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文档简介

第五节

隐函数的导数本节学习目标0102能熟练计算隐函数的导数理解隐函数求导方法一、隐函数求导方法已知方程式F(x,y)=0确定变量y为x的函数y=y(x),如何求函数y对自变量x的导数y'?具体做法是:

方程式F(x,y)=0等号两端皆对自变量x求导数,然后将含导数y'的项都移到等号的左端,而将不含导数y'的项都移到等号的右端,经过代数恒等变形,就得到导数y'的表达式,这个表达式中允许出现函数y的记号.在隐函数导数运算过程中,要注意应用复合函数导数运算法则.3若方程式F(x,y)=0分别确定几个函数y=y1(x),y=y2(x),…,则由上述方法求得的导数y'分别代表这几个函数的导数,它们用一个表达式表示,其中出现的函数y的记号分别代表这几个函数.

在隐函数导数运算的过程中,必须非常明确变量y为自变量x的函数.下面讨论经常用到的几个变量对自变量x的导数:考虑变量xy对自变量x的导数,根据§2.2导数基本运算法则2,有(xy)'=y+xy'4考虑变量y2,ey及lny对自变量x的导数,注意到变量y2,ey及lny分别为变量y的函数,变量y又为自变量x的函数,因而变量y2,ey及lny分别为自变量x的复合函数,中间变量为变量y,根据§2.4复合函数导数运算法则,有(y2)'=2yy'(ey)'=eyy'

至于其他有关变量对自变量x的导数,根据导数基本运算法则、导数基本公式及复合函数导数运算法则,容易得到结果.如(y3)'=3y2y',(siny)'=cosy·y'等.5例1

方程式x2+3xy+y2=1确定变量y为x的函数,求导数y'.解:方程式x2+3xy+y2=1等号两端皆对自变量x求导数,有2x+3(y+xy')+2yy'=0即有3xy'+2yy'=-(2x+3y)得到(3x+2y)y'=-(2x+3y)所以导数

6例2方程式y=x3+xey确定变量y为x的函数,求导数y'.解:方程式y=x3+xey等号两端皆对自变量x求导数,有y'=3x2+(ey+xeyy')即有y'-xeyy'=3x2+ey得到(1-xey)y'=3x2+ey所以导数

7例3方程式y=xlny确定变量y为x的函数,求导数y'.解:方程式y=xlny等号两端皆对自变量x求导数,有

即有

得到

所以导数

8二、求隐函数y=y(x)在其平面曲线上点(x0,y0)处的导数值首先，求出导数y'；其次，在导数y'的表达式中,自变量x用数x0代入；则因变量y用数y0代入所得到的数值就是所求导数值9例4方程式ysinx+ey-x=1确定变量y为x的函数,则导数值解:方程式ysinx+ey-x=1等号两端皆对自变量x求导数,有(y'sinx+ycosx)+eyy'-1=0即有y'sinx+eyy'=1-ycosx=

10得到(sinx+ey)y'=1-y

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