选修二：数列求和的方法与专题训练

高中数学选修二：数列求和的方法【思维导图】考点一裂项相消【例1】若数列的前项和满足.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【一隅三反】1．设数列满足：，且（），.（1）求的通项公式：（2）求数列的前项和.2．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.考点二错位相减【例2】．已知数列满足，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【一隅三反】1．已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：．2．设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和为.3．已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.考点三分组求和【例3】．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.若，，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和.【一隅三反】1．已知数列的前项和，在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和．2．已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.3．已知等比数列的各项均为正数，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.考点四倒序相加【例4】．已知函数，若，则的最小值为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（）A． B． C． D．2．已知函数，则的值为（）A．4033B．-4033C．8066D．-80663．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（）A． B． C． D．考点五奇偶并项【例5】．设，数列的前项和为，已知，______.请在①，，成等比数列，②，③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项的和.【一隅三反】．1.设是数列的前n项和，已知，⑴求数列的通项公式；⑵设，求数列的前项和．2．已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．考点六绝对值求和【例6】．已知数列的通项公式，则（）A．150 B．162 C．180 D．210【一隅三反】1．已知是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，则数列前10项和为()A．58 B．56 C．50 D．45答案解析考点一裂项相消【例1】若数列的前项和满足.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）详见解析（2）【解析】证明：当时，，计算得出，当时，根据题意得，，所以，即，即数列是首项为-2，公比为2的等比数列由（1）知，，1则【一隅三反】1．设数列满足：，且（），.（1）求的通项公式：（2）求数列的前项和.【答案】（1）（）（2）【解析】(1)由()可知数列是等差数列,设公差为,因为,所以,解得,所以的通项公式为:();(2)由(1)知,所以数列的前项和:.2．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）设等差数列的公差为（），因为，且成等比数列，所以，即，解得（舍去）或，所以，（2）由（1）可得，所以考点二错位相减【例2】．已知数列满足，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）时，有，即，故，又时也适合该式，（2）因为，所以①则②①-②得，.【一隅三反】1．已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项．（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：．【答案】（1），；（2）见解析【解析】（1）由题意，，得，由，得，．所以．由，，得公比，所以．（2）因为，所以①得②①-②得．所以．从而．2．设数列、都有无穷项，的前项和为，是等比数列，且.（1）求和的通项公式；（2）记，求数列的前项和为.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，==4；当时，，且亦满足此关系，∴的通项为，设的公比为，则，则，∴；（2）由题意，，而，，两式相减，有，．3．已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，而，∴数列是等比数列，公比为1，首项为1，∴，∴；（2）由（1），设，则，两式相减得，∴，∴．考点三分组求和【例3】．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.若，，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由,，则，设等差数列的公差为，则，所以，所以设等比数列的公比为由，，解得，所以，（2），数列的前项和【一隅三反】1．已知数列的前项和，在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设数列的公差为，则，，∵，，成等比数列，∴，即．整理得，解得（舍去）或，∴．当时，，当时，．验证：当时，满足上式，∴数列的通项公式为．（2）由（1）得，，∴．2．已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，则，则，，由于是和的等差中项，即，即，解得.因此，数列的通项公式为；（2），.3．已知等比数列的各项均为正数，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）设公比为由题意可知，整理得，解得（舍），，即则（2）考点四倒序相加【例4】．已知函数，若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知：令又于是有因此所以当且仅当时取等号本题正确选项：【一隅三反】1．设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.2．已知函数，则的值为（）A．4033 B．-4033C．8066 D．-8066【答案】D【解析】，所以原式.3．已知函数，设（），则数列的前2019项和的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以所以因为所以，所以则数列的前2018项和则所以所以又故选：考点五奇偶并项【例5】．设，数列的前项和为，已知，______.请在①，，成等比数列，②，③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项的和.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】选①，（1）由得：，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列.由，，成等比数列得，解得.∴.（2），.选②，（1）由得，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列.由得，解得，∴.（2），∴.选③，（1）同理，由得，∴数列是以为首项，2为公差的等差数列，由得，解得，∴.（2），∴.【一隅三反】．1.设是数列的前n项和，已知，⑴求数列的通项公式；⑵设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以当时，两式相减得，所以当时，，，则所以数列为首项为，公比为的等比数列，故（2）由（1）可得所以故当为奇数时，当为偶数时，综上2．已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，.因为，所以，所以.因为，所以.两式相减，得，即又因为，所以.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.（2）由（1）可知故当为偶数时，当为奇数时，所以考点六绝对值求和【例6】．已知数列的通项公式，则（）A．150 B．162 C．180 D．210【答案】B【解析】由对勾函数的性质可知：当时，数列为递减；当时，数列为递增．所以====162【一隅三反】1．已知是首项为32的等比数列，是其前n项和，且，则数列前10项和为()A．58 B．56 C．50 D．45【答案】A【解析】是首项为32的等比数列,是其前n项和,且,所以公比不为1，,,,,,数列前10项和为,故选：A《数列求和的方法》专题训练【题组一裂项相消】1．数列的通项公式，若前n项的和为11，则n=________.2．已知数列，都是等差数列，，，设，则数列的前2018项和为（）A． B． C． D．3．已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：.4．已知公差不为0的等差数列中，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使的n的最大值.5．设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．6．已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项（1）求数列{an}通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn.7．已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．8．记是正项数列的前项和，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.9．数列满足，．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和，并证明：．10．设为首项不为零等差数列的前n项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n项和，求的最大值.【题组二错位相减】1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和．2．设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.3．设等差数列的公差为，前项和为，且满足，.等比数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.4．