《5.3.1函数的单调性》教案、导学案与同步练习

《5.3.1函数的单调性》教案(第一课时)【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的单调性学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图像、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基础，因此，本节内容具有承上启下的作用。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。B.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。1.数学抽象：导数正负与函数单调性关系2.逻辑推理：运用导数正负判断函数单调性3.数学运算：函数单调区间的求解4.直观想象：导数与函数单调性的关系【教学重点和难点】重点：理解函数的单调性与导数的正负之间的关系难点：运用导数判断函数的单调性【教学过程】教学过程教学设计意图一、新知探究在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。问题1:判断函数单调性的方法有哪些?1.定义法：2.图像法：3.性质法:增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减4.导数法问题2:图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11图像.图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象，运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？观察图像可以发现（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h'(t)>0（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h'(t)<0问题3:我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系，那么，我们能否由对于高台跳水问题，可以发现：当tϵ(0,a)时，h'h(t)函数在(0,a)上单调递增；当tϵ(a,b)时，h'h(t)函数在(a,b)上单调递减。这种情况是否具有一般性呢？问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；导数f(x0)表示函数f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调递____增；减1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．()[解析](1)√函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确．(2)×切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误．(3)√函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．(4)√若f′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f′(x)＝0不影响函数单调性．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√例1.利用导数判断下列函数的单调性:（1）f（2）f(3)f解:(1)因为fxf所以fx典(2)因为fxf所以fx=sinx-x

，函数在(3)因为fx=1-1x所以，函数fx=1-1用解不等式法求单调区间的步骤1确定函数fx的定义域；2求导函数f′x；3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；4根据3的结果确定函数fx的单调区间.跟踪训练1．（1）函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．不确定A[∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]（2）求f(x)＝3x2－2lnx函数的单调区间：[解](1)f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－eq\f(2,x)＝eq\f(23x2－1,x)＝eq\f(2\r(3)x－1\r(3)x＋1,x)，由x＞0，f′(x)＞0，解得x＞eq\f(\r(3),3).由x＞0，f′(x)＜0，解得0＜x＜eq\f(\r(3),3).∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).例2.已知导函数f'x的下列信息，试画出函数当1<x<4时,f'当x>4,或x<1时,f'当x=4,或x=1时,f'解:当1<x<4时,,f'x>当x>4,或x<1时,f'x<当x=4,或x=1时,f'综上,函数f(x)图象的大致形状如右图所示.研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.跟踪训练2．（1）导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()ABCDD[当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D.]（2）．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．(－1，2)和(4，＋∞)[由y＝f′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f(x)的大致图象如图所示．所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．]温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的单调性。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。通过特例，体会研究导数判断函数单调性的基本原理，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握运用导数判断函数单调性的步骤和方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()C[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()B2.法一：由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．法二：由于f′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f(x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．由于当x＞0时，f′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B.]3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)D[∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]4．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．(0，＋∞)[∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1）函数的单调性与导数的正负的关系；在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；2）用导数判断函数单调性的步骤；(1)求函数的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x)的单调增（或减）区间;3）应用导数判断函数图象；通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】从具体问题出发，引导学生探究运用导数研究函数单调性的方法和原理，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生运用导数判断函数单调性的方法，发展学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。