,设函数y=f(x)的定义域为D,对于任意取定的x0∈D,对应的函数值为y0=f(x0).这样,以x0为横坐标,y0为纵坐标就在xOy上确定了一点(x0,y0).当x取遍D上的每一个数值时,就得到点(x,y)的一个集合C,即C={(x,y)|y=f(x),x∈D}.则点集C称为函数y=f(x),x∈D的图形,图中的Rf表示函数的值域.1.1预备知识2.函数的表示法表示函数的方法,常用的有三种:解析法表格法图形法1.1预备知识3.函数的几种特性

(1)函数的奇偶性(2)函数的单调性1.1预备知识1.1预备知识(3)函数的有界性1.1预备知识(4)函数的周期性1.2反函数、复合函数及初等函数1.2.1反函数1.2反函数、复合函数及初等函数1.2.2复合函数我们知道,y=f(u)表明y是u的函数,u=g(x)表明u是x的函数,那么在什么情况下y会是x的函数呢?1.2反函数、复合函数及初等函数1.2.3初等函数1.基本初等函数

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

1.2反函数、复合函数及初等函数1.2反函数、复合函数及初等函数1.2反函数、复合函数及初等函数1.2反函数、复合函数及初等函数1.2反函数、复合函数及初等函数1.2反函数、复合函数及初等函数2.函数的运算1.2反函数、复合函数及初等函数3.初等函数1.3经济学中常用的函数经济活动研究的函数统称为经济函数.常见的经济函数有:需求函数、供给函数、成本函数、收益函数、利润函数.1.需求函数

某一商品的需求量是指在特定时间内,在一定价格条件下,消费者愿意并能够购买的某商品的数量,用Qd表示.消费者对某种商品的需求由多种因素决定,商品的价格是影响需求的主要因素,但还有许多其他因素,如消费者收入的高低、其他代用品的价格等都会影响需求.如果除价格外,其他因素在一定时期内变化很少,即可认为其他因素对需求暂无影响.如果不考虑其他因素的影响,则Qd是价格p的一元函数,记为:1.3经济学中常用的函数1.3经济学中常用的函数2.供给函数

某一商品的供给量是指在一定时间内,在一定价格条件下,厂家愿意并能够出售的商品量,称为供给量,用Qs表示.供给量也是由多个因素决定的,如果除价格外,其他因素在一定时期内变化很少,则供给量Qs便是价格p的一元函数,记为1.3经济学中常用的函数1.3经济学中常用的函数3.总成本函数

总成本是生产和经营一定数量产品所需要的总投入,它与产品的产量密切相关.产品的成本分为固定成本和可变成本两部分.其中固定成本指支付固定生产要素的费用,比如设备费用、车间租赁费用、机器折旧费用等,它与产量Q无关;可变成本是指支付可变生产要素的成本,它随着产量的变化而变化1.3经济学中常用的函数4.总收益函数

总收益是生产者出售一定数量的产品所得到的全部收入.设商品量为Q,R表示总收益,R表示平均收益,则1.3经济学中常用的函数5.总利润函数

总利润是生产中获得的总收益和总成本之差,即

L(Q)=R(Q)-C(Q)感谢观看WEHAVEMADEGREATACHIEVEMENTS微积分极限概念是微积分最重要的概念之一,极限理论是微积分学科体系的重要基础,极限思想方法是研究微积分的重要数学思想方法,是研究微积分的重要工具,之后的导数、微分、定积分等重要概念均与此密切相关;通过极限,引入了函数的一类重要性质———连续性,函数的连续性是描述函数变化过程形态的基本概念,它是对客观世界广泛存在的连续变动现象的数学描述.本章主要介绍极限的概念、运算,并在此基础上讨论无穷小、无穷大、函数连续性的概念.第2章极限与连续2.1数列的极限2.1.1数列2.1数列的极限现在我们将进一步考察无穷数列xn=f(n)当自变量n无限增大时的变化趋势.先看下面数列:2.1.2数列的极限2.1数列的极限2.1数列的极限2.1数列的极限2.1.3收敛数列的性质2.1数列的极限2.2函数的极限2.2.1函数极限的定义2.2函数的极限2.2函数的极限

