微积分 第七版 课件 1.3 极限的概念与基本运算法则

第三节

极限的概念与基本运算法则本节学习目标010203能熟练判断分段函数分界点处的极限熟练掌握极限的基本运算法则理解极限的思想和概念案例1.刘徽---割圆术

古代数学家刘徽的“割圆术”.其体现了朴素的极限思想，是最早用极限思想解决实际问题的。所谓割圆术，就是从圆内接正六多边形开始，不断倍增圆内接正多边形的边数，求出圆周率的方法。即通过圆内接正多边形细割圆，边数越多，正多边形的周长越接近圆的周长，正多边形的面积越接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率。刘徽(约225年-约295年)，汉族，山东滨州邹平市人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一。在中国数学史上作出了极大的贡献，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。战国时期哲学家:庄周“一尺之棰，日取其半，万世不竭”《庄子天下篇》一尺即“一根长为一尺的棒头，每天截去一半，千秋万代也截不完.”说明了物质无限可分，人们对事物的认识是没有止境的道理。未看到量变到一定程度会引起质变。实际上，每天截后剩下的棒的长度是（单位为尺）：第3天剩下；……；第1天剩下；第2天剩下；第21天剩下；（约公元前369—前286年）案例2.庄周---截杖问题第天剩下；……；这样，我们就得到一列数……；……这一列数就是一个数列.

随着时间的推移，剩下的棒的长度越来越短.显然,当天数无限增大时,剩下的棒的长度将无限缩短,即剩下的棒的长度接近于数0.

这时我们就称由剩下的棒的长度构成的数列以常数0为极限.并记作一、极限的概念考虑函数y=f(x),自变量x在变化过程中的取值一定属于函数定义域,分下列两种基本情况讨论函数y=f(x)的变化趋势.1.第一种基本情况自变量x取值无限远离原点,这意味着自变量x的绝对值|x|无限增大,记作x→∞6x→∞包括两个方向:一个是沿着x轴的负向远离原点,这时自变量x取值为负且|x|无限增大,记作x→-∞另一个则是沿着x轴的正向远离原点,这时自变量x取值为正且|x|无限增大,记作x→+∞因而x→∞意味着同时考虑x→-∞与x→+∞7例1

8定义1.8已知函数f(x)在自变量x取值无限远离原点的情况下有定义,当x→∞时,若函数f(x)无限接近于常数A,则称当x→∞时函数f(x)的极限为A,记作

注意到x→∞意味着同时考虑x→-∞与x→+∞.于是有下面的定理.9定理1.1

同时成立.10

根据函数极限的定义,在例1中极限

11例2

解:观察函数y=sinx的图形,如图12容易看出:无论当x➝-∞时还是当x➝+∞时,对应的函数y值在区间[-1,1]上振荡,不能无限接近于任何常数,所以极限

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定理1.2142.第二种基本情况自变量x取值无限接近于有限点x0,记作x→x0应注意的是:在x→x0的过程中,点x始终不到达点x0,即恒有x≠x0.x→x0包括两个方向:

15例3

考虑函数y=2x+1,在点x=5左右,自变量x与函数y的对应数值情况列表如表x4.94.994.999…5.0015.015.1y10.810.9810.998…11.00211.0211.2容易看出:当x→5时,对应的函数y值无限接近于常数1116定义1.9

已知函数f(x)在点x0左右有定义,当x→x0时,若函数f(x)无限接近于常数A,则称当x→x0时函数f(x)的极限为A,记作

17定理1.3

同时成立.18极限的概念这个定理说明:函数在有限点处极限存在的充分必要条件是左极限与右极限都存在且相等.

19极限的概念

由于在x→x0的过程中,恒有x≠x0,因而在一般情况下,函数f(x)在点x0处有无定义都不影响它在点x0处的极限情况.根据函数极限的定义,在例3中极限

20极限的概念数列与函数统称为变量,它们的极限统称为变量极限.如果变量极限存在,则其极限是唯一的,其在极限过程中某时刻后有界.若变量y的极限为A,则记作limy=A以后只在讨论对于数列极限与函数极限皆适用的一般性结论时,才能使用通用记号limy若已经给出变量y的函数表达式,则不能使用通用记号,必须在极限记号下面标明自变量的变化趋势.显然,常数c的极限等于c,即limc=c

(c为常数)21二、极限的基本运算法则法则1如果极限limu与limv都存在,则极限lim(u±v)=limu±limv法则2如果极限limu与limv都存在,则极限limuv=limulimv法则3如果极限limu与limv都存在,且极限limv≠0,则极限

22法则4如果极限limu(x)存在,且函数值f(limu(x))有意义,则极限limf(u(x))=f(limu(x))法则5如果函数f(x)是定义域为D的初等函数,且有限点x0∈D,则极限

23极限的基本运算法则推论1如果有限个变量u1,u2,…,um的极限都存在,则极限lim(u1+u2+…+um)=limu1+limu2+…+limum推论2如果有限个变量u1,u2,…,um的极限都存在,则极限limu1u2…um=limu1limu2…limum推论3如果极限limv存在,k为常数,则极限limkv=klimv24例4

=lg(2+0)=lg225本来在一般情况下,函数在属于定义域的有限点处的极限值与它在该点处的函数值没有必然联系,但法则5说明:

初等函数在属于定义域的有限点处的极限值却等于它在该点处的函数值,因此法则5解决了初等函数的基本极限计算

26继续讨论分段函数在分界点处的极限.

若分段函数在分界点左右的数学表达式一样,则直接计算其极限;若分段函数在分界点左右的数学表达式不一样