已知等比数列中，，是和的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.5．设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.6．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．7．已知等比数列的前n项和是，且是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．8．数列的前项和为满足，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前和.【题组三分组求和】1．已知数列满足，且.（1）证明：是等比数列；（2）求的前项和.2．已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和3．已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和..【题组四倒序相加】1．设，()A．4 B．5 C．6 D．10.2．()，则数列的通项公式是___________.3．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．4．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．5．设，则__________．【题组五奇偶并项】1．已知数列为等比数列，，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.2．已知数列的前项和满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和.3．已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.4．在数列中，已知，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前50项和.5．已知为数列的前项和，且，，，.（1）求数列的通项公式；（2）若对，，求数列的前项和.【题组六绝对值求和】1．已知数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.2．记数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求3．设数列前项和为，且满足．（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和．4．已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前项和.答案解析【题组一裂项相消】1．数列的通项公式，若前n项的和为11，则n=________.【答案】143.【解析】因为，所以，所以因此，2．已知数列，都是等差数列，，，设，则数列的前2018项和为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设数列，的公差分别为，，则由已知得，，所以，，所以，，所以，所以数列的前2018项和为,故选D.3．已知等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列的公差为，由题意得，解得，，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以，所以.4．已知公差不为0的等差数列中，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求使的n的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，，成等比数列，所以，因为数列是等差数列，且，所以，即，解得或（舍去）所以（2）因为，，所以，所以，解得，所以当时，n的最大值为.5．设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）数列满足时,∴∴当时,,上式也成立∴（2）∴数列的前n项和6．已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项（1）求数列{an}通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.所以（2）记则所以。7．已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）当时，，则．当时，因为，所以，则，即．从而，即，因为，所以，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可得，即．因为，所以，则，故．8．记是正项数列的前项和，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为是和的等比中项，所以①，当时，②，由①②得：，化简得，即或者（舍去），故，数列为等差数列，因为，解得，所以数列是首项为、公差为的等差数列，通项公式：.（2）∵，∴.9．数列满足，．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和，并证明：．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.【解析】（1）证明：∵，∴，化简得，即，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）知，所以，．因此．10．设为首项不为零等差数列的前n项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n项和，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公差为d，则由题知解得(舍去)或，∴.（2）∵，∴.∴当且仅当，即时，等号成立，即当时，取得最大值.【题组二错位相减】1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和．【答案】（1）见解析（2）Sn＝(n－1)·2n＋1.【解析】(1)证明：∵an＋1＝2an＋2n，∴bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解：由(1)知，bn＝n，∴＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①∴2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②①-②得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n∴Sn＝(n－1)2n＋1.2．设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，因此；（2）由题意知：，所以，则，两式相减得，因此，.3．设等差数列的公差为，前项和为，且满足，.等比数列满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1），解得，从而.，两式相除得，，所以.（2）.,,相减得：,从而.4．已知等比数列中，，是和的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】(1)设数列的公比为，由题意知：，∴，即.∴，即.(2)，∴.①.②①－②得∴.5．设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由点在直线上，有，当时，，两式相减得，即，，又当时，而，解得，满足，即是首项，公比的等比数列，∴的通项公式为.（2）由（1）知，，则，.两式相减得所以.6．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.7．已知等比数列的前n项和是，且是与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）等比数列的公比设为q，，即，是与的等差中项，可得，所以，整理求得，则；（2）由（1）可求得，，∴.①，②①－②得，所以，8．数列的前项和为满足，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，而当时，，∴，()，故()是公比为3的等比数列.故，，由，，成等差数列，∴，即，有，∴（2）∵，有，∴，，上述两式相减，得，即有.【题组三分组求和】1．已知数列满足，且.（1）证明：是等比数列；（2）求的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题易知，且，所以是等比数列.（2）由（1）可知是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.所以.2．已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由已知得，a＝a1a4，即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.又d≠0，∴d＝1，可得an＝n.(2)由(1)得bn＝n＋2n，∴Tn＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋2n＋1－2.3．已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和..【答案】（1）；（2）【解析】设等差数列的公差为，则，，因为成等比数列，所以，即，整理为：（舍）或，所以；（2）由（1）可知，数列是以4为公比，4为首项的等比数列，前项和为，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，前项和为.所以数列的前项和为【题组四倒序相加】1．设，()A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【解析】由于，故原式.2．()，则数列的通项公式是___________.【答案】【解析】，，两式相加可得，，所以.故答案为：3．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．【答案】【解析】，，因此，所以.故答案为：.4．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．【答案】2020【解析】由题意可知，令S=则S=两式相加得，．故填：5．设，则__________．【答案】1008【解析】∵函数，∴，∴，故答案为1008.【题组五奇偶并项】1．已知数列为等比数列，，是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以，，因为是和的等差中项，所以.即，化简得，因为公比，所以，因为，所以所以，；（2）当为偶数时，前项和；当为奇数时，前项和；则.2．已知数列的前项和满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】当时