2021年中考数学24 相似三角形判定与性质（解析版）

专题24相似三角形判断与性质

专题常识回顾

1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫

做相似比。

2.三角形相似的判断方式：

(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边耽误线)订交，构成的三角形与原三角

形相似。

(3)判断定理1:参加一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相

似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

(4)判断定理2:参加一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那

么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

(5)判断定理3:参加一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形

相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

3.直角三角形相似判断定理：

①以上各种判断方式均合用

②定理：参加一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,

那么这两个直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4.相似三角形的性质：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

(3)相似三角形周长的比等于相似比

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

专题典型题考法及解析

【例题1】（2021•海南省）如图，在Rr^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动

点，过点P作尸Q〃AB交3c于点Q,D为线段P。的中点，当8。平分NABC时，AP的长度为（）

.A.B.—C.—D.—

A.13131313

【答案解析】B.

【试题解答】本题考查的是相似三角形的判断和性质，掌握相似三角形的判断定理和性质定理是解题

的关键.

根据勾股定理求出4C,根据角平分线的定义、平行线的性质得到NQ8O=N3OQ,得至UQB=Q£>,

根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

VZC=90°,AB=5,8c=4,

.,MC=^AB2_BC2=3,

'JPQ//AB,

NABD=ZBDQ,又4ABD=ZQBD,

：.ZQBD=ZBDQ,

：.QB=QD,

:.QP=2QB.

'：PQ//AB,

：./\CPQ^/\CAB,

・CP=CQ=PQ|I||CP_4H3B_2QB

"CACBAB''~34飞-'

解得，CP=2i,

：.AP^CA-CP=2

13

【例题2】（2021•四川省凉山州）在。ABC3中，E是A。上一点，且点E将AO分为2:3的两部分，毗

邻BE、AC订交于F,则以AEF：SACBF是.

【答案解析】4:25或9:25.

【试题解答】本题考查的是相似三角形的判断和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积

比等于相似比的平方是解题的关键.

分AE-.ED=2:3、AE:£0=3:2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可.

①当AE:E£）=2:3时，

•.•四边形A8CZ）是平行四边形，

：.AD//BC,AE:BC=2:5,

AAEFSACBF,

/•SAAEF：SACBF—（—）2=4:25;

5

②当AE:E£>=3:2时，

同理可得，SAAFF：SACBF=（—）2=9：25»

5

【例题3］（2021•湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度0区小明同学先在操场上A处放一面

镜子，向后退到8处，恰好在镜子中看到楼的顶部£再将镜子放到C处，然后后退到。处，恰好再

次在镜子中看到楼的顶部E（。，A,B,C,。在同一条直线上），测得AC=2皿BD=2.\m,参

加小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6成，试确定楼的高度0E.

E

【答案解析】楼的高度0E为32米.

【试题解答】设E关于。的对称点为M,由光的反射定律知，耽误GC、FA订交于点M.

毗邻GF并耽误交0E于点H,

'：GF//AC,

.♦.△MACSAMFG,

.AC_MA_MO

"FG=MF=MH'

即.AC_0E_OE_OE

'.BD=MH=MO+OH-OE+BF

.OE二2

"OE+1.6=2.1'

：.OE=32

E

■4/I

,，♦♦

q尸/./'

卜5/・

DC-BA\；）

4

【例题4】(2021年广西梧州市)如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,4尸平分NOAC,分别交

DC,8c的耽误线于点E,F：毗邻。F,过点A作AH〃。冗分别交BDBF于点G,H.

(1)求。E的长；

(2)求证：N1=NDFC.

【答案解析】见解析。

【试题解答】本题考查了矩形的相关证明与计算，谙练掌握矩形的性质、平行四边形的判断与性质与

相似三角形的性质与判断是解题的关键.

