高中数学《7.1 条件概率与全概率公式》课件与同步练习

人教A版（2019）选择性必修第三册第一课时条件概率7.1条件概率与全概率公式新知导入某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示，在班级里随机选择一人做代表：团员非团员合计男生16925女生14620合计301545（1）选到男生的概率是多大？分析：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.B表示事件“选到男生”，由上表可知，n(Ω)=45，n(B)=25

根据古典概型知识可知，选到男生的概率为：（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？分析：用A表示事件“选到团员”，“在选到团员的条件下，选到男生“的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16，根据古典概型知识可知，

假设生男孩与生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么：（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？分析：用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω={bb,bg,gb,gg}，且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，则A={bg,gb,gg}，B={gg}（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率为：

（2）”在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时，A成为样本空间，事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知：

合作探究在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是

若已知事件A发生，则A成为样本空间，此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即：

ΩABAB

则新知讲解条件概率概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)一般地，设A、B为两个随机事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则

反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，则

即事件A与B相互独立.当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B)例题讲解例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

新知讲解设P(A)>0，则（1）P(Ω|A)=1;（2）如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);（3）设和B互为对立事件，则

条件概率的性质例题讲解例2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”.因为P(A)=P(B)=P(C)，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.

例题讲解例3银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”.

例题讲解（2）设B=”最后1位密码为偶数”，则

例4在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率．解：设“摸出第1个球为红球”为事件A，“摸出第2个球为黄球”为事件B，“摸出第2个球为黑球”为事件C，则

,,

，所以

课堂练习

1．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲、乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为（）A．

B．

C．

D．

B2．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（）

A．0.625

B．0.75

C．0.5

D．0A3．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由车间生产的可能性最大()A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定A4．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P(N|M)等于（）A． B． C． D．

B5．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；

（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.解：设第一次抽到次品的事件为A，第二次抽到次品的事件为B.

6．一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求：（1）第一次取得白球的概率；（2）第一、第二次都取得白球的概率；（3）第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.

7．在100件产品中，有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取1件产品.试求：（1）第一次取到不合格品的概率；（2）在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.解：设第一次取到不合格品为事件A，第二次取到不合格品为事件B，则有：

拓展提高8．设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：（1）有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率；（2）不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率.解：设A=｛第一次未摸到白球｝，B=｛第二次未摸到白球｝，C=｛第三次摸到白球｝，则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC.(1)有放回时，

,则

(2)不放回时，

,则

链接高考9.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8

B．0.75 C．0.6 D．0.45A课堂总结2、乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)

板书设计7.1.1条件概率一、新知导入二、新知讲解条件概率三、例题讲解四、课堂练习五、拓展提高六、课堂总结七、作业布置乘法公式作业布置课本P48练习

第1~3题人教A版（2019）选择性必修第三册第二课时全概率公式7.1条件概率与全概率公式新知导入

分析：用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2.

P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)

利用概率的加法公式和乘法公式，得分析方法按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.新知讲解全概率公式

称上面的公式为全概率公式例题讲解例1某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.n(Ω)=n(AB)=分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.

解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”，则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8,由全概率公式，得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5x0.6+0.5x0.8=0.7因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.例2有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率.解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得P（A1）=0.25，P（A2）=0.3，P（A3）=0.45，P（B|A1）=0.06,P（B|A2）=P（B|A3）=0.05.（1）由全概率公式，得P（B）=P(A1)P(B|A1）+P(A2)P(B|A2）+P（A3）P

(B|A3）=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.

