《7.2 离散型随机变量及分布列》考点讲解与专题训练

《7.2离散型随机变量及分布列》考点讲解【思维导图】【常见考点】考法一随机变量及离散型随机变量【例1】（1）下列变量中，不是随机变量的是（）A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两颗骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数（2）．下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A．掷5次硬币正面向上的次数MB．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YC．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TD．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X【一隅三反】1．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是()A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数2．抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,则“ξ>4”表示试验的结果为()A．第一枚为5点,第二枚为1点B．第一枚大于4点,第二枚也大于4点C．第一枚为6点,第二枚为1点D．第一枚为4点,第二枚为1点3．甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（）A．甲赢三局B．甲赢一局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次4．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数5.下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．①某宾馆每天入住的旅客数量是；②某水文站观测到一天中珠江的水位；③西部影视城一日接待游客的数量；④阅海大桥一天经过的车辆数是.考法二分布列【例2-1】若随机变量X的分布列如下所示X－1012P0.2ab0.3且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是（）A．0.4，0.1B．0.1，0.4C．0.3，0.2D．0.2，0.3【例2-2】．（某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第1次第2次第3次第4次次收费比率10.950.900.850.80若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：消费次数12345人数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列.【一隅三反】1．（多选）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的有（）A．a＝0.1B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.32．在某校举办的“知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对的概率均为，乙队中3名同学答对的概率分别是，，，且每名同学答题正确与否互不影响.用表示乙队的总得分.（1）求随机变量的分布列；（2）设事件表示“甲队得2分，乙队得1分”，求.3．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）求的分布列.考法三两点分布【例3】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【一隅三反】1．若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用描述一次试验的成功次数，则（）A．0B．C．D．2．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（）A．B．C．D．答案解析考法一随机变量及离散型随机变量【例1】（1）下列变量中，不是随机变量的是（）A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两颗骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数（2）．下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A．掷5次硬币正面向上的次数MB．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YC．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TD．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X【答案】（1）B（2）C【解析】（1）因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量.故选：B（2）在A中，掷5次硬币，正面向上的次数M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是离散型随机变量在B中，从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y可能取的值，可以按一定次序一一列出，故Y是离散型随机变量在C中，某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故T不是离散型随机变量在D中，将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是离散型随机变量故选：C【一隅三反】1．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是()A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数【答案】A【解析】抛掷一枚骰子不可能出现点，出现点为不可能事件出现点的次数不能作为随机变量本题正确选项：2．抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,则“ξ>4”表示试验的结果为()A．第一枚为5点,第二枚为1点B．第一枚大于4点,第二枚也大于4点C．第一枚为6点,第二枚为1点D．第一枚为4点,第二枚为1点【答案】C【解析】由于表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为，而只有一种情况，也即，此时第一枚为点,第二枚为点，故选C.3．甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（）A．甲赢三局B．甲赢一局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，故有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，故选：D.4．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数【答案】C【解析】根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，其中随机变量的取值，故选C.5.下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．①某宾馆每天入住的旅客数量是；②某水文站观测到一天中珠江的水位；③西部影视城一日接待游客的数量；④阅海大桥一天经过的车辆数是.【答案】②【解析】①③④中的随机变量的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．故答案为：②考法二分布列【例2-1】若随机变量X的分布列如下所示X－1012P0.2ab0.3且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是（）A．0.4，0.1B．0.1，0.4C．0.3，0.2D．0.2，0.3【答案】B【解析】由随机变量X的分布列得：，所以，又因为，解得，所以，故选：B【例2-2】．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第1次第2次第3次第4次次收费比率10.950.900.850.80若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：消费次数12345人数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列.【答案】（1）公司获得的平均利润为元；（2）分布列答案见解析.【解析】（1）因为第一次消费时，公司获得利润为元，第二次消费时，公司获得利润为元，所以两次消费中，公司获得的平均利润为元，（2）因为公司成本为元，所以消费一次公司获得的平均利润为元，消费两次公司获得的平均利润为元，消费三次公司获得的平均利润为元，消费四次公司获得的平均利润为元，消费五次公司获得的平均利润为元，的所有可能的取值为，，，，，，.故的分布列为50454035300.60.20.10.050.05【一隅三反】1．（多选）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的有（）A．a＝0.1B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4D．