《5.3.2 极值与最值》复习考点讲解与专题训练

《5.3.2极值与最值》复习考点讲解【思维导图】【常见考点】考点一求极值及极值点【例3】已知函数在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间和极值.【一隅三反】1．函数的极小值点为___________．2．数的极大值为__________．3．已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值.考点二求最值点最值【例2】．已知函数f（x）=x2（x-1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．【一隅三反】1．已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在上的最大值．2．已知函数().（1）若，求在上的最小值和最大值；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.3．设函数过点（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最大值和最小值.考点三已知极值及最值求参数【例3-1】已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)【例3-2】已知函数．（1）求的极值；（2）求在上的最大值．【一隅三反】1．已知函数在处取得极值，则（）A．1B．2C．D．-22．已知函数的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是（）A．B．C．D．3．若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调增区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．5．设函数（）.（1）讨论函数的极值；（2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值.答案解析考点一求极值及极值点【例3】已知函数在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】（1），切线为，即斜率，纵坐标即，，解得，解析式（2），定义域为得到在单增，在单减，在单增极大值，极小值.【一隅三反】1．函数的极小值点为___________．【答案】2【解析】因为，所以，令，得，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以在时取得极小值，故填：2.2．函数的极大值为__________．【答案】【解析】依题意得.所以当时，；当时，．所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.所以当时，函数有极大值．故答案为：.3．已知函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）或.【解析】（1），定义域为，.令，解得或；令，解得.所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，函数的极大值为，极小值为；（2）令，解得或，，，所以，切点坐标为或，则有或，解得或.考点二求最值点最值【例2】．已知函数f（x）=x2（x-1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．【答案】(1)的递增区间为，递减区间为．(2)最大值，最小值．【解析】（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．【一隅三反】1．已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在上的最大值．【答案】（1），；（2）13【解析】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，所以，即，又由，则，而由切线的斜率可知，∴，即，由，解得，∴，．(2)由(1)知，则，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：－3－21＋0－0＋8↗极大值↘极小值↗4∴的极大值为，极小值为，又，，所以函数在上的最大值为13．2．已知函数().（1）若，求在上的最小值和最大值；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）最小值是，最大值是；（2）.【解析】（1），由得，解得，∴，令，即，解得或，极小值∴在上的最小值是，最大值是；（2）由题意得：在区间上恒成立，∴，又当时，是增函数，其最小值为，∴，即实数的取值范围是.3．设函数过点（1）求函数的单调区间和极值；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）增区间，，减区间，极大值，极小值．（2）最大值，最小值．【解析】（1）∵点在函数的图象上,∴,解得,∴,∴,当或时,,单调递增;当时,,单调递减.∴当时,有极大值,且极大值为,当时,有极小值,且极小值为（2）由1可得:函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.∴,又,,∴考点三已知极值及最值求参数【例3-1】已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．C．(0,1)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．【例3-2】已知函数．（1）求的极值；（2）求在上的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）函数的定义域为，，当时，恒成立，则在上是减函数，无极值；当时，令，解得，则在上是减函数，在上是增函数，所以当时，有极小值，，无极大值，综上，当时，无极值，当时，有极小值，无极大值；（2）①当时，由（1）知在上是减函数，所以当时，有最大值；②当时，由（1）知在上是减函数，在上是增函数，（i）当，即时，在上是增函数，所以当时，有最大值；（ii）当即时，在上是减兩数，在上是增函数.若，即时，有最大值；若，即时，有最大值；（ⅲ）当即时，在上是减函数，所以当时，有最大值，综上所述，当时，有最大值；当时，有最大值.【一隅三反】1．已知函数在处取得极值，则（）A．1B．2C．D．-2【答案】C【解析】，依题意，即.此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.所以.故选：C2．已知函数的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，即，令z＝2a﹣b，∴转化为在约束条件为时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值，因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（，）．故选B．3．若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得：，因为函数恰有两个极值点，所以函数有两个不同的零点.