三角形中的比值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练（教师版含解析）

专练04三角形中的比值问题

1.请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题.

(1)(2)(3)

(1)如图(1),将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的

一边交CB于点F,另一边交BA的延长线于点G.求证：EF=EG.

(2)如图(2),移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思

考后直接回答EF和EG的数量关系：EFEG(用"=''或"#’填空).

(3)运用(1)、(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图(3),将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩

形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G、A重合)，其余条件不变，若AB=4,BC=3,求

g的值.

【答案】(1)证明：,/Z.AEF+ZAEG=90°,Z.AEF+Z.CEF=90°,

ZAEG=ZCEF.

又ZGAE=ZC=90°,EA=EC,

二△EAGg△ECF(ASA).

:.EG=EF.

⑵EF=EG,理由如下:

如图,

过点E作EP_LAB于点P,作EQ_LBC于点Q,

则ZPEQ=90°,EP=EQ,

二ZGEP=Z.FEQ.

又ZEPG=EQF=90°,

，△EPG/△EQF.

EF=EG.

(3)解：如图，过点E作EMIAB于点M,作EN_LBC于点N,

贝ljZMEN=90°,EM||BC,EN||AB,

.EM_BE_EN

•・AD-BD-CD*

.EMAD3

・・-=—=-.

ENCD4

又ZGEM+ZMEF=90°,Z.FEN+zMEF=90°,

・•・4GEM=ZFEN.

••・RtAGMEsRtAFNE•

.EFEN4

..—=——=-.

EGEM3

2.阅读下面材料：

小昊遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中，ZACB=90°,BE是AC边上的中线，点D在BC边上，CD：

BD=1：2,AD与BE相交于点P,求胃的值.

小昊发现，过点A作AF〃BC,交BE的延长线于点F,通过构造△AEF,经过推理和计算能够使问题得到

解决(如图2).请回答：蔡的值为—.

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

如图3,在△ABC中，NACB=90。，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P,

DC：BC：AC=1：2：3.

A

图1图2图3

⑴求券的值；

⑵若CD=2,则BP=.

【答案】（1）过点A作AF〃DB,交BE的延长线于点F,如图，设DC=k,由DC：BC=1：2得BC=2k,

DB=DC+BC=3k.

「E是AC中点，.，.AE=CE.；AF〃DB,AZF=Zl.在AAEF和ACEB中，；NF=/1,/2=N3,

AE=CE,.".△AEF^ACEB,；.EF=BE,AF=BC=2k.；AF〃DB,...△AFPs^DBP,...而=前=前

嗯=|，.•造的值为:

(2)当CD=2时，BC=4,AC=6,；.EC=|AC=3,EB=VEC2+BC2:=5,・・・EF=BE=5,BF=10.Vg1

(已证)，，黑="，BP=|BF=|xl0=6.故答案为6.

3.已知点E在△ABC内，NABC=/EBD=a,NACB=NEDB=600,ZAEB=150°,ZBEC=90°.

图1图2

（1）当a=60。时（如图1）,

①判断△ABC的形状，并说明理由;

②求证：BD=V3AE；

(2)当a=90。时(如图2),求等的值.

AE

【答案】(1)解：①判断：△ABC是等边三角形.

理由：VZABC=ZACB=60°

/BAC=180。-/ABC-NACB=6(r=NABC=NACB

AABC是等边三角形

②证明：同理△EBD也是等边三角形

连接DC,

贝i]AB=BC,BE=BD,ZABE=60°-ZEBC=ZCBD

.,.△ABE^ACBD

；.AE=CD,ZAEB=ZCDB=150°

二NEDC=150°-/BDE=90。ZCED=ZBEC-ZBED^90°-60°=30°

在RtAEDC中，—=tan30°=—,

ED3

...AE=V3，即BD=6AE.

BD3

(2)解：连接DC,

VZABC=ZEBD=90°,ZACB=ZEDB=60°

/.△ABC^AEBD

.ABBCABEB

••—=—,即—=—

EBBDBCBD

又：ZABE=90°-ZEBC=ZCBD

/.△ABE^ACBD,/AEB=/CDB=150。，”=笑

，/EDC=1500-ZBDE=90。ZCED=ZBEC-ZBED=90°-(90°-ZBDE)=60°

设BD=x在RtAEBD中DE=2x,BE=V3x

在RtAEDC中CD=DExtan600=2V3x

•AF*CDBE2V3xV3x右hdc

•-AE=----=-----------=6x=6BD，

BDx

BD1

H即n一="

AE6

4.据图回答问题:

如图①如图②如图③

⑴如图①，在4ABe中，点D为边BA延长线上的点，若祭=；过点D作DE//BC交CA延长

线于点E,若DE=5,求BC的长.

