高中数学《第四章 数列》课时同步练习与单元检测试卷（共五套）

选择性必修二《第四章数列》课时同步练习（一）一、选择题1．记为等差数列的前n项和．已知，则A．B．C．D．2．等比数列中，，则数列的前8项和等于()A．6B．5C．4D．34．已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）A．0B．1C．2D．45．数列中，，，若，则（）A．2B．3C．4D．55.（多选题）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的有（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，成等比数列6.（多选题）在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（）A．B．C．D．二、填空题7．记为等差数列的前n项和．若，则__________．8．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．9．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．10．设是数列的前项和，且，，则_______．三、解答题11．设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．12．已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.答案解析一、选择题1．记为等差数列的前n项和．已知，则A．B．C．D．【答案】A【详解】由题知，，解得，∴，故选A．2．等比数列中，，则数列的前8项和等于()A．6B．5C．4D．3【答案】C【详解】∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2…×a8）==4lg10=4．4．已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，当且仅当x=y时取“=”，5．数列中，，，若，则（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【详解】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.5.（多选题）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的有（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，成等比数列【答案】ABC【详解】若，当时，,时，，,，是等差数列，故A正确；若，当时，,，时，，，是等比数列，B正确；设等差数列的公差为，首项是,，同理，因此则，，成等差数列，C正确；若等比数列的公比，则不可能成等比数列，D错误；故选：ABC.6.（多选题）在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】因为为“阶梯数列”，由可得，，，，，…，观察可得，，，即数列以为周期，又，，所以，即，综上，，，，故A正确，B错；，即C正确；，即D正确.故选：ACD.二、填空题7．记为等差数列的前n项和．若，则__________．【答案】【详解】是等差数列，且，设等差数列的公差，根据等差数列通项公式：可得，即：整理可得：，解得：根据等差数列前项和公式：可得：，.8．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．【答案】【详解】因为，所以．即．9．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】；【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.10．设是数列的前项和，且，，则_________．【答案】【解析】原式为，整理为：，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以，即.三、解答题11．设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【详解】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.12．已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.【详解】(1)设等比数列的公比为q(q>1)，则，整理可得：，，数列的通项公式为：.(2)由于：，故：.选择性必修二《第四章数列》课时同步练习（二）一、选择题1．已知等比数列满足,,则（）A．B．C．D．2．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．153．在等差数列中，，．记，则数列（）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项4．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．5.（多选题）若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（）A．B．C．D．6.（多选题）设为数列的前项和，若()等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．下列命题正确的是（）．A．等差数列可能为“和等比数列”B．等比数列可能为“和等比数列”C．非等差等比数列不可能为“和等比数列”D．若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则二、填空题7．在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=______________；_________________．8．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．9．数列满足，前16项和为540，则__________.10．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．三、解答题11．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．12．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．（1）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；（2）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．答案解析一、选择题1．已知等比数列满足,,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得,所以,故.2．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．15【答案】C【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：．∴；；；；．原位小三和弦满足：．∴；；；；．故个数之和为10．3．在等差数列中，，．记，则数列（）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项【答案】B【详解】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.4．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．【答案】D【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．5.（多选题）若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（）A．B．C．D．【答案】AB【详解】按照规律有，，，，，，，，，故A对C错…故B对，故D错，故选：AB6.（多选题）设为数列的前项和，若()等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．下列命题正确的是（）．A．等差数列可能为“和等比数列”B．等比数列可能为“和等比数列”C．非等差等比数列不可能为“和等比数列”D．