2.当x→x0时,函数f(x)的极限

考查两个例子:2.2函数的极限2.2函数的极限2.2函数的极限2.2函数的极限2.2.2函数极限的性质2.3无穷小与无穷大无穷小量和无穷大量反映了自变量在某一变化过程中,函数的绝对值无限减小和无限增大这两种特殊的变化趋势.2.3.1无穷小2.3无穷小与无穷大2.3无穷小与无穷大类似地,可以证明当x→∞时的情形.无穷小具有如下性质:性质1有限个无穷小的代数和是无穷小.性质2常量与无穷小的乘积是无穷小.性质3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质4有限个无穷小的乘积是无穷小.2.3无穷小与无穷大2.3.2无穷大2.3无穷小与无穷大2.3.3无穷大与无穷小的关系2.4极限的运算法则一些简单的函数比如基本初等函数的极限,可以通过列表观察或者图像观察得到,但对于一些复杂函数关系的极限,用观察法求极限很困难,本节将给出极限的运算法则,利用这些法则,可以拓宽求函数极限的范围.2.4.1极限四则运算法则2.4极限的运算法则2.4极限的运算法则2.4.2复合函数的极限运算法则2.5两个重要极限以及无穷小的比较前面学习了极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则,但是有一些函数的极限仅用运算法则无法求出,下面两个重要极限,在极限计算中有重要的作用.2.5.1第一个重要极限2.5两个重要极限以及无穷小的比较2.5两个重要极限以及无穷小的比较2.5.2无穷小的比较2.5两个重要极限以及无穷小的比较2.5两个重要极限以及无穷小的比较2.5两个重要极限以及无穷小的比较2.5.3第二个重要极限2.5两个重要极限以及无穷小的比较2.6函数的连续性现实世界中有许多现象,如河水流动、植物生长、气候的变化、股价的波动等,都是随着时间连续地变动的.这些现象抽象到数学上,就是函数的连续性.2.6.1函数y=f(x)在点x0处的连续性注意：增量记号Δx,Δy是不可分割的整体,增量Δx可正、可负,增量Δy可正、可负或为零.2.6函数的连续性下面从函数图像上来观察函数y=f(x)在给定点x0处的变化情况.从图2-12中可以看出,函数y=f(x)的图像是连续不断的曲线,而在图2-13中,函数y=g(x)的图像在点x=x0处断开了.2.6函数的连续性2.6函数的连续性2.6函数的连续性2.6.2函数的间断点

1.间断点的定义2.6函数的连续性

2.间断点的分类

间断点分为两类:2.6函数的连续性

由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则可得出以下定理.2.6.3初等函数的连续性2.6函数的连续性2.6函数的连续性2.6.4闭区间上连续函数的性质2.6函数的连续性感谢观看WEHAVEMADEGREATACHIEVEMENTS微积分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学,研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学和积分学统称为微积分学.微分学是微积分的重要组成部分,导数与微分是微分学中基本的概念.其中函数的导数是研究因变量相对于自变量变化而变化的快慢程度,即函数的变化率问题;而函数的微分则反映自变量有微小变化时函数相应的变化情况本章将在极限概念和运算的基础上,主要讨论导数与微分的概念及其运算.第3章导数与微分3.1导数的概念3.1.1两个问题

1.引例1瞬时速度问题

跳伞运动员做低空跳伞表演,当他从悬停在空中的直升机跳下时,不能马上打开降落伞,而是先做自由落体运动,达到一定的速度后,才能打开降落伞,然后降落,直至地面.如何分析跳伞运动员在下落中某一时刻的瞬时速度呢?如果把跳伞运动员看成是一个质点,忽略空气等阻力影响,则该质点做自由落体运动,它的运动规律是3.1导数的概念3.1导数的概念3.1导数的概念3.1导数的概念

2.引例2曲线在某一点处的切线的斜率

在机器人学中,有一项重要研究内容,就是机器人路径规划.如图3-2所示,移动机器人,想从A点出发,绕过线性的障碍物,到达B点,要使得路径最短,首先应沿着曲线的一条切线AC方向移动,如何求出曲线在某点处的切线斜率呢?图3-2机器人路径规划图3.1导数的概念3.1导数的概念3.1导数的概念3.1.2导数的定义3.1导数的概念3.1导数的概念3.1导数的概念3.1导数的概念3.1.3求导数举例3.1导数的概念3.1导数的概念3.1.4单侧导数3.1导数的概念3.1导数的概念3.1.5导数的几何意义