⑵（探究）如图②，在XABC中，点D时边AB上的点，点E是边AC的中点，连结BE、CD交

于点F,笑=；，小明尝试探究啜的值，在图②中，小明过点D作DM〃AC交BE于点M,易证△

CroDr

DFM〜〉CFE,则==|»从而得到~~的值为________;易证△DBM〜△ABE，则~~=，

CECF3AEBEAE

从而得到器的值为________:从而得到S的值为________-

MEBF

⑶（应用）如图③，在4ABe中，点D是边AB上的点，E为边C4延长线上的点，连结BE，延长CD,

交BE于点F,若皆=；,言=；且△4CD的面积为1,则△BDF的面积为.

DULoCO

【答案】（1）解：:DE//BC,

AZD=ZB,ZE=ZC,

AAADE^AABC,

•・•DEAD1,

BCAB2

:.BC=2DE,

VDE=5,

ABC=10.

⑵【探究】过点D作DM//AC交BE于点M,

/.△DFM^ACFE,

.DM_DF_2

，-CF-3'

・・・E为AC的中点，

AAE=CE,

・DM_DM_MF_2

/.~AE~~CE~~EF~3'

•/DM//AC,

AADBM^AABE,

.BM_DM_2

**B1E-AF-3，

2

.•・BM=-BE,

3

・BMQ

•・—=2,

ME

设EF=3x,则MF=2x,

AME=5x,BM=10x,

ABF=BM+MF=12x,

・EF_3x_1

**BF-12x-4•

故答案为1,2,

34

(3)【应用】如图，过点D作MN〃EC交BE于M,交BC于N,过点F作FG〃EC交AB于点G,设△ABC

以AC为底的高为H.

E

A

..AD1AE1

・=f=1f

BD2BC3

ABD=2AD,AC=3AE,

・BD_2AD_2「厂Ac

♦♦—————，EC—4AE，

AB3AD3

VFG/7EC,

.•.△BFG^ABEA,

.DMBD2

.•-----=-----=—,

AEAB3

2

ADM=-AE,

3

・DM|AEIDF

••--=---=-=—f

EC4AE6CF

.OF_1_GD_GD_

**DC-5-AD--AB，

3

・£2_

"AB-15*

:.SADMF=-DM-h=i--AE---H=-AE-H,

2231545

S梯形AEHD=(AE+DM)-iH-i=-AE-H,

AS四边形AEFD=SADHF+S梯形AEHD=^AE-H

VS=iAC-iH=iACH=i-3AE-H=l,

AACDZ5OO

；.AE-H=2,

AS四边形AEFD=卷AE-H=|,

VSAABE=1AE-H=1

二SABDF=SAABE一S四边形AEFD=1--=-.

5.如图，等腰RSACB中，ZACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动点，连接AE,W.AF±AE

KAF=AE.

(1)如图1,过尸点作FGLAC交AC于G点，求证：ZkAGF也△ECA；

(2)如图2,连接BF交AC于G点，若AC=BC=4,AG=3,求证：E点为BC中点；

(3)如图3,当E点在C8的延长线上时，连接2F与AC的延长线交于。点，若黑=：,求噜的值.

DEDCD

【答案】(1)证明：・・・AF，AE,

AZFAG+ZCAE=90°,

♦・♦ZCAE+ZCEA=90°,

AZFAG=ZCEA,

在4AGF和4ACE中，

(^AGF=zC\

乙FAG=ZCEA,

(AF=AE/

・•・△AGF^AECA(AAS).

(2)证明:如图,作FH_LAC,

B

由（1）知4AHF^AACE,

.・.FH=AC,AH=CE,

,:BC=AC,

AFH=BC,

在^FHG和4BCG中，

ZFGH=ZBGC\

ZFHG=ZBCG，

.FH=BC/

・・・△FHG丝△BCG(AAS),

ACG=HG,

VCG=AC-AG=4-3=1,

・・・HG=1,

:.AH=AC-CG-HG=4-1-1=2,

ACE=AH=2,

VBC=4,

・*.E为BC的中点.