《5.3.1函数的单调性》导学案（第一课时）【学习目标】1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。【重点和难点】重点：理解函数的单调性与导数的正负之间的关系难点：运用导数判断函数的单调性【知识梳理】函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调递____增；减1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．()【学习过程】一、新知探究在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。问题1:判断函数单调性的方法有哪些?1.定义法：2.图像法：3.性质法:增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减4.导数法问题2:图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11图像.图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象，运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？观察图像可以发现（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h'(t)>0（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h'(t)<0问题3:我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系，那么，我们能否由对于高台跳水问题，可以发现：当tϵ(0,a)时，h'h(t)函数在(0,a)上单调递增；当tϵ(a,b)时，h'h(t)函数在(a,b)上单调递减。这种情况是否具有一般性呢？问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；导数f(x0)表示函数f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率二、典例解析例1.利用导数判断下列函数的单调性:（1）f（2）f(3)f用解不等式法求单调区间的步骤1确定函数fx的定义域；2求导函数f′x；3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；4根据3的结果确定函数fx的单调区间.跟踪训练1．（1）函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．不确定（2）求f(x)＝3x2－2lnx函数的单调区间：例2.已知导函数f'x的下列信息，试画出函数当1<x<4时,f'当x>4,或x<1时,f'当x=4,或x=1时,f'研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.跟踪训练2．（1）导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()ABCD（2）．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．【达标检测】1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)4．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．【课堂小结】1）函数的单调性与导数的正负的关系；在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；2）用导数判断函数单调性的步骤；(1)求函数的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x)的单调增（或减）区间;3）应用导数判断函数图象；【参考答案】知识梳理1．[解析](1)√函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确．(2)×切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误．(3)√函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．(4)√若f′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f′(x)＝0不影响函数单调性．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√学习过程二、典例解析例1.解:(1)因为fxf所以fx典(2)因为fxf所以fx=sinx-x

，函数在(3)因为fx=1-1x所以，函数fx=1-1跟踪训练1．A[∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]（2）[解](1)f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－eq\f(2,x)＝eq\f(23x2－1,x)＝eq\f(2\r(3)x－1\r(3)x＋1,x)，由x＞0，f′(x)＞0，解得x＞eq\f(\r(3),3).由x＞0，f′(x)＜0，解得0＜x＜eq\f(\r(3),3).∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).例2.解:当1<x<4时,,f'x>当x>4,或x<1时,f'x<当x=4,或x=1时,f'综上,函数f(x)图象的大致形状如右图所示.跟踪训练2．（1）D[当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D.]（2）．(－1，2)和(4，＋∞)[由y＝f′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f(x)的大致图象如图所示．所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．]达标检测1．C[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]2.B2.法一：由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．法二：由于f′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f(x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．由于当x＞0时，f′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B.]3．D[∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]4．(0，＋∞)[∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]《5.3.1函数的单调性（第一课时）》基础同步练习一、选择题1．函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A．B．C．D．3.函数的单调递增区间为()A．B．C．和D．和4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（多选题）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是（）A．B．C．D．6．（多选题）已知函数，，则下列说法正确的有（）A．是奇函数B．是周期函数C．曲线在点处的切线方程为D．在区间上，单调递增二、填空题7．函数的单调增区间为___________8．函数y＝x2－4lnx的单调递减区间是________．9．已知满足为其导函数，且导函数的图象如图所示，则的解集是_________．10．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__.