根据导数的几何意义及直线的点斜式方程,得曲线y=f(x)在点M0x0,y0处的切线方程和法线方程为3.1导数的概念3.1.6可导与连续的关系3.1导数的概念3.1.7导数的概念在经济学上的应用3.2导数的四则运算和反函数求导法则

前面我们根据导数的定义,求出了部分基本初等函数的导数.但对于一般的函数,根据导数的定义来求它们的导数往往很困难,甚至不可能.因此,本节和下一节我们要介绍一些求导法则并进一步确定其他基本初等函数的导数公式,以此来解决初等函数的求导问题.3.2.1导数的四则运算法则3.2导数的四则运算和反函数求导法则3.2导数的四则运算和反函数求导法则3.2.2反函数的求导法则3.3复合函数求导法则3.3.1复合函数求导法则3.3复合函数求导法则3.3.2高阶导数

速度是路程函数关于时间的变化率,而加速度是速度关于时间的变化率.变化率问题,在经济上也常常用到.例如,我们说某企业某产品产量在增长,但增长的速度在减缓,指的是产品产量在增长,但已经不如以前增长得那么快了.3.3复合函数求导法则3.3复合函数求导法则3.4隐函数求导法和对数求导法3.4.1隐函数的导数3.4隐函数求导法和对数求导法3.4隐函数求导法和对数求导法3.4.2对数求导法3.4隐函数求导法和对数求导法3.5函数的微分3.5.1微分的概念3.5函数的微分3.5函数的微分3.5函数的微分3.5函数的微分3.5函数的微分3.5.2微分的几何意义3.5函数的微分3.5.3微分的基本公式和运算法则3.5函数的微分3.5函数的微分3.6边际与弹性

边际分析和弹性分析是经济数量分析的重要组成部分,是微分法的重要应用.它密切了数学与经济问题的联系.在分析经济量的关系时,不仅要知道因变量依赖于自变量变化的函数关系,还要进一步了解这个函数变化的速度,也就是函数的变化率,即它的边际函数;不仅要了解某个函数的绝对变化率,还要进一步了解它的相对变化率,即它的弹性函数.经过深层次分析,就可以探求取得最佳经济效益的途径.3.6边际与弹性3.6.1边际分析3.6边际与弹性3.6边际与弹性3.6边际与弹性3.6.2经济学中常见的边际函数3.6边际与弹性3.6边际与弹性3.6边际与弹性3.6.3弹性分析

弹性概念是经济学中的另一个重要概念,它用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度.引例设有A和B两种商品,其单价分别为10元和100元.同时提价1元,显然改变量相同,但提价的百分数大不相同,分别为10%和1%.前者是后者的10倍,因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率,这在经济学中称为弹性.它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时,另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度,即自变量变动百分之一时,因变量变动的百分数.3.6边际与弹性3.6边际与弹性3.6.4经济学中常见的弹性函数感谢观看WEHAVEMADEGREATACHIEVEMENTS微积分上一章建立了导数和微分的概念,并研究了它们的计算方法.本章将利用导数来研究函数的某些性态,并应用这些知识解决有关极值的实际问题以及导数在经济管理中的应用.为此,我们先要学习微分学的几个中值定理,它们是导数应用的基础.第4章中值定理和导数的应用4.1中值定理4.1.1罗尔定理4.1中值定理4.1中值定理4.1中值定理4.1.2拉格朗日定理4.1中值定理4.2洛必达法则4.2洛必达法则4.2洛必达法则4.2洛必达法则4.2.1

4.2洛必达法则4.2.2

4.2洛必达法则4.2.3其他类型的未定式4.3导数的应用

通过研究一组学生的学习行为,心理学家发现接受能力(即学生掌握一个概念的能力)依赖于在概念引入之前老师提出和描述问题所用的时间.讲授开始时,学生兴趣激增,但随着时间的延长,学生的注意力开始分散.因此,教师确定最难概念讲授的时间应该是接受能力达到最大时,如何判断接受能力的增加或者减少,这就是函数单调性要研究的问题.4.3.1

