微积分 第七版 课件 2.3 导数基本公式

第三节

导数基本公式本节学习目标010203能熟练利用运用四则则进行导数计算掌握基本初等函数的导数公式了解导数的经济意义一、导数基本公式基本初等函数的导数构成导数基本公式1.常量函数y=c

(c为常数)在§2.1中已经得到导数y'=032.正整数指数幂函数y=xn(n为正整数)

=nxn-1可以证明:对于任意常数α,幂函数y=xα的导数y'=αxα-14例1(x2)'=2x

=(x-1)'=-x-2

5例2求函数y=x4+7x3-x+10的导数.解:y'=(x4)'+7(x3)'-(x)'+(10)'=4x3+21x2-1+0=4x3+21x2-16例3

73.指数函数y=ax(a>0,a≠1)

8令u=aΔx-1,即Δx=loga(1+u);当Δx→0时,u→0

=axlna特别地,若a=e,则得到指数函数y=ex的导数y'=ex9例4(2x)'=2xln2(3x)'=3xln3(10x)'=10xln10应注意的是:要正确区分幂函数与指数函数,幂函数的特征是底在变而指数不变,指数函数的特征是底不变而指数在变,不能把指数函数误认为幂函数,如函数2x是指数函数而不是幂函数,因此不能应用幂函数导数基本公式求其导数,即导数(2x)'≠x2x-1.10例5求函数y=xe-ex+ee的导数.解:注意到函数y的表达式中第3项ee为常数项,其导数等于零,所以导数y'=exe-1-ex+0=exe-1-ex11例6求函数y=x2ex的导数.解:y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex124.对数函数y=logax(a>0,a≠1)对数函数y=logax的反函数为指数函数x=ay(a>1,a≠1),根据§2.2定理2.3,得到导数

特别地,若a=e,则得到对数函数y=lnx的导数

13例7

14例8

15例9求函数y=xexlnx的导数.解:y'=(x)'exlnx+x(ex)'lnx+xex(lnx)'

=exlnx+xexlnx+ex=ex(lnx+xlnx+1)165.三角函数(1)y=sinx

=cosx17(2)y=cosx

=-sinx18(3)y=tanx

=sec2x19(4)y=cotx

=-csc2x20例10求函数y=exsinx的导数.解:y'=(ex)'sinx+ex(sinx)'=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)21例11

22例12求函数y=tanx+cotx的导数.解:y'=sec2x-csc2x=(1+tan2x)-(1+cot2x)=tan2x-cot2x236.反三角函数(1)y=arcsinx

24(2)y=arccosx

25(3)y=arctanx

26(4)y=arccotx

27例13求函数y=arcsinx-arccosx的导数.

28例14求函数y=x-arctanx的导数

29例15

30对于经济学中的函数而言,因变量对自变量的导数,统称为“边际”.即：

边际收益就是总收益

对销量

的导数。边际收益函数为二、导数的经济意义

经济领域中的“边际（函数）”就等于数学上的“求导”，这是导数的经济意义。边际成本就是总成本

对产量

的导数,边际成本函数为边际利润就是总利润L对销量的导数。边际利润为

生产第单位产品，总成本增加(实际上是近似的)的数量线性总成本函数

这说明,产量为任何水平时,每增加单位产品,总成本都增加6.如:由于边际成本

总成本函数

例1:由于边际成本

即边际成本是的函数,说明在不同的产量水平上,每增加单位产品,总成本的增加额将是不同的.三、导数基本公式总结综合上面的讨论,得到导数基本公式:公式1

(c)'=0

(c为常数)公式2

(xα)'=αxα-1

(α为常数)公式3

(ax)'=axlna

(a>0,a≠1)公式4

(ex)'=ex

33导数基本公式总结

公式7