三、解答题11．求下列函数的单调区间．（1）；（2）；（3）．12．已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.《5.3.1函数的单调性(第一课时)》答案解析一、选择题1．函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：由图象可知，当，，时，，当时，，函数在上单调递减，在，，上单调递增，函数的一个单调递减区间是.故选：B．2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】对于A选项，函数为偶函数，在上递增，在上递减；对于B选项，函数在上递减；对于C选项，在上恒成立，则函数在其定义域上递增；对于D选项，函数在上递减.故选：C．3.函数的单调递增区间为()A．B．C．和D．和【答案】B【解析】由，得，令，即，得，解得，即的单调递增区间为．故选B．4．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由函数的图象可知：当时，，，此时单调递增；当时，，，此时单调递减；当时，，，此时单调递减；当时，，，此时单调递增．故选：C5．（多选题）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】AD【详解】由题中图象可知，导函数的图象在x轴下方，即，且其绝对值越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．A选项表示与异号，即图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示与同号，即图象的割线斜率为正，故B不正确；表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，故C不正确，D正确．故选:AD．6．（多选题）已知函数，，则下列说法正确的有（）A．是奇函数B．是周期函数C．曲线在点处的切线方程为D．在区间上，单调递增【答案】AC【详解】解：对A，的定义域为关于原点对称，，故是奇函数，即A正确；对B，若是周期函数，则存在非零常数，使，，易知：不存在非零常数，使，故不是周期函数；故B错误；对C，，，又，故在点处的切线方程为：，即，故C正确；对D，，当，故，故在上，单调递减.故选：AC.二、填空题7．函数的单调增区间为___________【答案】【详解】，，∴在上恒成立，所以函数的单调增区间为8．函数y＝x2－4lnx的单调递减区间是________．【答案】（0，）【详解】∵y′=2x﹣，令y′＜0，解得：0＜x＜．9．已知满足为其导函数，且导函数的图象如图所示，则的解集是_________．【答案】【详解】解：由的导函数的图象知：在上单调递减，在上单调递增，当时，由，得，当时，由，得，综上所述：的解集为．故答案为：.10．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是____.【答案】【详解】函数的对称轴为，且函数开口向上，，故答案为：.三、解答题11．求下列函数的单调区间．（1）；（2）；（3）．【详解】（1）易知函数的定义域为．，令，解得（舍去），用分割定义域，得下表：x-+∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）易知函数的定义域为．，令，得或，当x变化时，的变化情况如下表：x-+-∴的单调递减区间为和，单调递增区间为．（3）易知函数的定义域为．，令，得或，当x变化时，的变化情况如下表：x+--+∴函数的单调递减区间为和，单调递增区间为和．12．已知函数.（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.（2）若的单调递减区间为，求a的值.【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是（2）由题意知.因为，所以.由，得，所以的单调递减区间为，又已知的单调递减区间为，所以，所以，即.《5.3.1函数的单调性（第一课时）》提高同步练习一、选择题1．若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．2．已知是函数的导数，则“在上为减函数”是“在内恒成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数（）A．在上是增函数B．在上是减函数C．在上是减函数，在上是增函数D．在上是增函数，在上是减函数4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是()A．B．C．D．5．（多选题）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．6．（多选题）素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（）A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢B．当x很大时，随着x的增大，减小C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少D．因为，所以二、填空题7．函数的单调减区间是______．8．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是__________.9．若函数在上为减函数，则实数的取值范围是__________．10．若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．三、解答题11．已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数的单调递减区间是，求实数的值；（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．12．已知a是实数，函数．（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数在区间上的单调性．《5.3.1函数的单调性(第一课时)》答案解析一、选择题1．若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】设导函数的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为，其中，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增．故选：D．2．已知是函数的导数，则“在上为减函数”是“在内恒成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若在上为减函数时，在内不恒成立，如，显然在递减，但当时，则；若在内恒成立，设任意，则在点处的切线的斜率，所以在上为减函数．所以“在上为减函数”是“在内恒成立”的必要不充分条件．故选B．3．函数（）A．在上是增函数B．在上是减函数C．在上是减函数，在上是增函数D．在上是增函数，在上是减函数【答案】A【详解】，当时，，∴在上是增函数．故选：A4．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，由题意知，对恒成立，即对恒成立，令，显然在上递减，所以，所以．故选C．5．（多选题）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】对于A，既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A错误；对于B，的定义域为，且，是奇函数，又恒成立，故是减函数，故B正确；对于C，的定义域为，且，是奇函数，，故是减函数，故C正确；对于D，的定义域为，且，是奇函数，又是减函数，故D正确.故选：BCD.6．（多选题）素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（）A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢B．当x很大时，随着x的增大，减小C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少D．