备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件与概率

第4讲随机事件与概率课标要求命题点五年考情命题分析预测1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.4.结合实例，会用频率估计概率.事件的关系的判断2020新高考卷ⅠT5本讲知识是概率部分的基础，高考命题热点为互斥事件和对立事件的概率计算，以频率估计概率，古典概型的求解，概率基本性质的应用等，题型既有小题也有大题，大题常与排列组合、分布列、期望与方差、统计等知识综合命题，难度中等.在2025年高考备考中，要加强对本讲概念的理解与应用及与其他知识的综合训练.求随机事件的频率与概率2023新高考卷ⅡT19；2023北京T18；2022新高考卷ⅡT19；2021全国卷甲T17；2020新高考卷ⅠT19；2020全国卷ⅢT18；2019北京T17古典概型2023全国卷甲T4；2022新高考卷ⅠT5；2022全国卷乙T13；2022全国卷甲T15；2021全国卷甲T10概率的基本性质的应用2023全国卷甲T61.样本空间和随机事件（1）样本空间（i）样本点：随机试验E的每个可能的①基本结果称为样本点，一般用Ω表示.（ii）样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般用Ω表示.（iii）有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果Ω1，Ω2，…，Ωn，则称样本空间Ω＝{Ω1，Ω2，…，Ωn}为有限样本空间.说明样本空间可以理解为集合，集合的元素就是样本空间中的样本点.（2）随机事件（i）定义：将样本空间Ω的②子集称为随机事件，简称事件.（ii）表示：一般用大写字母A，B，C，…表示.（iii）极端情形：③必然事件、不可能事件.2.两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生④A⊆B相等事件B⊇A且A⊇B⑤A＝B并事件（和事件）A与B至少有一个发生A∪B或A＋B交事件（积事件）A与B同时发生A∩B或AB互斥（互不相容）A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生⑥A∩B＝∅，A∪B＝Ω注意对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，即两事件互斥是对立的必要不充分条件.3.古典概型（1）古典概型的特征（i）有限性：样本空间的样本点只有⑦有限个；（ii）等可能性：每个样本点发生的可能性⑧相等.（2）古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P（A）＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n（A）和n4.概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P（A）≥0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（∅）＝0性质3如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝⑨P（A）＋P（B）.（互斥事件的概率加法公式）性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝⑩1－P（B）.性质5如果A⊆B，那么P（A）≤P（B）.性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（A∪B）＝⑪PA+性质3的推广：若事件A1，A2，…，Am两两互斥，则P（A1∪A2∪…∪Am）＝P（A1）＋PA2＋…＋P（Am5.频率与概率（1）频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.（2）频率稳定性的作用：可以用频率fn（A）估计概率P（A）.说明随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定于事件A发生的概率.1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（D）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶 D.两次都不中靶解析射击两次的结果有：一次中靶，两次中靶，两次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是两次都不中靶.故选D.2.[教材改编]下列说法错误的是（D）A.任一事件的概率总在[0，1]内 B.不可能事件的概率为0C.必然事件的概率为1 D.概率是随机的，在试验前不能确定解析任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值.3.[教材改编]若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2－a，PB=4a-5，则实数aA.（54，2） B.（54，32） C.[54，32] D.解析由题意可知0<P（A）<1，0<P（B）4.[多选]下列说法正确的是（CD）A.两个互斥事件的概率和为1B.两个事件的和事件是指两个事件都发生C.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件D.从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相等5.[教材改编]某战士射击一次，击中环数大于7的概率是0.6，击中环数是6或7或8的概率相等，且和为0.3，则该战士射击一次击中环数大于5的概率为0.8.解析记“击中6环”为事件A，“击中7环”为事件B，“击中环数大于7”为事件C，事件A，B，C彼此互斥，且易知P（A）＝0.1，P（B）＝0.1，P（C）＝0.6.记“击中环数大于5”为事件D，则P（D）＝P（A∪B∪C）＝0.1＋0.1＋0.6＝0.8.6.抛掷一枚骰子，记A事件为“出现点数是奇数”，B事件为“出现点数是3的倍数”，则P（A∪B）＝23，P（A∩B）＝16解析抛掷一枚骰子，出现点数的样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A∪B＝{1，3，5，6}，故P（A∪B）＝23；事件A∩B＝{3}，故P（A∩B）＝1研透高考明确方向命题点1事件的关系的判断例1（1）[多选]掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则（CD）A.A⊆BB.A＝BC.A∩B表示向上的点数是2D.A∪B表示向上的点数是1或2或3解析设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∩B表示向上的点数是2，A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选CD.（2）[多选]将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（BD）A.事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B.事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C.