在第1章,我们介绍了函数在区间上单调性的概念,下面利用导数来对函数的单调性进行研究.4.3导数的应用4.3导数的应用4.3导数的应用4.3.2

4.3导数的应用4.3导数的应用4.3导数的应用4.3导数的应用4.3导数的应用4.3导数的应用4.4函数的最值及其在经济学中的应用

在生产实践和科学研究中,往往要求在一定条件下,考虑用料最省,用时间最少,成本最低,效率最高等问题.这些问题,在数学上常常归结为求函数的最大值和最小值问题.怎样求函数f(x)在一个闭区间上的最大值和最小值呢?设函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,根据连续函数在闭区间上的性质可知,函数y=f(x)在闭区间a,b上一定有最大值和最小值.如果函数的最大(小)值是在区间内部某点取得,那么根据极值定义和定理可知,这个最大(小)值一定也是它的极大(小)值,此外,最大值和最小值也可能在区间端点处取得.因此,求可导函数f(x)在闭区间a,b上的最大值和最小值的方法:求出驻点和不可导点处的函数值,并把它与端点处的函数值进行比较,其中最大的便是函数的最大值,最小的便是函数的最小值.感谢观看WEHAVEMADEGREATACHIEVEMENTS微积分前面已经研究了一元函数的微分学,微分学研究的是如何从已知函数求出其导函数.但是在科学技术中,常常需要研究与其相反的问题:求一个未知的函数,使其导函数恰好等于某一个已知函数,从而引进了一元函数的积分学.这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.本章将介绍不定积分的概念及其计算方法.第5章不定积分5.1不定积分的概念5.1.1原函数

先看下面的两个例子5.1不定积分的概念5.1不定积分的概念5.1.2不定积分5.1不定积分的概念5.1.3不定积分的几何意义根据不定积分的定义,可知引例2中提到的切线斜率为2x的全部曲线是5.1不定积分的概念5.2不定积分的基本公式和性质5.2.1不定积分的基本公式5.2不定积分的基本公式和性质5.2.2不定积分的性质5.3第一类换元积分法

用直接积分法能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步研究不定积分的求法.本节将介绍第一类换元积分法,它是与微分学中的复合函数的求导法则相对应的积分方法.为了说明这种方法,先看下面的例子.5.4第二类换元积分法5.5分部积分法5.5分部积分法感谢观看WEHAVEMADEGREATACHIEVEMENTS微积分定积分是微积分学中另一类基本问题,它在自然科学和技术领域中有着广泛的应用.本章将从几何学、力学和经济学问题出发,引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质、计算方法,最后介绍定积分的应用.第6章定积分及其应用6.1定积分的概念6.1.1引例

1.曲边梯形的面积

曲边梯形是指在直角坐标系中,由连续曲线y=f(x)与三条直线x=a,x=b,y=0所围成的图形.如图6-1所示,M1MNN1就是一个曲边梯形.在x轴上的线段M1N1称为曲边梯形的底边,曲线段MN称为曲边梯形的曲边.6.1定积分的概念6.1定积分的概念6.1定积分的概念6.1定积分的概念

2.变速直线运动的路程

设一物体沿直线运动,已知速度v=v(t)是时间区间a,b上的t的连续函数,且v(t)≥0,求这一物体在这段时间内所经过的路程s.因为在很短的一段时间里的速度的变化很小,近似于匀速,所以可以用匀速直线运动的路程作为这段很短时间里的路程的近似值.因此,可采用与求曲边梯形的面积相仿的4个步骤来计算路程s.6.1定积分的概念6.1定积分的概念6.1定积分的概念

3.总收入的现值

6.1定积分的概念6.1.2定积分的定义

在上述三个例子中,虽然所计算的量具有不同的实际意义,如果抽去它们的实际意义,可以看出计算这些量的思想方法和步骤都是相同的,并最终归结为求一个和式的极限.对于这种和式的极限,给出下面的定义.6.1定积分的概念6.1定积分的概念6.1定积分的概念6.1定积分的概念6.1.3定积分的几何意义6.1定积分的概念6.1定积分的概念6.2定积分的性质6.2定积分的性质6.2定积分的性质6.2定积分的性质图6-12被积函数为1的积分几何表示6.2定积分的性质6.2定积分的性质6.3微积分的基本公式6.3微积分的基本公式6.3.1积分上限函数