令，等价转化成有两个不同的实数根，记：，所以，当时，，此时函数在此区间上递增，当时，，此时函数在此区间上递增，当时，，此时函数在此区间上递减，作出的简图如下：要使得有两个不同的实数根，则，即：，整理得：.故选D4．已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调增区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．【答案】（Ⅰ）(0，)，(1，＋∞)（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）当时，，定义域为．．令，得或．列表如下＋－＋↗↘↗所以函数的单调增区间为和．（Ⅱ）．令，得或．当时，不论还是，在区间上，均为增函数．所以；当时，－0＋↘极小值↗所以；当时，1－↘所以．综上，．.5．设函数（）.（1）讨论函数的极值；（2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值.【答案】（1）当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）【解析】（1）.当时，，在R上单调递增；无极值当时，，解得，由，解得.函数在上单调递减，函数在上单调递增，的极小值为，无极大值综上所述：当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增，∴函数在上的最小值为，即，矛盾.当时，由（1）得是函数在R上的极小值点.①当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件.②当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾.③当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即.令（），则，∴在上单调递减，而，∴在上没有零点，即当时，方程无解.综上，实数a的值为.《5.3.2极值与最值》考点专题训练【题组一求极值及极值点】1．设函数，则的极大值点和极小值点分别为（）A．－2，2B．2，－2C．5，－3D．－5，32．函数的极值点所在的区间为（）A．B．C．D．3．“”是“函数在上有极值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点5．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（）A．15B．16C．17D．186．函数在上的极大值为（）A．B．0C．D．7．函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()A．0B．1C．2D．无数个8．已知函数.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值.9．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值．10．已知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调区间及极值．【题组二求最值点最值】1．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．2．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.3．已知函数，，．若在处与直线相切．（1）求，的值；（2）求在，上的最大值．4．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在x＝2处取得极值为c﹣16.（1）求a、b的值；（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.5．已知的一个极值点为2.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.6．已知（）在处取得极值.（1）求实数的值；（2）求的单调区间；（3）求在区间上的最大值和最小值.【题组三已知极值及最值求参数】1．已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．2．已知函数，若在上既有极大值，又有最小值，且最小值为，则的取值范围为（）A．B．C．D．3．函数在，上最大值为2，最小值为0，则实数取值范围为（）A．，B．，C．，D．4．若函数无极值点则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．5．函数+m在[0，2]上的最小值是2-e，则最大值是（）A．1B．2C．3D．46．函数在内有最小值，则的取值范围为()A．B．C．D．7．已知函数（1）若，求函数的极值；（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围.8．已知函数.（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；（3）若，讨论函数在上的零点个数．9．已知函数；讨论的极值点的个数；若，求证：．10．已知，函数，.（1）讨论的单调性；（2）记函数，求在上的最小值.11．已知函数在处取得极小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．12．已知函数，曲线在点处切线方程为．（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值．答案解析【题组一求极值及极值点】1．设函数，则的极大值点和极小值点分别为（）A．－2，2B．2，－2C．5，－3D．－5，3【答案】A【解析】易知函数定义域是，由题意，当或时，，当或时，，∴在和上递增，在和上递减，∴极大值点是－2，极小值点是2．故选：A．2．函数的极值点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，且为单调函数，∴，，由，故的极值点所在的区间为，故选：B.3．“”是“函数在上有极值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值.若函数在上有极值，则，.因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.故选：A.4．设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点【答案】D【解析】因为，所以．又，所以为的极小值点．5．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（）A．15B．16C．17D．18【答案】D【解析】,又因为是函数的极小值点，所以，，所以，由，或，所以在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以函数的极大值为，故选D.6．函数在上的极大值为（）A．B．0C．D．【答案】A【解析】由可得当时，单调递增当时，单调递减所以函数在上的极大值为故选：A7．