(1)由A/)〃CF,A/平分ND4C,可得得出AC=C尸=5,可证出△AOES/\FCE,

则AD=DE可求出OE长；

CFCE

♦.•矩形A8CD中，AD//CF,

：.ZDAF=ZACF,

平分NDAC,

：.ZDAF=ZCAF,

.\ZFAC=ZAFC,

；.AC=CF,

：A8=4,8c=3,

AC=VAB2+BC2=Vs2+42=5,

，b=5,

'：AD//CF,

：.AADE^AFCE,

.ADDE

•,二一,

CFCE

设OE=x,则

54-x

解得x=a

2

DE^|"；

(2)由△ADGS^HBG,可求出DG,则DE=DC,可得EG〃BC,则N1=NAHC,根据DF//AH,

DGDB

可得NAHC=NDFC,结论得证.

AD//FH.AF//DH,

•••四边形AQF”是平行四边形,

：.AD=FH^3,

:.CH=2,BH=5,

'：AD//BH,

：./\ADG^/\HBG,

.DGAD

,•二—-,

BGBH

.DG3

•'5-DGT

：.DG=^-,

8

"：DE=—,

2

•DEDC=4

"DG^DBT

：.EG//BC,

：.Zl=ZAHC,

又尸〃AH,

NAHC=ZDFC,

Z1=ZDFC.

【例题5】(2021年湖南省张家界市)如图，在平行四边形ABC。中，毗邻对角线AC,耽误AB至点E,

使3E=AB,毗邻。E,分别交3C,AC交于点F,G.

(1)求证:BF=b；

(2)若BC=6,0G=4,求FG的长.

【答案解析】见解析。

【试题解答】根据平行四边形的性质得到AD〃O),AD=BC,得到根据相似三角形

的性质证明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可.

(1)证明：•.•四边形48CD是平行四边形，

J.AD//CD,AD=BC,

:.XEBFsXEAD,

.BF=EB=1

"ADEAT

:.BF=—AD=—BC,

22

:.BF=CF；

（2）♦.•四边形48c力是平行四边形,

：.AD//CD,

.♦.△FGCS/XOGA,

.•屈二庭，即四。

DGAD42

解得,FG=2.

专题典型练习题

一、挑选题

1.（2021年广西玉林市）如图，AB//EF//DC,AD//BC,EF与AC交于点G,则是相似三角形共有

（）

A.3对B.5对C.6对D.8对

【答案解析】C

【试题解答】图中三角形有：zMEG,/\ADC,CFG,△C&4,

'：AB//EF//DC,AD//BC

XkEGs△AOCsCFGs△CBA

共有6个组合分别为：AAAEG^AADC,△AEGSCFG,△AEGS^CBA./XADCSCFG、ZXAOCS

△CBA,CFGsMBA

2.（2021年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别为△A8C边48,AC上的点，NADE=NACB,若AO

=2,AB=6,AC=4,则AE的长是（）

B

A.1B.2C.3D.4

【答案解析】C

【试题解答】证明△AOEs/VlCB.根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

VZADE=ZACB,ZA=ZA,

二/\ADE^/\ACB,

.AD_AEpp2_AE

,•而―初'

解得，AE=3

3.（2021•广西贺州）如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC边上的点，DE//BC,若

AD=2,4B=3,DE=4,则8c等于（）

A.5B.6C.7D.8

【答案解析】B

【试题解答】本题考查了相似三角形的判断与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关

键.由平行线得出△AOEsaABC,得出对应边成比例岖=些，即可得出成果.

ABBC

'：DE//BC,

•AD=DE

"ABBC,

解得：BC=6

4.（2021•广西贵港）如图，在△ABC中，点。，E分别在AB,AC边上，DE//BC,NACO=/B,

若AZ）=2BQ,BC=6,则线段C£＞的长为（）

B

A.273B.3A/2C.2&D.5

【答案解析】C.

【试题解答】设AD=2x,BD=x,所以AB=3x,易证操纵相似三角形的性质可求出

DE的长度，以及旭:2.再证明△AOEs/\ACQ,操纵相似三角形的性质即可求出得出胆4=

AC3ACAD

述，从而可求出CO的长度.