事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D.当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是1解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是13.D正确方法技巧判断事件关系的策略（1）判断事件的互斥、对立关系时一般用定义法：不可能同时发生的两个事件为互斥事件；有且仅有一个发生的两个事件为对立事件.（2）判断事件的交、并关系时，一是紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.训练1[多选]某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是（BC）A.A⊆B B.A∩B＝∅C.A∪B＝“至少一次中靶” D.A与B互为对立事件解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥事件，但不是对立事件，所以A，D错误，B正确；A∪B＝“至少一次中靶”，C正确.命题点2求随机事件的频率与概率例2[全国卷Ⅰ]某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解析（1）由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100＝0.4乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100＝（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525－5－75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40+25由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28+30比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.方法技巧求随机事件的概率的思路（1）计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数；（2）由频率公式求出频率，进而由频率估计概率.训练2[全国卷Ⅲ]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.解析（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，则需最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2+16+362+16+36+25+7+4＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25），则Y＝6×300＋2×（450－300）－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×（450－200）－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900，300，－100.当且仅当最高气温不低于20时，Y大于零，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36+25+7+490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为命题点3古典概型例3（1）[2023全国卷甲]某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（D）A.16 B.13 C.12 解析解法一由题意可知，所求概率P＝C21C21解法二记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝46＝23（2）[2022新高考卷Ⅰ]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（D）A.16 B.13 C.12 解析从7个整数中随机取2个不同的数，共有C72＝21（种）取法，取得的2个数互质的情况有{2，3}，{2，5}，{2，7}，{3，4}，{3，5}，{3，7}，{3，8}，{4，5}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{5，8}，{6，7}，{7，8}，共14种.根据古典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为1421＝2方法技巧1.求解古典概型问题的步骤（1）求出样本空间Ω包含的样本点个数n；（2）求出事件A包含的样本点个数k；（3）代入公式P（A）＝kn求解，即为事件A的概率2.求样本点个数的方法：列举法、列表法、树状图法、排列组合法.训练3（1）[2021全国卷甲]将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（C）A.13 B.25 C.23 解析解法一将4个1和2个0视为完全不同的元素，则将4个1和2个0随机排成一行有A66种排法.将4个1排成一行有A44种排法，再将2个0插空有A52种排法.所以2个0不相邻的概率解法二将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有C62种排法.将4个1排成一行，再将2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有C52种排法.所以2个0不相邻的概率P＝（2）[2022全国卷甲]从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为635解析从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C84＝70（种）.其中①所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；②所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法. 图1 图2所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝1270＝6命题点4概率的基本性质的应用例4（1）如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中圆面Ⅰ、圆环Ⅱ、圆环Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则射手命中圆环Ⅱ或圆环Ⅲ的概率为0.55，未命中靶的概率为0.10.解析设射手命中圆面Ⅰ为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，未中靶为事件D，则P（A）＝0.35，P（B）＝0.30，P（C）＝0.25，事件A，B，C两两互斥，故射手命中圆环Ⅱ或圆环Ⅲ的概率为P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.30＋0.25＝0.55，射手命中靶的概率为P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和未中靶是对立事件，所以未命中靶的