(3)解：如图，作FHJ_AC,交AC的延长线于一点H,

由⑴知4AHF^AECH,

AAH=CE,

设BC=4,BE=3,

ACE=BC+BE=7,

AAH=7,

VAC=BC=4,

ACH=AH-AC=7-4=3,

由题(2)知4FHD^ABCD,

3

ACD=DH=-，

2

Q11

AAD=AC+CD=4+-=—,

22

11Q

AAD：CD=—：-=11:3.

22

6.如图1,AACB为等腰三角形，/-ABC=90°,点P在线段BC上(不与B、C重合)，以AP为腰长

作等腰直角APAQ,QE14B于E.

(1)求证：APAB=AQE；

(2)连接CQ交48于M,若PC=2PB,求焉的值.

(3)如图2,过Q作QFJ.4Q于AB的延长线于点F,过P点作DPJ.AP交AC于D,连接DF,

当点P在线段BC上运动时(不与B.C重合)，式子空?的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化,

DF

请说明理由..

【答案】(1)证明：•••△ACB为等腰三角形，NABC=90。，点P在线段BC上(不与B,C重合)，以AP为

腰长作等腰直角4PAQ,QE±ABTE.

，AP=AQ,ZABQ=ZQEA=90°,ZQAE+ZBAP=ZBAP+ZAPB=90°,

AZQAE=ZAPB,

在ZkPAB和△AQE中，

ZABQ=ZQEA

{ZQAE=ZAPB

AQ=PA

.,.△PAB^AAQE(AAS)

(2)解：VAPAB^AAQE,

AAE=PB,

VAB=CB,

AQE=CB.

在^QEM和^CBM中，

ZQME=ZCMB

{ZQEM=ZCBM

QE=CB

，AQEM^ACBM(AAS),

・・・ME=MB,

VAB=CB,AE=PB,PC=2PB,

ABE=PC,

VPC=2PB,

APC=2MB,

・PC

••丽=2N

(3)解：式子与手的值不会变化.

DF

如下图所示：作HALAC交QF于点H,

VQA1AP,HA±AC,AP1PD,

・・・NQAH+NHAP=NHAP+NPAD=90。，ZAQH=ZAPD=90°,

AZQAH=ZPAD,

VAPAQ为等腰直角三角形，

AAQ=AP,

在△AQH和△APD中,

ZAQH=ZAPD

{AQ=AP

ZQAH=ZPAD

，ZXAQHg△APD(ASA),

AAH=AD,QH=PD,

VHA1AC,ZBAC=45°,

:.ZHAF=ZDAF,

在^AHF和^ADF中，

AH=AD

{4HAF=zDAF

AF=AF

.,.△AHF^AADF(SAS),

AHF=DF,

..Q--F---D-P-Q--F---Q--H-=—HF=14

DF=HFHF

7.如图，在RtAZBC中，Z.BAC=90°,AB=AC,M是AC边上的一点，连接BM,作AP_LBM于点

P,过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E.

(1)如图1,求证：AM=CE；

⑵如图2,以AM,BM为邻边作^AMBG,连接GE交BC于点N,连接AN,求普的值；

AN

(3)如图3,若M是AC的中点，以AB,BM为邻边作团4GMB,连接GE交BC于点M,连接AN,经探

究发现黑=；请直接写出警的值.

BC8AN

【答案】(1)解：证明

AP1BM,・・・ZAPB=90°

•••ZABP+ZBAP=90°

vZBAP+乙CAE=90°

zCAE=zABP

vCE1AC,・・・zBAM=zACE=90°

♦・•AB=AC,••・△ABM=△CAE(ASA)

CE=AM

(2)解：过点E作CE的垂线交BC于点F

图2

・•・ZFEC=90°

・••AB=AC,ZBAC=90°

・•・zACB=zABC=45°

,:4ACE=90°,:.ZFCE=45°

・・・ZCFE=ZFCE=45°

・・・CE=EF/EFN=135°

・・・四边形AMBG是平行四边形

・•・AM=BG,zABG=zBAC=90°

・・・zGBN=ZABG+zABC=135°

・•・ZGBN=ZEFN

由(1)得△ABM=△CAE

二AM=CE,BG=CE=EF

•・•ZBNG=ZFNE

/.△GBNdEFN(AAS)

・•・GN=EN

vAG//BM

••・ZGAE=zBPE=90°,・,・AN=1GE.

2

GE「

:,—=2.