因为，所以【答案】AC【详解】设函数且，则且，且，当时，，所以当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢，故A正确；函数的图象如图所示：由图象可得随着x的增大，并不减小，故B错误；当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确；，故D错误．故选：AC．二、填空题7．函数的单调减区间是______．【答案】【解析】函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.8．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是__________.【答案】【解析】，当时，，；当时，；当时，；当时，，故函数的单调增区间是和.9．若函数在上为减函数，则实数的取值范围是__________．【答案】(－∞，－1]【解析】因为是R上的减函数，所以恒成立，即，即恒成立，因为，所以，故答案为.10．若函数f(x)＝ax3＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．【答案】(－∞，0)【解析】由f(x)＝ax3＋x，得f′(x)＝3ax2＋1.若a≥0，则f′(x)>0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；若a<0，由f′(x)>0得－<x<，由f′(x)<0，得x<－或x>，即故当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－，)，单调递减区间为(－∞，－),(，＋∞)，满足题意．答案为：(－∞，0).三、解答题11．已知函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数的单调递减区间是，求实数的值；（3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．【解析】由，得．（1）因为在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，只需，而，所以，经检验，当时，符合题意，故的取值范围是．（2）令，因为的单调递减区间是，则不等式的解集为，所以和是方程的两个实根，所以，得．（3）因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立，即对恒成立，易得函数的值域为，所以，即实数的取值范围是．12．已知a是实数，函数．（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数在区间上的单调性．【详解】（1），，则，，，，因此，曲线在点处的切线方程为，即；（2），，令，得，．①当时，即当时，对任意的，，此时，函数在区间上单调递增．②当时，即当时，此时，当，则；当时，．此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；③当时，即当时，对任意的，．此时，函数在区间上单调递减．综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间单调递减．《5.3.1函数的单调性》教案(第二课时)【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的单调性学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的单调性是函数性质中的一个重要性质，学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图像、单调性定义来研究函数的单调性，在学习导数的基础上利用导数相关知识研究函数单调性是导数的一个重要应用，也为下一节学习函数的极值打下基础，因此，本节内容具有承上启下的作用。【教学目标与核心素养】【教学反思】课程目标学科素养A.掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤．B．探究函数增减的快慢与导数的关系．C.学会处理含参函数的单调性问题1.数学抽象：导数与函数单调性的关系2.逻辑推理：运用导数正负判断函数单调性3.数学运算：函数单调区间的求解4.直观想象：函数增减的快慢与导数的关系【教学重点和难点】重点：导数判断函数的单调性的一般步骤难点：含参函数的单调性问题【教学过程】教学过程教学设计意图一、温故知新1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调递____增;减2．判断函数y＝f(x)的单调性第1步：确定函数的______；第2步：求出导数f′(x)的____；第3步：用f′(x)的____将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域;零点;零点;正负探究1.形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。例3.求函数fx=解：函数fx=13x3f'x令f'x=x1f'x在各区间上的正负，以及所以，f(x)在在-∞,-1和在-1,2上如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？用解不等式法求单调区间的步骤1确定函数fx的定义域；2求导函数f′x；3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；4根据3的结果确定函数fx的单调区间.跟踪训练1.求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2e－x.[解](1)f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－eq\f(2,x)＝eq\f(23x2－1,x)＝eq\f(2\r(3)x－1\r(3)x＋1,x)，由x＞0，f′(x)＞0，解得x＞eq\f(\r(3),3).由x＞0，f′(x)＜0，解得0＜x＜eq\f(\r(3),3).∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘f(0)＝0↗f(2)＝eq\f(4,e2)↘∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．探究2：研究对数函数分析：研究对数函数分析：幂函数函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大__比较“____”(向上或向下)越小__比较“____”(向上或向下)快;陡峭;慢;平缓例4.设x>0,f判断解：因为f所以f'x=当x=1时，f当0<x<1时,g当x>1时，0<g所以，f(x),g(x)在0,+∞上都是增函数。在区间（0,1）上，g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间1,+∞上g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”。所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。例5.设g(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．[思路探究]先对原函数求导得g′(x)＝－eq\f(ax＋12x－1,x)(x＞0)，再对a分类讨论得函数g(x)的单调性．(1)当a＜－2时，∵－eq\f(1,a)＜eq\f(1,2)，∴g′(x)＝－eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))2x－1,x)＞0等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(2x－1)＞0，易得函数g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增，同理可得在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，\f(1,2)))上单调递减；(2)当a＝－2时，g′(x)＝eq\f(2x－12,x)≥0恒成立，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当－2＜a＜0时，∵－eq\f(1,a)＞eq\f(1,2)，∴g′(x)＝－eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))2x－1,x)＞0等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(2x－1)＞0，易得函数g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，＋∞))上单调递增，同理可得在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,a)))上单调递减．