函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()A．0B．1C．2D．无数个【答案】A【解析】，由得，方程无解，因此函数无极值点8．已知函数.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）极小值是，无极大值.【解析】（Ⅰ）的定义域是，，，故所求切线斜率，过的切线方程是：，即；（Ⅱ），令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故的极小值是，无极大值.9．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极值．【答案】（1）单调增区间为：和，单调减区间为：；（2）极大值40，极小值8．【解析】（1）∵，∴．令，则或2，200单调递增40单调递减8单调递增故的单调增区间为：和，单调减区间为：．（2）由（1）得：当时，有极大值40，当时，有极小值8．10．已知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调区间及极值．【答案】（1）；（2）减区间为，，增区间为；极小值为，极大值为25．【解析】（1）显然由题意有，，，∴∴由点斜式可知，切线方程为：；（2）由（1）有∴时，或时，∴的单减区间为，；单增区间为∴在处取得极小值，在处取得极大值.【题组二求最值点最值】1．函数在区间上的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数，，令，解得．∴函数在内单调递增，在内单调递减．∴时函数取得极大值即最大值．．故选B．2．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则，当时，，所以在区间上单调递减，所以对任意有，即，所以函数在区间上单调递减，因此在区间上的最大值为，最小值为.3．已知函数，，．若在处与直线相切．（1）求，的值；（2）求在，上的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数，，函数在处与直线相切，，解得；（2），，当时，令得：，令，得，在，，上单调递增，在，上单调递减，所以函数的极大值就是最大值，（1）．4．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在x＝2处取得极值为c﹣16.（1）求a、b的值；（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为28.【解析】（1）因，故，由于在点处取得极值，故有，即，解得；（2）由（1）知，令，得，当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数，当时，故在上为增函数．由此可知在处取得极大值，在处取得极小值，由题设条件知，得，此时，，，因此上的最小值为，最大值为28.5．已知的一个极值点为2.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）函数的减区间为，增区间为，；（2）最小值是，最大值是13.【解析】（1），，的一个极值点为2，，解得.，，令，得或；令，得；令，得或；故函数的减区间为，增区间为，.（2）由（1）知，，当时，；当时，；在上为增函数，在上为减函数，是的极大值点，又，，，所以函数在上的最小值是，最大值是13.6．已知（）在处取得极值.（1）求实数的值；（2）求的单调区间；（3）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）增区间为，，减区间为；（3）最大值为9，最小值为.【解析】（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.（2）由（1）得，，由得或；由得.故的单调增区间为，，单减区间为.（3）由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.【题组三已知极值及最值求参数】1．已知函数，若时，在处取得最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，令，∴，∴时，在单调递增；∴时，在单调递减.如图，∴，∴当时，，∴，在上单调递增，不成立；当时，在上单调增减，成立；当时，有两个根，，∵当时，，；当时，，；当时，，，∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.综上，.故选：A2．已知函数，若在上既有极大值，又有最小值，且最小值为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的零点为和1，因为，所以1是函数的极小值即最小值点，则是函数的极大值点，所以，且，解得.故选：C.3．函数在，上最大值为2，最小值为0，则实数取值范围为（）A．，B．，C．，D．【答案】A【解析】.，，令，则或(舍负)，当时，，单调递增；当时，，单调递减.函数在，上最大值为2，最小值为0，且，（1），.故选：A.4．若函数无极值点则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,，由函数无极值点知，至多1个实数根，，解得，实数a的取值范围是，故选：B5．函数+m在[0，2]上的最小值是2-e，则最大值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】，因为，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值，根据题意有，所以，当时，，当时，，所以其最大值是2，故选：B.6．函数在内有最小值，则的取值范围为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a＞0，f′（x）=0解得x=±，当x＞，f（x）为增函数，0＜x＜为减函数，f（x）在x=处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．综上所述，a的取值范围为（0，1）故答案为B7．已知函数（1）若，求函数的极值；（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围.【答案】(1)函数的极大值为函数的极小值为(2)【解析】（1），，定义域为，又.当或时；当时∴函数的极大值为函数的极小值为.（2）函数的定义域为，且，令，得或，当，即时，在上单调递增，∴在上的最小值是，符号题意；当时，在上的最小值是，不合题意；当时，在上单调递减，∴在上的最小值是，不合题意故的取值范围为8．已知函数.（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若函数在上的最小值为1，求实数的取值范围；（3）若，讨论函数在上的零点个数．【答案】（1）1；（2）；（3）答案见解析.【解析】(1)当时，，因为，所以，所以为单调递增函数，所以．(2)，，当时，，所以为单调递增函数，，符合题意；当时，在上，单调递减，在上，单调递增，所以，因为，故，与的最小值为1矛盾.故实数的取值范围为(3)由(2)可知，当时，在上，为单调递增函数，，此时函数的零点个数为0；当时，，令，则，函数单调递减，令，解得，所以当，，，，，，