设函数f(x)在区间[a,b]上可积,并且设x为区间[a,b]上任一点.显然f(x)在部分区间a,x上可积.现在来考察f(x)在部分区间a,x上的定积分6.3微积分的基本公式6.3微积分的基本公式6.3微积分的基本公式6.3微积分的基本公式6.3微积分的基本公式6.3.2牛顿-莱布尼茨公式6.3微积分的基本公式6.4定积分的换元积分法和分部积分法6.4定积分的换元积分法和分部积分法6.5无限区间上的广义积分6.5无限区间上的广义积分6.5无限区间上的广义积分6.5无限区间上的广义积分6.5无限区间上的广义积分6.6定积分的应用6.6.1定积分在几何上的应用6.6定积分的应用6.6定积分的应用6.6定积分的应用6.6定积分的应用6.6定积分的应用6.6定积分的应用6.6定积分的应用6.6定积分的应用6.6.2定积分在经济上的应用6.6定积分的应用感谢观看WEHAVEMADEGREATACHIEVEMENTS微积分在前面的章节中,我们讨论的是一元函数的有关性质、应用等;一元函数描述的仅仅是一个变量与另一个变量之间的对应关系.但是在许多实际问题中,常常会遇到描述多个变量与一个变量之间的对应关系的问题,反映到数学上就是多元函数.一元函数的多数概念和理论都能够相应地推广到多元函数上来,因此本章将在一元函数微分学的基础上,着重讨论二元函数微分学的概念、计算方法及某些应用.第7章多元函数微分学7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1.1预备知识

1.空间直角坐标系

在平面解析几何中,我们建立了平面直角坐标系,并通过平面直角坐标系,把平面上的点与有序数组(即点的坐标(x,y))对应起来.同样,为了找到空间的点与有序数组之间的联系,依照平面解析几何的方法,可以通过建立空间直角坐标系来实现.7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1.2二元函数的概念7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1.3二元函数的极限7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1.4二元连续函数的概念及性质7.1二元函数的极限和二元连续函数7.1二元函数的极限和二元连续函数7.2偏导数7.2偏导数7.2偏导数7.2偏导数7.2.1偏导数的概念7.2偏导数7.2偏导数7.2偏导数7.2.2偏导数的求法7.3全微分7.3全微分7.3全微分7.3.1全微分的概念7.3全微分7.3全微分7.3全微分7.3全微分7.3.2全微分在近似计算中的应用7.4多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式7.4多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式7.4.1二元复合函数的求导法则7.4多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式7.4多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式7.4.2二元复合函数求导法则的推广和变形7.4多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式7.4.3隐函数的求导公式7.4多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式7.4多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式7.5高阶偏导数7.5.1高阶偏导的定义7.5高阶偏导数7.5高阶偏导数7.5.2多元复合函数的高阶偏导7.6多元函数的极值及其应用7.6多元函数的极值及其应用7.6.1二元函数的极值7.6多元函数的极值及其应用7.6.2二元函数取得极值的条件7.6多元函数的极值及其应用7.6多元函数的极值及其应用7.6.3条件极值、拉格朗日乘数法7.6多元函数的极值及其应用7.6多元函数的极值及其应用感谢观看WEHAVEMADEGREATACHIEVEMENTS微积分第8章二重积分及其应用8.1二重积分的概念和性质8.1.1二重积分的概念8.1二重积分的概念和性质8.1二重积分的概念和性质8.1二重积分的概念和性质8.1二重积分的概念和性质8.1二重积分的概念和性质8.1二重积分的概念和性质8.1二重积分的概念和性质8.1二重积分的概念和性质8.1.2二重积分的性质8.1二重积分的概念和性质8.1二重积分的概念和性质8.2直角坐标系下二重积分的计算8.2.1积分区域D为X型区域下二重积分的计算8.2直角坐标系下二重积分的计算8.2直角坐标系下二重积分的计算8.2.2积分区域D为Y型区域下二重积分的计算8.2直角坐标系下二重积分的计算8.2.3二重积分的对称性定理以及应用8.2直角坐标系下二重积分的计算8.2直角坐标系下二重积分的计算8.3极坐标系下二重积分的计算8.3