CD

设A£>=2r,BD=x,

.\AB=3x,

■:DEHBC、

・・・/\ADE^/\ABC,

.DE二&）_AE

"BC^AB而，

・DE=2x

63x

・・・OE=4,坐=2,

AC3

■:ZACD=ZB,

ZADE=ZB,

・・・ZADE=NACO,

■:ZA—ZA,

•AD_AE_DE

"AC^ADCD'

设AE=2y,AC=3y,

♦AD=2y

,•药AD-

.2y_4

V6yCD'

:.CD=2娓

5.（2021•黑龙江哈尔滨）如图，在团ABC。中，点E在对角线3。上，EM//AD,交AB于点M,EN

HAB,交4。于点N,则下列式子必然对的是（）

A,D

B

A迎=迹B.迪=幽CBC=BED股=里

'BMDEABAD'MEBD'BEEM

【答案解析】D.

【试题解答】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质.

:在回ABC。中，EM//AD

，易证四边形AMEN为平行四边形

项错误

/<AM=NE=DEA

BMBMBE

迪=吗8项错误

ABAD

BC=AD=BD,c项错误

MEMEBE

。项正确。

BD=AC=BC1

BEMEME

6.（2021•江苏苏州）如图，在VABC中，点。为3C边上的一点，且4)=Afi=2,AD1AB,

过点。作DE_LAD,DE交AC于点、E,若DE=1,则V43C的面积为（）

A.4丘B.4C.2x/5D.8

【答案解析】B

【试题解答】考查相似三角形的判断和性质、等腰直角三角形的高，中等题型

.-.AB1.AD,DE^AD

ZBAD=ZADE=9&'

AB//DE

易证VGDE:NCBA

DCDE\

BC-BA-2

由题得BD=2五

.•.解得DC=141

VA8C的高易得：72

Sy.sc=J*BCx>/2=；x4夜x0=4

7.（2021山东枣庄）如图，将△ABC沿8c边上的中线4。平移到△?!'B'C'的位置.己知△A8C的

面积为16,阴影部分三角形的面积9.若A4'=1,则A'。等于（）

A.2B.3C.4D.3

2

【答案解析】B

【试题解答】本题主要平移的性质，解题的关键是谙练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相

似三角形的判断与性质等常识点.

由SAABC=16.SA4-EF=9且AO为8c边的中线知SmDE=—S^£F=—,S^ABD=^SAABC=S,根据△

222

DA'Es/\D48知（区—R）2=据此求解可得.

仙S△杷口

♦.•SAABC=16.SM，EF=9,且AD为8c边的中线，

1Q1

•"S^A'DE=—Szi4,EF~—,SMBD=—SAA8C=8,

222

,将△ABC沿8c边上的中线AO平移得到△ATTC,

E//AB.

：./\DA'E^/\DAB,

9_

则2=WDE即，A'D）2=工二

ADSA，ABDAD+l816

解得A'。=3或4'O=-W（舍）。

7

8.（2021四川巴中）如图目A8CC,尸为8C中点，耽误AO至E,使。E:AO=1:3,连结所交0c于点

A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9

【答案解析】D.

【试题解答】先设出DE=x,进而得出4Z）=3x,再用平行四边形的性质得出BC=3x,进而求出CF.

末了用相似三角形的性质即uj■得出结论.

设DE=x,

DE:AD=13,

：.AD=3x,

♦.•四边形A8c。是平行四边形，

：.AD//BC,BC=AD=3x,

,••点尸是3c的中点，

CF=^BC=^-x,

22

,:AD〃BC,

:ADEGs^CFG,

.SADEG_/DE.2_/_x_,2_4

S/kCFGCFA9

2x

9.（2021年四川省遂宁市）如图，四边形A8C。是边长为1的正方形，ABPC是等边三角形，毗邻

QP并耽误交CB的耽误线于点H,毗邻8。交PC于点Q,下列结论：

①NBPD=135°；②△BDPs/\HDB；@DQ:BQ=\:2；@SABDP=^±

4

其中对的有（）

【答案解析】D.

【试题解答】由等边三角形及正方形的性质求出/CPO=/CDP=75°、NPCB=NCPB=60°,从而

判断①：证/。8P=/O尸B=135°可判断②；作QEJLCr),设QE=OE=x,则。。=我乂CQ=2QE=

2x,CE=y[^x,由CE+DE=CD求出x,从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，证DP=DQ=

限声根据S^BDP-BD-PDsmZBDP求解可判断④.