AN

(3)解：如图，延长GM交BC于F,连接AF

图3

在0ABMG中，ABnGM,△ABM三△MGA,

:.4AMG=ZBAC=90°,

AZGMC=ZACE=90°,

GF//CE,

vAM=MC,

・•・BF=CF,

vAB=AC,

/.AF1BC,AF=|BC,

,・•丝=」，设CN=x,贝！］BC=8x,AF=FC=4x,FN=3x,

BC8

22

•••在Rt△AFN中，AN=VAF+FN=5X，

在RtAABM中，AB=^BC=^x8x—4V2x>AM--AB=25/2x

•••BM=VAB2+AM2=J(4&x)2+(2伍尸=2V10x，

•••AG=BM=2V10x,

由(1)知△ABM^ACAE,

•••△CAE=△MGA

:.AE=AG,

在RtAAEG中，EG=VAE2+AG2=V2AG=V2x2A/10X=4A/5X,

.GE_4yf5x_4V5

―•

AN5x5

8.如图1,AABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，BE=CE,点G在线段CD上，CG=CA,

GF=DE,ZAFG=ZCDE»

(1)填空：与NCAG相等的角是o

(2)用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；

⑶若NBAC=90。，NABC=2NACD(如图2),求居的值。

r.ZCAG=ZCGA,

故答案为：ZCGA；

(2)解：AD=|BD,理由是:

如图，

在CG上取点M,使GM=AF,连接AM,EM,

VZCAG=ZCGA,AG=GA,

.••△AGM/△GAF(SAS),

・・・AM=GF,ZAFG=ZAMG,

・；GF=DE,ZAFG=ZCDE,

・・・AM=DE,ZAMG=ZCDE,

・・・AM〃DE,

・・・四边形AMED为平行四边形，

AAD=EM,AD〃EM,

VBE=CE,即点E为BC中点,

・・・ME为ABCD的中位线，

・・・AD=ME=iBD；

(3)解：延长BA至点N,使AD=AN,连接CN,

VZBAC=ZNAC=90°,

・・・AC垂直平分DN,

ACD=CN,

AZACD=ZACN,

设NACD=a=NACN,则NABC=2a,

则NANC=90-a,

・・・ZBCN=180-2a-(90-a)=90-a,

・・・BN=BC,即^BCN为等腰三角形，

设AD=1,则AN=1,BD=2,

，BC=BN=4,AB=3,

**•AC=VBC2—AB2=y/7，

・AC"

.•—=—.

AB3

9.如图，在RtAABC中，/.ACB=90°,AC=4,BC=2,Rt^ABC绕点C按顺时针方向旋转得到

Rt^A'B'C,A'C与AB交于点D.

(1)如图，当A'B'//AC时，过点8作BE1A'C,垂足为E,连接4E.

①求证：AD=BD；

②求S^ACE的值;

SAABE

⑵如图，当4'CIAB时，过点。作。M〃&B',交B匕于点N,交4c的延长线于点M,求丝

NM

的值.

【答案】⑴①丁Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到RtAA'B'C,

；・ZA=ZA\

VNB'“AC

AZACA=ZA\

AZACA=ZA,

.♦.AD=CD,

VZACD+ZBCD=90°,ZA+ZABC=90°

:.ZBCD=ZABC

・・・BD=CD

②・・•ZBCD=ZABC=ZCEM,ZACB=ZBEC=ZEMC=90°

AAACB^ABEC^ACME,BC=2,ACM

BC_EC_EM21

AC-BC-CM42

设CE=x,在Rt^CEB中，BE=2x,BC=2,

则（2x）2+x2=22

解得x=越即EC=辿，BE=延

555

同理可得：EM=I

1延4

BE=-X=-

EC255

1124

SAACE=-AC-EM=ix4x-=-

2255

SAABC=i-AC-BC=ix4x2=4

22

4412

SAABE=SAABC-SAACE-SABEC4----=—

555

（2）在RSABC中，BC=2,ACM,

则AB=环不=2遮

:.ix2x4=-x2V5xCD

22

解得：CD=|V5

VZA=ZBCD,NADONBDC

/.△ADC^ABDC

ACD2=BDAD

即（2）2=（2限AD）,AD

解得：AD=1V5

DM〃AB'J/A'=ZCDM,NA'CB'=NDAN

•••△CDNs/XCAB

，端=浅,即CN=^B，C=^X2=|巡

VZADC=ZAZCB=90°

，CN〃AB

MN_CNp/5i

DMAD=1V5=4

DM,

——=4

NM

10.已知：AABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F.