同理可得

合作探究思考：例5中P(Ai),P(Ai|B)的实际意义是什么？

新知讲解贝叶斯公式

一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有

例题讲解例3:在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.（1）分别求接收的信号为0和1的概率；（2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.发送0(A)发送1()接收0(B)接收1()

课堂练习1、设1000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二次抽到的是不合格品的概率为（）

A.0.2B.0.8C.0.25D.0.75A2．某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，

0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为()A.0.285B.0.3625C.0.5275D.0.5C3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第一,二车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,则该产品合格的概率为(

)A.0.6 B.0.85 C.0.868 D.0.88C4．有10箱同种规格的产品,其中分别有5箱,3箱,2箱由甲、乙、丙三个工厂生产,三厂产品的废品率依次为0.1,0.2,0.3从这10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.解：设A={取得的产品为正品},B1,B2,B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,则P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,P(B3)=0.2,P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.8,P(A|B3)=0.7,则P(A)=

5．有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率.解：设事件Ai={从甲袋取的2个球中有i个白球}，其中i=0，1，2.事件B={从乙袋中取到的是白球}，则

6．甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．

(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则

拓展提高7．播种用的小麦种子混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,1%的四等种子.已知用一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率.解：设Bk={从这批种子中任选一颗是k等种子},k=1,2,3,4;设A={从这批种子中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上},则

8．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？解：设事件A={取到的产品为正品}，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”,则P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95，P(A|B2)=0.9，P(A|B3)=0.8（1）由全概率公式可得

（2）由贝叶斯公式可得

由此可知，这件产品由丙厂生产的可能性最大.课堂总结

板书设计7.1.2全概率公式一、新知导入二、新知讲解全概率公式三、例题讲解四、课堂练习五、拓展提高六、课堂总结七、作业布置贝叶斯公式作业布置课本P52习题7.1第1~9题《7.1条件概率与全概率公式》同步练习激趣诱思知识点拨一、条件概率1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=

为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.名师点析对于条件概率需注意的问题(1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)>0.(2)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件发生的概率一般是不相同的.激趣诱思知识点拨微思考(1)P(B|A)与P(AB)有何区别?(2)若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少?提示:(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般P(B|A)≠P(AB).(2)A与B互斥,即A,B不同时发生,则P(AB)=0,故P(B|A)=0.

激趣诱思知识点拨微练习

解析:设A=“下雨”,B=“刮风”,AB=“既刮风又下雨”,则答案:C

激趣诱思知识点拨二、条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);激趣诱思知识点拨微练习某人一周晚上值班2次,在已知他周日晚上一定值班的条件下,他在周六晚上或周五晚上值班的概率为

.

解析:设事件A=“周日晚上值班”,事件B=“周五晚上值班”,事件C=“周六晚上值班”,激趣诱思知识点拨三、全概率公式1.定义:一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有

,我们称此公式为全概率公式.*2.贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有激趣诱思知识点拨微练习设1000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二次抽到的是不合格品的概率为

.

解析:设事件A=“第一次抽到的是不合格品”,事件B=“第一次抽到的是合格品”,事件C=“第二次抽到的是不合格品”,则A∪B=Ω,且A与B互斥.由题意知答案:0.2

探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用条件概率公式求条件概率例1集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究

1.在本例条件下,求乙抽到偶数的概率.探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.若甲先取(放回),乙后取,设事件M为“甲抽到的数大于4”,事件N为“甲、乙抽到的两数之和等于7”,求P(N|M).探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成4个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.从该班任选一人作为学生代表.(1)求选到的是共青团员的概率;(2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率;(3)已知选到的是共青团员,求他是第一小组学生的概率.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设“选到的是共青团员”为事件A,“选到的是第一小组学生”为事件B,则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求互斥事件的条件概率例2在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球,其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球,从中依次不放回地摸2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和,求出这些较简单事件的概率,再利用P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得所求事件的概率.但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过3次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位的数字不大于4,不超过3次就按对的概率.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测全概率公式的应用例3袋中装有编号为1,2,…,10的10个球,先从袋中任取一个球,如果该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回袋中,再摸一次,求取到2号球的概率.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

利用全概率公式求概率为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件,然后利用条件概率和概率的乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后将概率相加,得到最终结果,这一方法实质就是全概率公式的应用.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练31号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入