若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则【答案】ABD【详解】若等差数列的公差为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对若等比数列的公比为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对若数列满足，则是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，但它是“和等比数列”，C错；正项数列是公比为的等比数列，∴，则，故数列是首项为，公差为的等差数列，又数列是“和等比数列”，则又为非零常数，则，即，即，D对故选：ABD．二、填空题7．在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=_____；____．【答案】﹣2，【解析】q===﹣2，|a1|+|a2|+…+|an|==.8．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．【答案】【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.9．数列满足，前16项和为540，则_______.【答案】【详解】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.10．已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27【解析】设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.三、解答题11．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.12．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．（1）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；（2）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．【详解】（1）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以（）.所以，又，符合，故.（2）依题意设，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以.即，.选择性必修二《第四章数列》课时同步练习（三）一、单选题1．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A．a1+a101＞0B．a2+a100＜0C．a3+a99=0D．a51=512．在等比数列中，若，，则该数列的公比等于（）A．B．C．2D．3．若等差数列中，，则关于x的方程的根的情况为（）A．无实根B．有两个相等的实根C．有两个不等的实根D．不能确定有无实根4．已知等比数列{}中，+=，﹣=，则=（）A．﹣B．C．﹣4D．45．已知等差数列满足，，等比数列满足，，则（）A．32B．64C．128D．2566．Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比q的值为（）A．B．2C．D．－2二、填空题7．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．8．已知数列、都是等差数列，，，用、分别表示数列、的前k项和（k是正整数），若，则的值为__________9．在等比数列中，若，，则__________.三、解答题10．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和．参考答案1．【答案】C【解析】由a1+a2+a3+…+a101=0知道，，即，由等差数列的性质可知故选C2．【答案】A【解析】由题意可得：====，解得：，故选A.3．【答案】A【解析】根据等差数列的性质，有，故，所以方程为，其判别式，没有实数根，故选A.4．【答案】A【解析】∵等比数列{an}中，a1+a2=，a1﹣a3=，∴，解得，∴a4==1×（﹣）3=﹣．故选A．5．【答案】B【解析】由，可知数列,所以,故.故选B.6．【答案】D【解析】由S4，S3，S5成等差数列，得2S3＝S5＋S4，即2(a1＋a2＋a3)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5，整理得a5＝－2a4，所以＝－2，即q＝－2，故选D.7．【答案】【解析】，，，成等差数列，等差数列的公差为，，，，，成等比数列，，，又，，同为等比数列的奇数项，故同号，，故填.8．【答案】5【解析】由，得，所以，故填59．【答案】【解析】，，所以=.故填10．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，则设等差数列的公差为，则，所以.所以设等比数列的公比为，由题，即，所以.所以；（2），所以的前项和为.选择性必修二《第四章数列》课时同步练习（四）一、单选题1．已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为（）A．B．C．D．2．数列的前项和为，则（）A．B．C．D．3．已知数列的前项和为，，，成等差数列，则下列说法正确的是（）A．如果数列成等差数列，则，，成等比数列B．如果数列不成等差数列，则，，不成等比数列C．如果数列成等比数列，则，，成等差数列D．如果数列不成等比数列，则，，不成等差数列4．已知是等差数列()的前项和，且,以下有四个命题：①数列中的最大项为②数列的公差③④其中正确的序号是（）A．②③B．②③④C．②④D．①③④二、填空题5．下表给出一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为（i，j∈N*)，则_____.6．设数列的前项和为，已知，，则等于______.三、解答题7．设数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：为定值；（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.参考答案1．【答案】D【解析】是一个等差数列的前项和，则，解得，所以，所以，所以的前项和为，则.故选D2．【答案】B【解析】当时，，即；当时，，则.满足，所以，对任意的，.设，则，下式上式得，因此，.故选B.3．【答案】C【解析】若成等差数列，由，，成等差数列，得，所以，所以所以，，，当时，，成等差数列，当时，，，不成等差数列且不成等比数列；若成等比数列，由，，成等差数列，得，若，则，，由得，与题意不符，所以．由，得．整理，得，由，1，设，则，解得（舍去）或，所以；所以，则，所以，，成等差数列．故C正确；故选C4．【答案】B【解析】∵，∴，∴∴数列中的最大项为，，∴正确的序号是②③④故选B5．【答案】【解析】设第一列形成的数列为，则是首项为，公差为的等差数列，故，.设第20行形成的数列为，是首项为，公比为的等比数列，故.即.故填.6．【答案】1010【解析】因为，，因为所以，由此可得，，，所以，周期为4，所以.故填10107．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在【解析】（1）当时，，解得.当时，，即.因为，所以，从而数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）因为，所以，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，从而，，所以.（3）假设中存在第项成等差数列，则，即.因为，且，所以.因为，所以，故矛盾，所以数列中不存在三项成等差数列.选择性必修二《第四章数列》单元测试卷一、单选题1．若数列满足，，则（）A．B．C．D．2．数列-1，3，-5，7，-9，11，x，15，-17…中的x等于（）A．12B．-13C．14D．-153．已知数列中，，，则等于A．18B．54C．36D．724．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于()A．6B．7C．8D．95．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（）A．5.5尺B．4.5尺C．3.5尺D．2.5尺6．已知数列的前n项和为，满足，则的值为（）A．8B．16C．32D．817．设数列的首项，且满足，，则数列的前项和为().A．B．C．D．8．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（）A．B．C．2D．3二、多选题9．已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（）A．B．C．最小D．10．已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为C．数列为递增数列D．数列为递增数列11．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若