,:丛PBC是等边三角形，四边形4BC。是正方形，

；.NPCB=NCPB=60；NPCO=30°,BC=PC=CD,

：.ZCPD=ZCDP=15°,

则/3尸0=/8尸。+/。尸0=135°,故①正确：

,:NCBD=NCDB=45：

:.NDBP=NDPB=135°,

又,：NPDB=ZBDH,

：3DPsAHDB,故②正确；

设QE=DE=x,则QD=Q,CQ=2QE=2X,

•**CE=y/^,

由CE+DE=CD知=1,

解得x=返工，

2

:3=心=娓即、

•；BD=尿

：.BQ=BD-DQ=y[2-

22

贝!JDQ:8。=返黑区：孑绐近W1：2,故③错误；

•：4CDP=15°'/COQ=45°,

:./PDQ=30；

又,：NCPD=75°,

:.NDPQ=NDQP=75°,

：.DP=DQ=^^-.

2

1

：.SMDP=LBD・PDsinNBDP=LXX±=?Z1~,.故④正确。

22224

二、填空题

10.（2021•浙江宁波）如图所示，RdABC中，ZC=90°,AC=12,点。在边3c上，CD=5,BD

=13.点「是线段AD上一动点，当半径为6的。尸与AABC的一边相切时，4P的长为.

CD

【答案解析】6.5或3y

【试题解答】•.•在R/A48C中，ZC=90°,AC=12,BD+CD=\S,

A8=yj22+l82=6

在RfA4£）C中，NC=90°,AC=12,8=5,

,',AD=VAC2+CD2=13,

当。P于BC相切时，点P到8c的间隔=6,

过尸作PHVBC于H,

则PH=6,

ZC=90°,

：.AC1.BC,

：.PH//AC,

：./\DPH^/\DAC,

•PDPH

"DA^AC'

.PD_6

•-----------,

1312

：.PD=6.5,

：.AP=6.5；

当0P于AB相切时，点尸到AB的间隔=6,

过尸作PGA.AB于G,

则PG=6,

'：AD=BD^\3,

：.ZPAG=ZB,

'：N4GP=/C=90°,

/.△AGFSABCA,

♦AP_PG

"AB^AC'

•AP=6

"671312,

：.AP=3yfl3.

VCD=5<6,

二半径为6的（DP不与△ABC的AC边相切,

综上所述，AP的长为6.5或3713.

故答案为：6.5或3后.

11.2021黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片ABC,NACB=90。，AB=10,AC=6,点D为BC

边上的任一点，沿过点。的直线折叠，使直角极点C落在斜边AB上的点E处，当ABDE是直角

三角形时，则CD的长为.

【答案解析】3或兰24.

7

【试题解答】在ABDE中，NB是锐角，...有两种大概，/DEB或NEDB是直角，由此画出示意图,

渐渐求解即可.

如图1,ZDEB是直角时，VZACB=90°,AB=\0,AC=6,.>.BC=>/102-62=8,设CD=x,则

BD=8-x,由折叠

DF6r

知CD=ED=x,VZACB=ZDEB=90°,AABED-ABCA,,即？=^_,解得x=3;

ABDB108-x

如图2,ZEDB是直角时，ED〃AC,AABED-ABAC,,即9解得x=—,综

CBDB88-x7

上，CD的长

为3或一.

7

图1图2

12.（2021•山东泰安）如图，矩形ABC。中，AB=3瓜BC=12,E为AO中点，尸为上一点，将

△AE尸沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕的长是.

【答案解析】2任.

【试题解答】本题考查了矩形的性质，轴时称的性质，相似三角形的判断与性质等，解题关键是能够

作出恰当的辅助线，毗邻CE,组织相似三角形，终极操纵相似的性质求出成果.

毗邻EC,操纵矩形的性质，求出EG,OE的长度，证明EC平分NDCF,再证NFEC=90。，末/证

△FEC^/XEDC,操纵相似的性质即可求出EF的长度.

