2024年高三数学练习题及答案（八）

一、单项选择题：1．已知集合，则=(

)A．或 B．或3 C．1或 D．1或3【答案】B【解析】因为集合，，且，所以或，若，则，满足；若，则或，当时，，满足；当时，集合A中元素不满足互异性，舍去，故选B.2．如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为（）A．1＋3i B．－3－iC．3－i D．3＋i【答案】D【解析】由题图可得Z（1，－1），即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选：D.3．已知，则的值等于（）A． B．4 C．2 D．【答案】B【解析】,，，，故选B.4．锐角满足，则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由锐角满足，所以，所以，故选：D5．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增。若实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】,选D.6．已知向量满足，且与夹角为，则（）A．-3 B．-1 C．1 D．3【答案】B【解析】.故选：B7．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是.故选：D8．已知双曲线的左、右焦点分别为，B为虚轴的一个端点，且，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】已知，因为，则在中，所以即，又，联立得，所以.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．下列说法错误的是（）A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B．若，则C．若角的终边过点，则D．当时，【答案】ABC【解析】对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，命题错误；对于B，若，则，命题错误；对于C，若角的终边过点，则，命题错误；对于D，当时，，命题正确.故选：ABC10．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A．四点共面 B．平面平面C．直线与所成角的为 D．平面【答案】BC【解析】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确；对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC11．以下对各事件发生的概率判断正确的是（）.A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是【答案】BCD【解析】对于A，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜），P（乙获胜），故玩一局甲不输的概率是，故A错误；对于B，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确；对于C，基本事件总共有种情况，其中点数之和是6的有，，，，，共5种情况，则所求概率是，故C正确；对于D，记三件正品为，，，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为，，，，，，共6种，其中两件都是正品的有，，，共3种，则所求概率为，故D正确.故选BCD.12．已知函数y＝f（x）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若f（0）＝M，f（2）＝N（M＞0，N＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（）A．必存在x∈[0，2]，使得f（x） B．必存在x∈[0，2]，使得f（x）C．必存在x∈[0，2]，使得f（x） D．必存在x∈[0，2]，使得f（x）【答案】ABD【解析】因函数y＝f（x）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，，所以；对A，若成立，则，即，显然成立；对B，若成立，则，即，显然成立；对C，若成立，则，先证，假设成立，则，即，如时，不成立，则C不成立；对D，若成立，则化简后为：，即，左侧化简后成立，右侧化简后成立，故D成立故选：ABD填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知数列满足：（），若，则.【答案】【解析】因,故当时,,,即时,,即,所以;当时,,,即时,可得,不成立,所以,应填.14．已知函数fx=cosx+2cosx，x∈【答案】(0,1)【解析】画出函数y=cosx+2|cosx|=3cos以及直线y=k的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).15．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，那么，在空间直角坐标系中，关于轴的对称点坐标为__________，若点关于平面的对称点为点，则__________．【答案】【解析】（1）由题得关于轴的对称轴点坐标为；（2）点关于平面的对称点为点（1,-1，-2），所以.故答案为：(1).(2).16．关于函数有下列四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于中心对称；③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；④函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③【解析】函数的定义域是，由于，在上递增，∴函数在上是递增，①正确；，∴函数的图象关于中心对称，②正确；，时取等号，∴③正确；，设，则，显然是即的极小值点，④错误．故答案为：①②③.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知数列为等差数列，公差，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可知，，.又，，，，，.故数列的通项公式为.（2）由（1）可知，，.18．（本小题满分12分）已知a为实数．当，时，求在上的最大值；当时，若在R上单调递增，求a的取值范围．【答案】；.【解析】当，时，，，则x，，的变化情况如下：x0增函数极大值减函数；在R上单调递增，则对恒成立，得，设，，则在上恒成立，则有，得．19．（本小题满分12分）设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，∠EAB＝90°.(1)求p的值；(2)已知点P的纵坐标为－1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的另两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为－1，试问直线QR是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．【答案】（1）2（2）经过，.【解析】(1)如图：由题意及抛物线定义，得|AF|＝|EF|＝|AE|＝4，△AEF为边长为4的正三角形，设准线l与x轴交于点D，因为，，所以，则|FD|＝p＝|AF|＝×4＝2.(2)设直线QR的方程为x＝my＋t，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)，由，得y2－4my－4t＝0，则Δ＝16m2＋16t＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，又点P在抛物线C上，则kPQ＝，同理可得kPR＝，因为kPQ＋kPR＝－1，所以，解得t＝3m－，由，解得m∈，所以直线QR的方程为x＝m(y＋3)－，则直线QR过定点.20．（本小题满分12分）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程适合用来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：支付方式现金会员卡扫码比例商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受折优惠的概率为，享受折优惠的概率为，享受折优惠的概率为．现有一名顾客购买了元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？参考数据：设，，，参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【答案】（1）回归方程为：；活动推出第8天使用扫码支付的人次为331（2）一名顾客购物的平均费用为元【解析】（1）由，两边同时取常用对数得：；设，，，把样本中心点代入,得:，，关于的回归方程为：；把代入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为331；（2）记一名顾客购物支付的费用为，则的取值可能为：，，，；；；；分布列为：所以，一名顾客购物的平均费用为：（元）21．（本小题满分12分）在中，，且边上的中线长为，(1)求角的大小；(2)求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】(1)由正弦定理边角互换可得，所以.因为，所以，即，即，整理得.因为，所以，所以，即，所以.因为，所以，即。(2)设的中点为，根据向量的平行四边形法则可知所以，即，因为，，所以，解得（负值舍去）.所以。22．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、．经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，把平面沿轴折起来，使轴正半轴和轴确定的半平面，与负半轴和轴所确定的半平面互相垂直．①若，求异面直线和所成角的余弦；②若折叠后的周长为，求的正切值．【答案】（