P(X≤1)＝0.3【答案】ABD【解析】因为，解得，故A正确；由分布列知,，，故BD正确，C错误.故选：ABD2．在某校举办的“知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对的概率均为，乙队中3名同学答对的概率分别是，，，且每名同学答题正确与否互不影响.用表示乙队的总得分.（1）求随机变量的分布列；（2）设事件表示“甲队得2分，乙队得1分”，求.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以随机变量的分布列为X0123P（2）设甲队得分为Y，则，，.3．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为、、，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；（2）求的分布列.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：；（2）由题意可知，随机变量的可能取值为、、、，，，，.所以，随机变量的分布列如下：考法三两点分布【例3】设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【答案】C【解析】随机变量服从两点分布，，根据两点分布概率性质可知：，解得，故选：C.【一隅三反】1．若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用描述一次试验的成功次数，则（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】据题意知，“”表示一次试验试验失败，“”表示一次试验试验成功.设一次试验失败率为，则成功率为，所以，所以，所以.故选：C.2．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，因为，所以故选：C.《7.2离散型随机变量及分布列》考点训练【题组一随机变量及离散型随机变量】1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数2．袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是（）A．B．C．D．3．下列随机变量不是离散型随机变量的是A．某景点一天的游客数ξB．某寻呼台一天内收到寻呼次数ξC．水文站观测到江水的水位数ξD．某收费站一天内通过的汽车车辆数ξ4．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是()A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C．电视机的使用寿命D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数5．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…6．下列随机变量中不是离散型随机变量的是().A．掷5次硬币正面向上的次数MB．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD．将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X7．（多选）如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（）A．X取每一个可能值的概率是正数B．X取所有可能值的概率和为1C．X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和8．（多选）如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有()A．取每一个可能值的概率都是非负数B．取所有可能值的概率之和是1C．的取值与自然数一一对应D．的取值是实数9．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张,用来买晚餐,用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果.10．一个袋中装有形状､大小均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为.（1）列表说明可能出现的结果与对应的的值；（2）若规定抽取3个球的过程中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分的可能取值，并判断是不是离散型随机变量.【题组二分布列】1．若随机变量的分布列为，则________．2．某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．（1）求的分布列；（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．【题组三两点分布】1．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（）A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量{1，取出白球；0，取出红球}D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量2．设离散型随机变量X服从两点分布，若，则_______．3．若离散型随机变量X的分布列是则常数c的值为_____.4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量描述一次试验的成功次数，则_______.答案解析【题组一随机变量及离散型随机变量】1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数【答案】B【解析】根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值0,1,2.故选：B.2．袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为“放回5个红球”表示前次摸到的都是黑球，第次摸到红球，所以.故选：C3．下列随机变量不是离散型随机变量的是A．某景点一天的游客数ξB．某寻呼台一天内收到寻呼次数ξC．水文站观测到江水的水位数ξD．某收费站一天内通过的汽车车辆数ξ【答案】C【解析】随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．对于C选项来说，由于水位数是属于实数，是一个连续的变量，不属于离散型随机变量.4．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是()A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C．电视机的使用寿命D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数【答案】C【解析】随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.5．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.6．下列随机变量中不是离散型随机变量的是().A．掷5次硬币正面向上的次数MB．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD．将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X【答案】B【解析】由随机变量的概念可知.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能一一举出，故不是离散型随机变量7．（多选）如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（）A．X取每一个可能值的概率是正数B．X取所有可能值的概率和为1C．X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【答案】BC【解析】对于A选项，X取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误.对于B选项，X取所有可能值的概率和为1，故B选项正确.对于C选项，X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确.对于D选项，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误.故选：BC8．（多选）如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有()A．取每一个可能值的概率都是非负数B．取所有可能值的概率之和是1C．的取值与自然数一一对应D．的取值是实数【答案】ABD【解析】根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.故选：ABD9．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张.他决定随机抽出两张,用来买晚餐,用X表示这两张金额之和.写出X的可能取值,并说明所取值表示的随机试验结果.【答案】【解析】X的可能取值为6,11,15,21,25,30.其中,X=6表示抽到的是1元和5元;X=11表示抽到的是1元和10元;X=15表示抽到的是5元和10元;X=21表示抽到的是1元和20元;X=25表示抽到的是5元和20元;X=30表示抽到的是10元和20元.10．一个袋中装有形状､大小均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为.（1）列表说明可能出现