如图，毗邻EC,

•••四边形48CD为矩形，

AZA=ZD=90°,BC=AD=\2,DC=AB=3瓜

为A£）中点，

：.AE=DE=^-AD=6

2

由翻折知，△AEF咨AGEF,

：.AE=GE=6,NAEF=NGEF,ZEGF=NEAF=90°=ZD,

:.GE=DE,

・・・EC平分NOCG,

:・NDCE=NGCE,

NGEC=90。-ZGCE,ZDEC=900-ZDCE,

：・/GEC=/DEC,

：.ZFEC=ZF£G+ZGEC=—x180°=90°,

2

・・・NEEC=NO=90。，

又,:NDCE=NGCE,

:•△FECSAEDC,

.FEEC

,,--

DEDC

:£C=VDE2+DC2=762+（3^）2=3^

.FEWTU

♦♦TFT

.\FE=2V15

13.（2021江苏常州）如图，在矩形ABC£>中，A£>=3A8=3而.点P是A。的中点，点E在8c上，

CE=2BE,点、M、N在线段8。上.若△PMN是等腰三角形且底角与NOEC相等，则MN=

【答案解析】6.

【试题解答】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判断、等腰三角形的性质、勾股定理、锐

角三角函数等几何常识点.起首由勾股定理，求得BD=10,然后由“AQ=3A8=3而.点P是AQ的中

点，点E在8c上，CE=2BE”,求得CE=2而，如许由tanNOEC=匹=L第四

2EC2

步过点尸作尸于点H,在8。上依次取点例、N,使MH=NH=2PH,于是是以是所

3M

求吻合前提的图形；第五步由△OP//SZXO2A,得丝=殁，即坐=2——，得PH=圭,于是

BABDTH）102

MN=4PH=6,本题答案为6.

14.（2021•山东省滨州市）如图，团ABC£＞的对角线4C,BO交于点O,CE平分/BC£＞交48于点E,交

BO于点F,且NABC=60°,AB=2BC,毗令BOE.下歹U结论:①EOLAC；②SMOO=4SAOCF；③AC:8。

=&1：7;®FB2=OF-DF.其中对的结论有（填写所有正确结论的序号）

【答案解析】①③④.

【试题解答】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等常识，解题的关键是

机动运用所学常识解决问题，学会操纵参数解决问题，属于填空题中的压轴题.

①正确.只要证明EC=E4=8C,推出乙4c8=90°,再操纵三角形中位线定理即可判断.

②错误.想方式证明BF=2OF,推出S"OC=3SAO）#即可判断.

③正确.设BC=8E=EC=a,求出AC,8。即可判断.

④正确.求出8F,OF,OF（用“示意），通过计算证明即可.

•；四边形ABCD是平行四边形，

：.CD//AB,OD=OB,OA=OC,

.,.ZDCB+ZABC=180°,

VZABC=60°,

：.ZDCB=\20°,

：EC平分/OCR

：.ZECB=^ZDCB=60°,

2

：.NEBC=NBCE=ZCEB=60°,

；.AECB是等边三角形，

：.EB=BC,

'：AB=2BC,

：.EA=EB=EC,

-8=90°,

:。4=OC,EA=EB,

：.OE//BC,

二/AOE=NACB=90°,

：.EO1AC,故①正确，

OE//BC,

:.△OEFsgCF,

•OE=OF=1

"BCFB'2'

：.OF=^OB,

3

S^AOD=S^BOC=^S^OCF,故②错误，

设BC=BE=EC=a,则AB=2。，AC=Q,0Z）=OB=（零a）"手

•**BD=

."。:8£）=遮”：J74=&I：7,故③正确,

：.BF=^B-a,

3

.•.B产=工/。户。尸=近”•（且“+且〃）=工/

96269

：.BF1=OF'DF,故④正确，

故答案为①③④.

15.（2021四川泸州）如图，在等腰RtZiABC中，ZC=90",AC=15,点E在边C8上，CE=2EB,

点。在边AB上，CDLAE,垂足为F,则AD的长为

【答案解析】9企

【试题解答】过。作。H_LAC于",

♦.•在等腰RtZ\48C中，ZC=90°,AC=15,

：.AC=BC^\5,

：.ZCAD=45°,

：.AH=DH,

：.CH=15~DH,

'：CF1AE,

：.ZDHA=ZDFA=90",

NHAF=Z.HDF,

^ACE^ADHC,

.DHCH

"AC~CE'

,:CE=2EB,

.\CE=10,

.DH15-DH

**15-10

：.DH=9,

.,.AO=9V1,

故答案为:9V2.

