高一数学竞赛选拔赛试题

2021年元济中学高一数学竞赛选拔赛试题班级姓名得分选择题〔每题只有一个正确选项〕1．化简得〔〕(A)(B)(C)(D)2．集合，那么以下正确的选项是〔〕(A)(B)(C)(D)3．当时，，那么以下大小关系正确的选项是〔〕(A)(B)""(C)(D)4．设圆的方程为，直线的方程为()，圆被直线截得的弦长等于()(A)(B)(C)(D)与有关5．函数是()(A)周期为的偶函数(B)周期为的奇函数(C)周期为的偶函数(D)周期为的奇函数6．设函数的定义域为，的解集为，的解集为，那么以下结论正确的选项是〔〕(A)(B)(C)(D)7．为三条不同的直线，且平面，平面，．(1)假设与是异面直线，那么至少与、中的一条相交；(2)假设不垂直于，那么与一定不垂直；(3)假设∥，那么必有∥；(4)假设，，那么必有．其中正确的命题的个数是()(A)(B)(C)(D)8．函数对于任意的恒有意义，那么实数的取值范围是()(A)且(B)且(C)且(D)二、填空题9．，那么．10．A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，假设6，设的最大值为，最小值为，那么的值为．11．全集，集合，集合，那么集合=．12．高一年级某班的局部同学参加环保公益活动收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个．假设这三个小组共收集了233个废旧电池，那么这三个小组共有个学生．一三．代数式的最小值为．14．设5长方体的一个外表展开图的周长为，那么的最小值是．一五．定义在上的函数满足：，那么16．函数，假设，那么实数组成的集合的元素个数为.17．关于的方程〔〕无实根，那么的取值范围是.一八．关于的不等式的解集为，集合，假设，那么实数的取值范围是.三．解答题〔解容许有必要文字说明和演算步骤〕19．圆的方程是，点是圆上一个动点，点是关于点的对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后所得的点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离的最大值和最小值．20．△中，∠90°，1，⊥平面，∠60°，E、F分别是、上的动点，且 〔Ⅰ〕求证：不管λ为何值，总有平面⊥平面； 〔Ⅱ〕当λ为何值时，平面⊥平面？21．设函数的定义域是，且对任意都有．假设对常数，，判断在上的单调性；22.定义域为的函数同时满足以下三个条件：[1]对任意的，总有；[2]；[3]假设，，且，那么有成立，并且称为“友谊函数〞，请解答以下各题：(1)假设为“友谊函数〞，求的值；(2)函数在区间上是否为“友谊函数〞？并给出理由.(3)为“友谊函数〞，假定存在，使得且，求证：.参考答案一、选择题：填空题9．0．得而10．11．12．设甲、已、丙三个组的人数分别为．那么有，故233=，同理，均为整数，那么或，检验的方可．一三．数型结合得14．长方体的展开图的周长为，由排序或观察得：周长的最小值为．一五．716．517.(-2,2)一八.三、解答题19．解：设，，，设圆的参数方程为，那么，点是关于点的对称点，．，，当=1时，有最大值|；当时，有最小值．20．证明：〔Ⅰ〕∵⊥平面，∴⊥， ∵⊥且∩，∴⊥平面. 又 ∴不管λ为何值，恒有∥，∴⊥平面，平面, ∴不管λ为何值恒有平面⊥平面.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，⊥，又平面⊥平面，∴⊥平面，∴⊥.∵1，∠90°，∠60°，∴由2·得故当时，平面⊥平面.21．解：(1)对任意，由，存在使得且，又，，在上是增函数．22.解：〔1〕取得，又由，得〔2〕显然在上满足[1]；[2].假设，，且，那么有故满足条件[1]、[2]、[3]，所以为