(1)如图1,若AABC为锐角三角形，且"BC=45。，AD=BD,过点F作FG||BC,交直线AB于

点G,请直接写出FG、DC、AD之间的数量关系：;

(2)如图2,若/.ABC=135°,过点F作FG||BC,交直线AB于点G,探究FG、DC、AD之间满

足的数量关系并加以证明；

(3)在(2)的条件下，将一个45。角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、

N两点(如图3),连接CF,线段CF分别与线段BM、线段BN、线段BG相交于P、Q、H三点.

①探究^ACD,乙FBM,乙NBG之间数量关系并加以证明；

②求证：力器+器=1・

【答案】⑴结论：FG+DC=AD.

理由：如图1

.\ZADC=ZBDF=90°,ZBAD=45°,

AAD=BD,

vAD1BC,BE1AC,

・•・ZC+ZDBF=90°,ZC+ZDAC=90°,

AZDBF=ZDAC,

/.ABDF^AADC(ASA),

ADF=DC,

,:FG〃BD,

/.ZAFG=ZADB=90°,

ZAGF=ZABD=45°,

AFG=AF,

:.FG+DC=AF+DF=AD,

故答案为：FG+CD二AD.

⑵解：结论：FG=DC+BD；理由如下:

如图2

图2

所示：v4ABe=135°,

ZABD=45°,

•・・AD1BC,

・・・ZADB=90°,

vFG〃BD,

/.zAFG=90°,zG=45°,

・・・△ABD和△AGF都是等腰直角三角形，

AAD=BD,AF=FG,

VAC±BF,

・•・ZCEB=90°,

・・・ZC+ZCBE=90°,

VZC+ZDAC=90°,ZCBE=ZDBF,

/.ZDAC=ZDBF,

•・・4ADC=ZBDF=90。，

，△ADCBDF(ASA),

ADC=DF,

，AF=DF+AD=DC+AD,

:.FG=DC+AD.

(3)解：①解：结论：ZACD=ZFBM+ZNBG.

理由：如图3中，

图3

过点B作BTLFG于T.

・•・ZBTG=90°,

vZG=45°,

・•・ZTBG=45°,

•?ZMBN=45°,

AZMBT+ZNBT=ZNBT+ZGBN=45°,

AZMBT=ZGBN,

JZFBM+ZGBN=ZFBM+ZMBT=ZFBT,

VBC/7FG,

.\ZFBD=ZBFT,

VZECB+ZEBC=90°,ZBFT+ZFBT=90°,zEBC=Z.FBD

AZECB=ZFBT,

:.ZACD=ZFBM+ZNBG.

②证明：z\ACF中，CD,FE是三角形的高，

/.AH±CF,

.四二S-BCFBE=S-ACBBD_S-ABF

（

"AH-SaACFEF-SaACF'CD-SAACF（

BEBD

.吧I|—SABCF+SAACB+SAABF=SAACF=]

AHFECDSAACFSAACF

11.如图，AACB为等腰三角形，NABC=90。，点P在线段BC上（不与B,C重合），以AP为腰长作等腰

直角△PAQ,ZPAQ=90°,QE±AB于E.

（1）求证：△PAB^AAQE；

⑵连接CQ交AB于M,若PC=2PB,求黑的值；

MB

【答案】（1）证明：••,△ACB为等腰三角形，NABC=90。，点P在线段BC上（不与B,C重合），以AP为

腰长作等腰直角4PAQ,QELAB于E.

.♦.AP=AQ,NABP=NQEA=90。，ZQAE+ZBAP=ZBAP+ZAPB=90°,

/.ZQAE=ZAPB,

在ZkPAB和△AQE中，

ZABQ=ZQEA

{ZQAE=ZAPB,

AQ=PA

:.APAB^AAQE(AAS)；

(2)解：:由⑴知,△PAB^AAQE,

・・・AE=PB,

VAB=CB,

・・・QE=CB.

在△QEM和△CBM中，

ZQME=ZCMB

{ZQEM=ZCBM,

QE=CB

・・・AQEM^ACBM(AAS),

・・・ME=MB,

VAB=CB,AE=PB,PC=2PB,

，BE=PC,

,:PC=2PB,

APC=2MB,

・・・—=2.

MB

12.已知