三、解答题

16.(2021•四川省凉山州)如图，NABD=NBCD=9。。,OB平分NAQC,过点B作BM〃C。交AO于

M.毗邻CM交08于N.

(1)求证:B£>2=AQ.C£)；

(2)若CQ=6,AD=8,求MN的长.

【答案解析】见解析。

【试题解答】本题考查/相似三角形的判断和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是

本题的关键.

证明：(1)通过证明△AB£)S/\BC£),可得知JD,可得结论；

BDCD

「OB平分NAQC,

:.ZADB=ZCDB,JiZABD=ZBCD=90°,

：.4ABDs4BCD

.AD_BD

"BEF^CD

:.BN=ADCD

(2)由平行线的性质可证即可证AM=MD=MB=4,由和勾股定理可

求MC的长，通过证明△MN8s/\CN/),可得阴=删=2,即可求MN的长..:BMHCD

CDCN3

:.NMBD=NBDC

：.NADB=/MBD、且/48。=90°

：.BM=MD,NMAB=NMBA

.\BM=MD=AM=4

'：BD2=AD<D,RCD=6,AO=8,

二8£)2=48,

：.BC2=BD2-0)2=12

:.MC=2救

'CBM//CD

：.^\MNB^/\CND

端嗡看且优=2W

:.MN=

17.(2021•山东泰安)在矩形4BCD中,AEJ_BD于点E,点P是边A。上一点.

(1)若BP平分NABQ,交AE于点G,PF工BD于点F,如图①，证明四边形AGFP是菱形;

(2)若PEtEC,如图②，求证:AE・AB=OE・AP；

(3)在⑵的前提下，若A8=l,BC=2,求”的长.

【答案解析】见解析。

【试题解答】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判断和性质，矩形的性质，解直角三角形等

常识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

(1)想方式证明AG=PF,AG//PF,推出四边形4GFP是平行四边形，再证明布=PE即可解决问题.

证明：如图①中，

・・•四边形A8CO是矩形，

I.NBAD=90。,

VAE1BD,

ZAED=90°,

：.NBAE+NEAD=90。,ZEAZHZADE=90°,

:./BAE=/ADE,

,:ZAGP=N8AG+NABG,ZAPD=/ADE+/PBD、ZABG=/PBD,

：.ZAGP=ZAPG,

：.AP=AG,

PALAB,PF±BD9BP平分NA5。，

：.PA=PF,

；.PF=AG,

VAE1BD,PF±BD,

：.PF//AG,

・・・四边形AGF尸是平行四边形,

'：PA=PF,

，四边形AG尸尸是菱形.

(2)证明△AEPSAOEC,可得岖=£.由此即可解决问题.

DEDC

证明：如图②中，

'：AELBD,PELEC,

：.NAED=NPEC=90。,

：.NAEP=ZDEC,

VZEAD+ZADE^90°,NADE+NCDE=90°,

：.ZEAP=ZEDC,

：.△AEPs^DEC,

•AE=AP

"DEDC'

'：AB=CD,

：.AE-AB=DE'AP,

（3）操纵（2）中结论.求出。E,AE即可.

解：•••四边形A8CZ）是矩形，

：.BC=AD=2,ZBAD=90°,

BD=VAB2+AD2=^

'：AE±BD,

.'.5AABD=—,BD*AE=—-AB*AD,

22

:.AE=^^,

5

D£=VAD2-AE2=-^^'

■:AE・AB=DE・AP；

2^/5

—^-Xl

•AP=-_______—1

W5~2

5

18.（2021安徽）如图，放AABC中，NACB=90。，AC=BC,P为AABC内部一点，且NAPB=NBPC

=135°.

(I)求证：△PABs/\PBC；

⑵求证：%=2PC；

(3)若点P到三角形的边AB,BC,C4的间隔分别为加，112,瓜求证娟=后女3.

【答案解析】见解析。

【试题解答】此题主要考查了相似三角形的判断和性质，等腰宜角三角形的性质，判断出NE4P=

NPCD是解本题的关键.

(I)