高中数学《导数的概念及其意义、导数的运算》同步练习与同步检测试卷及答案解析

选择性必修二《5.1导数的概念及其意义、导数的运算》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（）A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定2．若（m为常数），则等于（）A． B．1 C．m D．3．某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（）A． B． C． D．4．已知，则（）A． B． C． D．5．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．6．已知函数在处的导数为1，则（）A．0 B． C．1 D．27．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（）A．e B． C．1 D．8．曲线在点处切线的斜率为（）A．1 B．2 C．3 D．49．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．10．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（）A． B．6 C．12 D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．曲线在点（1，2）处的切线方程为_________.12．曲线在点处的切线方程为_____.13．已知，则等于__________.（用数字作答）14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．15．函数的导数_________，_______.16．已知函数，则__________，设，则_________．17．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线是函数的切线，也是函数的切线，则实数____，_____．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（1）求导：（2）求函数在处的导数.19．，且，，，；求的值．20．已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程．21．已知函数的图像在处的切线方程是，求a，b的值；22．求曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（）A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定【答案】B【解析】在处，虽然有，但，所以在相同时间内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．故选：B.2．若（m为常数），则等于（）A． B．1 C．m D．【答案】D【解析】由题意，根据导数的概念可得，，所以.故选：D.3．某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】位移增量.故选：A.4．已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，得，则，故选：D．5．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C6．已知函数在处的导数为1，则（）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【解析】因为函数在处的导数为1，则.故选：B.7．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（）A．e B． C．1 D．【答案】B【解析】设切点坐标为，由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过原点，所以，得，因为切点在曲线上，所以，解得，所以切线的斜率为，故选：B8．曲线在点处切线的斜率为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】的导数为，可得曲线在点处切线的斜率为.故选：C.9．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误．故选：B．10．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（）A． B．6 C．12 D．【答案】A【解析】由，得，则曲线在点处的切线斜率为，得.故选：A.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．曲线在点（1，2）处的切线方程为_________.【答案】【解析】，，，切线的方程是，即，故答案为．12．曲线在点处的切线方程为_____.【答案】【解析】由得，则曲线在点处的切线斜率为，因此所求切线方程为，即.故答案为：.13．已知，则等于__________.（用数字作答）【答案】-2【解析】，，，解得.故答案为：.14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．【答案】54.1【解析】当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝＝4.1.15．函数的导数________，_______.【答案】31【解析】函数的导数16．已知函数，则__________，设，则_________．【答案】【解析】，求导得，，，求导得，，解得.故答案为：；.17．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线是函数的切线，也是函数的切线，则实数____，_____．【答案】-1-2【解析】由题意可知，故，则函数的切点为，代入，得；又，故，则函数的切点为，代入，得．故答案为：－1；－2．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（1）求导：（2）求函数在处的导数.【答案】（1）；（2）1；【解析】（1）；（2）；19．，且，，，；求的值．【答案】【解析】,由,可得;由,可得;，；可得,解得:,则,即.20．已知P（﹣1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程．【答案】4x﹣4y﹣1=0．【解析】设切点坐标为M（x0，y0），则切线斜率为2x0，又直线PQ的斜率为kPQ==1，∵切线与直线PQ平行，∴2x0=1，∴x0=，∴切点为（，），切线斜率为1．∴切线方程为y﹣=x﹣即4x﹣4y﹣1=0．21．已知函数的图像在处的切线方程是，求a，b的值；【答案】【解析】由，得，因为函数的图像在处的切线方程是，所以，即，得，所以，则，所以切点坐标为，所以，得，综上22．求曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积.【答案】【解析】依题意得，，故曲线在点处的切线方程是，即.直线与的交点坐标是，直线与x轴的交点坐标是，故直线和所围成的三角形的面积等于.《5.1导数的概念及其意义、导数的运算》同步练习（提高练）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．