，

，则下列说法正确的是（）A．B．数列是等比数列C．D．数列是公差为2的等差数列12．已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（）A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列B．若数列为等差数列，，，则的最大值在或7时取得C．若数列为等比数列，则恒成立D．若数列为等比数列，则也为等比数列.三、填空题13．等比数列{an}的前n项和为．已知，则{an}的通项公式____，____．14．已知数列为等差数列，成公比不为1的等比数列，且，则公差_____.15．已知等差数列的公差，记的前项和为，则的最小值为_____.16．已知是公差不为零的等差数列，为其前项和．若成等比数列，且，则数列的前项和为______．四、解答题17．设等差数列{an﹣bn}的公差为2，等比数列{an+bn}的公比为2，且a1＝2，b1＝1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{2an+2n}的前n项和Sn．18．为正项数列的前项和．已知,(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．19．已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．20．已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．已知数列的首项，.（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前项和.22．已知数列中，，．求，，﹔猜想的表达式并给出证明；记，证明：．答案解析一、单选题1．若数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，.故选：A.2．数列-1，3，-5，7，-9，11，x，15，-17…中的x等于（）A．12B．-13C．14D．-15【答案】B【解析】记该数列为.观察数列，可得，.故选：.3．已知数列中，，，则等于A．18B．54C．36D．72【答案】B【解析】数列中，，，数列是等比数列，公比．则．故选：B．4．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于()A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】依题意，由得，由于，所以时，取最小值.故选：A5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长度（）A．5.5尺B．4.5尺C．3.5尺D．2.5尺【答案】A【解析】设等差数列，首项为，公差为，根据题意得，，解得，所以.故选：A6．已知数列的前n项和为，满足，则的值为（）A．8B．16C．32D．81【答案】B【解析】当时，，解得，当时，即，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，所以.故选：B.7．设数列的首项，且满足，，则数列的前项和为().A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，∴数列为等比数列，首项为2，又数列的前10项恰为数列的前项中的奇数项，其和为，又，由数列为等比数列，∴数列的前项中的偶数项和为，则S20＝．故选：C．8．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为（）A．B．C．2D．3【答案】D【解析】设等比数列公比为当时，，不符合题意，当时，，得，又，由，得，，故选D.二、多选题9．已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（）A．B．C．最小D．【答案】ABD【解析】因为是等差数列，所以，所以即，即所以所以正确的有ABD故选：ABD10．已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为C．数列为递增数列D．数列为递增数列【答案】AD【解析】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD11．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若

，

，则下列说法正确的是（）A．B．数列是等比数列C．D．数列是公差为2的等差数列【答案】ABC【解析】∵，且公比为整数，∴，，∴，或（舍去）故A正确，，∴，故C正确；∴，故数列是等比数列，故B正确；而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．故选：ABC.12．已知数列不是常数列，其前项和为，则下列选项正确的是（）A．若数列为等差数列，恒成立，则为递增数列B．若数列为等差数列，，，则的最大值在或7时取得C．若数列为等比数列，则恒成立D．若数列为等比数列，