利用导数研究含参函数fx的单调区间的一般步骤1确定函数fx的定义域；2求导数f′x；3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；4在不同的参数范围内，解不等式f′x＞0和f′x＜0，确定函数fx的单调区间.跟踪训练2．试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间．[解]函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－eq\f(1,x)＝eq\f(kx－1,x).当k≤0时，kx－1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，得eq\f(kx－1,x)＜0，解得0＜x＜eq\f(1,k)；由f′(x)＞0，得eq\f(kx－1,x)＞0，解得x＞eq\f(1,k).∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,k)))，单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，＋∞)).综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当k＞0时，f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,k)))，单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，＋∞)).温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的单调性。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。通过特例，体会函数增长快慢与导数之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生体会含参函数的求导问题，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1．求函数f(x)＝eq\f(ex,x－2)的单调区间．解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝eq\f(exx－2－ex,x－22)＝eq\f(exx－3,x－22).因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．2.已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.3．已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．①若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝－lna.当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1．判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．2．利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：(1)区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．(2)区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】从具体问题出发，引导学生探究运用导数研究函数单调性的方法和原理，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生运用导数判断函数单调性的方法，发展学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。《5.3.1函数的单调性》导学案（第二课时）【学习目标】1．掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤．2．探究函数增减的快慢与导数的关系．3.学会处理含参函数的单调性问题【重点和难点】重点：导数判断函数的单调性的一般步骤难点：含参函数的单调性问题【知识梳理】1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调递____增;减2．判断函数y＝f(x)的单调性第1步：确定函数的______；第2步：求出导数f′(x)的____；第3步：用f′(x)的____将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域;零点;零点;正负3.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大__比较“____”(向上或向下)越小__比较“____”(向上或向下)快;陡峭;慢;平缓【学习过程】探究1.形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。例3.求函数fx=如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？用解不等式法求单调区间的步骤1确定函数fx的定义域；2求导函数f′x；3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；4根据3的结果确定函数fx的单调区间.跟踪训练1.求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2e－x.探究2：研究对数函数例4.设x>0,f判断例5.设g(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．利用导数研究含参函数fx的单调区间的一般步骤1确定函数fx的定义域；2求导数f′x；3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；4在不同的参数范围内，解不等式f′x＞0和f′x＜0，确定函数fx的单调区间.跟踪训练2．试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间．【达标检测】1．求函数f(x)＝eq\f(ex,x－2)的单调区间．2.已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．3．已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f(x)的单调性．【课堂小结】1．判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．2．利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：(1)区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．(2)区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．【参考答案】二、典例解析例3.解：函数fx=13x3f'x令f'x=x1f'x在各区间上的正负，以及所以，f(x)在在-∞,-1和在-1,2上如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？跟踪训练1[解](1)f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－eq\f(2,x)＝eq\f(23x2－1,x)＝eq\f(2\r(3)x－1\r(3)x＋1,x)，由x＞0，f′(x)＞0，解得x＞eq\f(\r(3),3).由x＞0，f′(x)＜0，解得0＜x＜eq\f(\r(3),3).∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))).