已知函数，若，则实数的值为（）A．2B．1C．D．2.已知函数，则（）A．B．C．D．3．已知，则（）A．1B．2C．4D．84.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．5．已知曲线在点处的切线方程为，则（）A．B．C．D．6．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（）A．B．C．D．7．若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数等于（）A．-2B．-1C．1D．28．已知过点P作曲线y＝x3的切线有且仅有两条，则点P的坐标可能是()A．(0,1)B．(0,0)C．(1,1)D．(－2，－1)9．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（）A．B．C．D．10．直线是曲线和曲线的公切线，则（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.12.已知函数，则在曲线的所有切线中，斜率的最大值为______.13．已知曲线在点处的切线方程为，则______．14．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．15.已知函数（为自然对数的底数）的图象恒过定点，（1）则点的坐标为__________；（2）若在点处的切线方程，则__________.16．设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则直线的方程为________，的坐标为________.17．已知曲线：，曲线：，（1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数________；（2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为________.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18.已知函数（Ⅰ）求这个函数的导数；（Ⅱ）求这个函数在处的切线方程.19．函数在点处的切线为．（1）若与直线平行，求实数的值；（2）若与直线垂直，求实数的值．20．比较函数与在区间上的平均变化率的大小.21．已知，函数的导函数为．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求的值．22．已知函数．（1）求；（2）求曲线过点的切线的方程．答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．已知函数，若，则实数的值为（）A．2B．1C．D．【答案】A【解析】根据题意，函数，其导数，则，又由，即，解可得；故选：A.2.已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，因此，.故选：A.3．已知，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】函数，则，令代入上式可得，则，所以，则，故选：A.4.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.故选B.5．已知曲线在点处的切线方程为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】详解：，将代入得，故选D．6．点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，则，则，又，所以，故选：D.7．若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数等于（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】D【解析】由题可得：，，曲线在处的切线的斜率为1，曲线在处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为，，解得：；故答案选D.8．已知过点P作曲线y＝x3的切线有且仅有两条，则点P的坐标可能是()A．(0,1)B．(0,0)C．(1,1)D．(－2，－1)【答案】C【解析】的导数为，设切点为，可得切线的斜率为，切线的方程为，若，则，解得，只有一解；若，则，可得，只有一解；若，则，可得，即为，解得或，有两解；若，则，可得，由当时，递减；当或时，递增．可得为极小值，为极大值，则有3个不等实数解．故选：C．9．已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，由题意知，，则，C在点M处的切线，所以所以，则，将代入的方程可得，即抛物线的准线方程为：则.设与曲线C的切点为，则，解得或（舍去），则，所以的方程为.故选：D10．直线是曲线和曲线的公切线，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，，则，由，可得，则，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①，则，由，可得，，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，，②联立①②可得，.故选：C.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.【答案】【解析】因为函数，所以，又因为曲线在处的切线与直线平行，所以，解得，故答案为：12.已知函数，则在曲线的所有切线中，斜率的最大值为______.【答案】【解析】因为，所以，因为当时取得最大值为，所以根据导数的几何意义可知，曲线的切线中斜率的最大值为.故答案为：.13．已知曲线在点处的切线方程为，则______．【答案】【解析】曲线，则，曲线在点处的切线方程为，所以当时，满足，解得，代入并由正切函数的差角公式可得，故答案为：.14．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．【答案】（1,）e【解析】设切点为，因为y=ex，所以，所以切线方程为：，因为切线方程过原点，把原点坐标代入，得，所以切点坐标为，切线的斜率为．15.已知函数（为自然对数的底数）的图象恒过定点，（1）则点的坐标为__________；（2）若在点处的切线方程，则__________.【答案】【解析】当时，，点的坐标为；，，解得：.故答案为：；.16．设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则直线的方程为________，的坐标为________.【答案】【解析】由可知，当时，切线的斜率，则，即切线的方程为；设，则，由，则，所以点处的切线斜率为.由两直线垂直，可得，解得或（舍去），则，所以.故答案为:;.17．已知曲线：，曲线：，（1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数________；（2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为________.【答案】－2【解析】(1),则曲线在处的切线的斜率,在处的切线的斜率,依题意有,即;(2)曲线上任意一点处的切线的斜率,则与垂直的直线的斜率为,而过上一点处的切线的斜率,依题意必有,解得,故答案为:.