初中数学九年级下册相似三角形的性质导学案

27.2.2相似三角形的性质学案课题27.2.2相似三角形的性质单元第27单元学科数学年级九年级下册学习目标掌握相似三角形对应高线、中线和角平分线的比与相似比之间的关系。理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质。能够运用相似三角形的性质解决相关问题。重点1.相似三角形的性质。2.运用相似三角形的性质解决相关问题。难点运用相似三角形的性质解决相关问题。教学过程导入新课【引入思考】判定两三角形相似的方法1.定义法:的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形.3.对应成比例的两个三角形相似.4.对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.5.分别相等的两个三角形相似.教师：三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?（高线、中线、角平分线、周长、面积）问：如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？【活动探究】如图，小方格的边长都是1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？思考：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？1.如图，△DEF∽△ABC，相似比为k，AO、DP为BC、EF上的高．求证：k.2.如图，△ABC∽△DEF，相似比为k，AM、DN分别为BC、EF上的中线．求证：k.3.已知△ABC∽△DEF，相似比为k，AM、DN分别为角平分线.求证：【活动探究】1.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？2.相似三角形面积的比与相似比又有什么关系呢？新知讲解提炼概念典例精讲【例】如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为12，求△DEF的边EF上的高和面积.课堂练习巩固训练1．已知两个相似三角形的相似比是1∶2，则下列判断中，错误的是 ()A．对应边的比是1∶2B．对应角的比是1∶2C．对应中线的比是1∶2D．对应角平分线的比是1∶22.如图所示，△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是 ()A.eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2) B.eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,3)C.eq\f(△ADE的周长,△ABC的周长)＝eq\f(1,2) D.eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(1,3)3.如果两个相似三角形面积之比为1∶9，那么它们对应边的比为________，对应角平分线的比为_______，周长之比为________.4.如图所示，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB，eq\f(AE,EC)＝eq\f(2,3)，S△ABC＝S，求S▱BFED.5.如图所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，AD与PN交于点E，这个正方形零件的边长是多少？答案引入思考判定两三角形相似的方法1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.3.三边对应成比例的两个三角形相似.4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.5.两角分别相等的两个三角形相似.教师：三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?（高线、中线、角平分线、周长、面积）问：如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？【活动探究】如图，小方格的边长都是1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？AD、A′D′分别为BC和B′C′上的高线∴AD=2，A′D′=4，∴=.AE、A′E′分别为BC和′B′C′上的中线∴AE=，A′E′=2，∴=.AF、A′F′分别为∠BAC和∠B′A′C′的平分线∴AF=，A′F′=，∴=.探究结果：①相似三角形的对应高线之比等于相似比；②相似三角形的对应中线之比等于相似比；②相似三角形的对应角平分线之比等于相似比。思考：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？1.如图，△DEF∽△ABC，相似比为k，AO、DP为BC、EF上的高．求证：k.证明：∵△DEF∽△ABC，∴∠E=∠B．又∵∠DPE=∠AOB=90°,∴△DEP∽△ABO.∴==k.2.如图，△ABC∽△DEF，相似比为k，AM、DN分别为BC、EF上的中线．求证：k.证明：∵△A′B′C′∽△ABC，∴∠B=∠E，==kAM、DN为BC、EF上的中线∴BC=2BM，EF=2EN∴=△ABM∽△DEN.∴==k3.已知△ABC∽△DEF，相似比为k，AM、DN分别为角平分线.求证：证明：∵△ABC∽△DEF.∴∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线∴∠BAM=BAC，∠EDN=EDF，∴∠BAM=∠EDN.∴△AMB∽△DNE.∴=k.教师和学生公共总结归纳：相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比等于相似比.相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.【活动探究】1.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么=k，∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，CA=kC′A′∴2.相似三角形面积的比与相似比又有什么关系呢？由前面的结论，得=k².教师讲授内容：相似三角形的性质（2）相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方．提炼概念典例精讲解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，∴，又∵∠D=∠A，∴△DEF∽△ABC，相似比为.∵△ABC的边BC上的高为6，面积为12，∴△DEF的边EF上的高为，面积为：².巩固训练1.答案：B2.答案B3.1∶3，1∶3，1∶34.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB.由eq\f(AE,EC)＝eq\f(2,3)，得eq\f(AE,AC)＝eq\f(2,5).∵eq\f(CF,BF)＝eq\f(EC,AE)，∴eq\f(CF,BC)＝eq\f(3,5).∴eq\f(S△ADE,S)＝(eq\f(2,5))2＝eq\f(4,25)，即S△ADE＝eq\f(4,25)S.eq\f(S△CEF,S)＝(eq\f(3,5))2＝eq\f(9,25)，即S△CEF＝eq\f(9,25)S.∴S▱BFED＝S－eq\f(4,25)S－eq\f(9,25)S＝eq\f(12,25)S.5.解：设正方形的边长为xm