(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘f(0)＝0↗f(2)＝eq\f(4,e2)↘∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．探究2：分析：研究对数函数分析：幂函数例4.解：因为f所以f'x=当x=1时，f当0<x<1时,g当x>1时，0<g所以，f(x),g(x)在0,+∞上都是增函数。在区间（0,1）上，g(x)的函数图象比f(x)的图像要“陡峭”；在区间1,+∞上g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓”。所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1。例5.[思路探究]先对原函数求导得g′(x)＝－eq\f(ax＋12x－1,x)(x＞0)，再对a分类讨论得函数g(x)的单调性．(1)当a＜－2时，∵－eq\f(1,a)＜eq\f(1,2)，∴g′(x)＝－eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))2x－1,x)＞0等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(2x－1)＞0，易得函数g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增，同理可得在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，\f(1,2)))上单调递减；(2)当a＝－2时，g′(x)＝eq\f(2x－12,x)≥0恒成立，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当－2＜a＜0时，∵－eq\f(1,a)＞eq\f(1,2)，∴g′(x)＝－eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))2x－1,x)＞0等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(2x－1)＞0，易得函数g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，＋∞))上单调递增，同理可得在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,a)))上单调递减．跟踪训练2．[解]函数f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－eq\f(1,x)＝eq\f(kx－1,x).当k≤0时，kx－1＜0，∴f′(x)＜0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当k＞0时，由f′(x)＜0，得eq\f(kx－1,x)＜0，解得0＜x＜eq\f(1,k)；由f′(x)＞0，得eq\f(kx－1,x)＞0，解得x＞eq\f(1,k).∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,k)))，单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，＋∞)).综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当k＞0时，f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,k)))，单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，＋∞)).达标检测1．解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝eq\f(exx－2－ex,x－22)＝eq\f(exx－3,x－22).因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．2.[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.3．[解]f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．①若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝－lna.当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．《5.3.1函数的单调性（第二课时）》基础同步练习一、选择题1．函数的单调减区间为（）A．B．C．D．2．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于()A．B．－C．D．－或3．已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．4．函数的图像大致为()A．B．C．D．5．（多选题）设函数，下列条件中，使得有且仅有一个零点的是（）A．B．C．D．6．（多选题）已知为函数的导函数，且，若，方程有且只有一个根，则a的取值可能是（）A．eB．1C．D．二、填空题7．函数的单调递减区间为___________．8．函数是R上的单调函数，则m的范围是_________.9．已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为___．10．已知函数f（x）＝sinx++lnx，f（1﹣a）＜f（2a），则实数a的取值范围____．三、解答题11．已知函数.（1）当时，求曲线在点处切线的方程；（2）求函数的单调区间.12．已知.（1）当时，求的单调区间（2）若f(x)存在3个零点，求实数a的取值范围.《5.3.1函数的单调性(第二课时)》答案解析一、选择题1．函数的单调减区间为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】，，令，解得：或，的单调减区间为.故选：D.2．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于()A．B．－C．D．－或【答案】D【解析】∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.故选D3．已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意知，，因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，所以在R上恒成立，故，即．4．函数的图像大致为()A．B．C．D．【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.5．（多选题）设函数，下列条件中，使得有且仅有一个零点的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】，求导得，当时，，单调递增，当时，；当时，；由零点存在性定理知，函数有且只有一个零点，故A，C满足题意；当时，令，即，解得，，当变化时，，的变化情况如下表：极大值极小值故当，函数取得极大值，当，函数取得极小值又当时，；当时，；要使函数有且只有一个零点，作草图或则需，即，即，B选项，，满足上式，故B符合题意；则需，即，即，D选项，，不一定满足，故D不符合题意；故选：ABC6．（多选题）已知为函数的导函数，且，若，方程有且只有一个根，则a的取值可能是（）A．eB．1C．D．【答案】ACD【详解】由，得，，∴，∴，则，则，∴，方程，即，时方程显然无解；时，对于任意，函数与有一个交点，满足题意；时，则，令，则．当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，．∴在时的图象如图：由图可知，时，方程有一根，综上，的取值范围为，故选：ACD．二、填空题7．函数的单调递减区间为___________．【答案】【详解】，令，解得，所以函数的单调递减区间为．8．函数是R上的单调函数，则m的范围是_________.【答案】【详解】是R上的单调函数，则导函数恒大于等于，则，，故答案为：9．已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为____．【答案