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18.已知函数（Ⅰ）求这个函数的导数；（Ⅱ）求这个函数在处的切线方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为，所以；（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1，所以切线的斜率是，又，所以切线方程为，整理得.19．函数在点处的切线为．（1）若与直线平行，求实数的值；（2）若与直线垂直，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得：∴在处切线斜率∵切线与平行∴，解得（2）由（1）知，切线斜率，∵切线与垂直∴，解得．20．比较函数与在区间上的平均变化率的大小.【答案】在区间上的平均变化率比的平均变化率小.【解析】在区间上的平均变化率为；在区间上的平均变化率为：.，在区间上的平均变化率比在区间上的平均变化率小.21．已知，函数的导函数为．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若，则，所以，则，即曲线在点处的切线斜率为，又，所以所求切线方程为：；（2）由得，所以，，，因此.22．已知函数．（1）求；（2）求曲线过点的切线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1），则；（2）设切点为，，所以，切线的斜率为，所求切线方程为．将，代入切线方程，得．整理得，解得或.当时，，切线方程为，化简得；当时，，切线方程为，化简得．综上所述，曲线过点的切线的方程为或．《5.1导数的概念及其意义、导数的运算》同步检测试卷一、单选题1．已知，等于（）A．1B．-1C．3D．2．设函数在处存在导数为2，则（）.A．B．6C．D．3．函数在处的切线方程是()A．B．C．D．4．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A．B．C．2D．15．若f′(x0)＝－3，则等于()A．－3B．－6C．－9D．－126．已知的导函数为，且在处的切线方程为，则()A．2B．3C．4D．57．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（）A．B．C．D．8．若函数与图象在交点处有公切线，则（）A．6B．4C．3D．2二、多选题9．直线能作为下列（）函数的图像的切线.A．B．C．D．10．设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（）A．B．C．D．11．已知点在函数的图象上，则过点A的曲线的切线方程是（）A．B．C．D．12．在平面直角坐标系中，点在曲线上，则点到直线的距离可以为（）A．B．C．D．三、填空题13．曲线在点处的切线方程为__________．14．曲线在点处的切线的斜率为，则________．15．已知曲线在点处的切线方程为，则______．16．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线是函数的切线，也是函数的切线，则实数____，_____．四、解答题17．求下列函数的导数：（1）（2）18．求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）.19．已知函数（Ⅰ）求这个函数的导数；（Ⅱ）求这个函数在处的切线方程.20．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（I）求和的值.（II）求函数的解析式.21．设，，，，.（1）求及；（2）求曲线在处的切线方程.22．设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.答案解析一、单选题1．已知，等于（）A．1B．-1C．3D．【答案】C【解析】因为，所以.故选C2．设函数在处存在导数为2，则（）.A．B．6C．D．【答案】A【解析】根据导数定义，所以选A3．函数在处的切线方程是()A．B．C．D．【答案】A【解析】求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx∴f′（1）＝e，∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）故选：A．4．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A．B．C．2D．1【答案】C【解析】由，得，故，故切线的斜率为，故选C.5．若f′(x0)＝－3，则等于()A．－3B．－6C．－9D．－12【答案】D【解析】分析：由于f′(x0)＝＝－3，而的形态与导数的定义形态不一样，故需要对转化成利用＝即可求解.详解：f′(x0)＝＝－3，＝＝＝＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.答案：D6.已知的导函数为，且在处的切线方程为，则()A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据题意，切线斜率即为，故；又因为点满足切线方程，即；故.故选：B.7．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正，，，可看作过和的割线的斜率，由图象可知，.故选：.8．若函数与图象在交点处有公切线，则（）A．6B．4C．3D．2【答案】A【解析】，.由于函数与图象在交点处有公切线，所以，即.所以.故选：A二、多选题9．直线能作为下列（）函数的图像的切线.A．B．C．D．【答案】BCD【解析】函数，可得不成立；所以不正确；，可以成立；所以正确；，，可以成立；所以正确；，可成立．所以正确；故直线能作为函数图象的切线，故选：BCD．10．设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】因为，故可得；设切线的倾斜角为，则，故可得，故选：CD.11．已知点在函数的图象上，则过点A的曲线的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因为点在函数的图象上，所以．设切点，则由得，，即，所以在点处的切线方程为：，即．而点在切线上，∴，即，解得或，∴切线方程为：和．故选：AD．12．在平面直角坐标系中，点在曲线上，则点到直线的距离可以为（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】设直线与曲线相切于点，则，因为解得，即，故曲线与直线的最短距离为所以可以为故选：CD三、填空题13．曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】,,∴切线方程为，即故答案为：点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14．曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【解析】则所以故答案为-3.15．已知曲线在点处的切线方程为，则______．【答案】【解析】曲线，则，曲线在点处的切线方程为，所以当时，满足，解得，代入并由正切函数的差角公式可得，故答案为：.16．德