线性代数练习册第四章习题及答案

..线性代数练习册第四章习题及答案篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算4-1-1、已经明白空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1?（1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的间隔．解：(1)(1,3,0),(?5,0,0),(4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特别位置：A?3,4,0?;B?0,4,3?；C?3,0,0?；D?0,?1,0?解：A(3，4，0)在xoy面上B（0，4，3）点在yoz面上C（3，0，0）在x轴上D（0，－1，0）在y轴上4-1-6.设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7.试用向量证明：假设平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已经明白AO＝OC，DO＝OB由于AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC因此ABCD为平行四边形。4-1-8.已经明白向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。3＝2324-1-9.已经明白一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4prjzAB?(7?z0)?7解得：x??2y?3z0?04-1-12.求以下向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：（1）a??2,?1,1?；（2）b??4,?2,2?；（3）c??6,?3,3?；（4）d???2,1,?1?．解：（1）a＝（2，－1，1）a?22?(?1)?122cos??22??a36cos???1?26??cos??a6a6（2）b=(4,-2,2)b?42?(?2)?2cos??2226?b3cos??26?2?b666?cos??b0???,?,b6b6b366（3）c=(6,-3,3)c?b2?(?4)?3cos??22236?3cos???33??6cos??23362?662（4）d=(-2,1,-1)d?(?2)?1?(?1)?6cos???2??63cos??16?d6cos???d0??{?,,?66d366与前三向量单位同的d??{?6,,?。3664-1-13.设向量的方向余弦满足以下条件：（1）cos??0；（2）cos??1；（3）cos??cos??0指出这些向量与直角坐标系的坐标轴或坐标平面的关系．解：(1)cos??0(2)cos??1说明向量与x轴垂直；说明向量与y轴平行；(3)cos??cos??0量的方向余弦．解：说明向量既和x轴垂直又与y轴垂直，即垂直于xoy面。4-1-14.设一向量与x轴及y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是与x轴夹角的两倍，求这向设向量的方向余弦为cos?.cos?.cos?。由已经明白?????2?，又?cos2??cos2??cos2??112即cos2??cos2??cos22??1?2cos2??(2cos2??1)2?1?cos??0或cos???111?方向余弦为{0，0，?1},{?,?,?}。222?3,a?3,b?4，求以下各值：（1）a?b；（2）b?b；（3）?a?b???a?b?；（4）(a?2b)?(3a?b)；（5）?a?a??b?b?.解：(1)a?b?abcos??3?4?cos?3(2)b?b?bbcos??4?4?1?16；22?6；(3)(a?b)?(a-b)?a?b?9?16??7；(4)(a-2b)?(3a?b)?3a2?5ab?2b2?27?30?32??35；(5)(a?a)(b?b)?9?16?144；4-2-2.试在点P?0,1,1?与Q??1,1,2?的联线上确定一点R，使点A?1,0,1?与R的联线垂直于PQ.????解：PQ???1,0,1?，设R坐标为?x,y,z?即??1,0,1???x?1,y,z?1??0?????????PQ?AR,?????????PQ?AR?1?x,y,z?1??0?R坐标为?1,y,1?。4-2-3.已经明白向量a??e1?e2,b?e1?2e2?2e3求a与b的夹角.解：a???1,1,0?cos(a?b)?b??1,?2,2?a?b?1?1?1?(?2)?0?22???ab22?3?a,b夹角为135?。4-2-4.试用向量证明三角形的余弦定理.证明：在?ABC中，建立向量如图，又c?a?b,c2??a?b??a2?b2?2ab.2c?a?b?2abcosc2224-2-5.已经明白向量a??1,0,?1?,b???1,?2,1?，求a?b.?a??1,0,-1ia?b?1j0b???1,?2,1`?k?1??2k?2i1?1?24-2-6.已经明白向量a?2e1?3e2,b?3e2?2e3，求a?b..解.a??2,3,0?b??0,3,2?ijka?b?230?6i?4j?6k032a?b?62?(?4)2?6?222、B(1,0,6)、C(4,5,-2)4-2-7.求以A(7,3,4)为顶点的三角形的面积.解：由向量积定义，知S?ABC??????????1???1????ABACsin?A?AB?AC22ijk?????????AB?AC??6?32?14i?42j?21k?3?S?ABC?2649??24-2-8.设a、b为互相垂直的单位向量，求以c?2a?3b,d?a?4b为邻边的平行四边形面积.c?dc、d为邻边的平行四边形面积，即4-2-9.已经明白向量a、b、c满足a?b?c?0，求证a?b?b?c?c?a.S?c?d??2a?3b???a?4b?2a?a?8a?b?3b?a?12b?b?a?b?11证：a?b?a???a?c???a?a?a?c?c?a4-2-10.已经明白向量a、b、c、d满足a?b?c?d,a?c?b?d,，求证向量a?d与b?c平行.?a?d???b?c??a?b?a?c?d?b?d?c?a?b?c?d?a?c?b?d?0证：故a?b与b?c共线。、B(1,2,1)、C(2,3,0)与D(5,0,6)在同一平面上.4-2-11.证明点A(2,-1,-2)证：???1,3,3???0,4,2???3,1,?4??422004????,,????18,6,?12??2?4?4331?AB?AC?AD???1,3,3????18,?6,?12??0故A、B、C、D四点共面。4-2-12.证明向量a??e1?3e2?2e3,b?2e1?3e2?4e3与c??3e1?12e2?6e3是共面的.??e1???证：a???1,3,2???e2??e??3??e1???b??2,?3,?4???e2??e??3??e1???c???3,12,6???e2??e??3???1??a?b??c?b??2??3c?故a、b、c共面。a3?3122??e1??1????4??e2??2??6??3??e3?3?3122?4?064-2-13.假设a?b?b?c?c?a?0，证明向量a、b、c共面.证：a?b?c???b?c?c?a??c???b?c??c??c?a??c?0故a、b、c共面。4-2-14.设向量a??1,0,?1?,b??2,1,0?,c??0,0,1?，计算以下各式：（1）?a?b??c；（2）?a?b???a?c?解：?1??a?b??c10?1?210?1001?2??a?b???a?c?、B（1,2,2)与C?3,?1,4?，4-2-15.四面体的三条棱从点O?0,0,0?连至点A(2,3,1)求四面体OABC的体积.解：篇二：线性代数第四章习题习题四答案(A)1．求以下矩阵的特征值与特征向量:?3??1?1??3??(1)???1?(2)?2??2?0???1???2?(4)??4?10???1??1???1?(6)?2??30???21?2130?142???2?1??0??0?2???2?(3)??2?0??4?(5)??2?1??21?2201?31???2?5??解（1）矩阵A的特征多项式为?E?A???311??3?(??2)(??4)，因此A的特征值为?1?2,?2?4．关于?1?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,1)T，因此A的属于特征值2的全部特征向量为k1?1?k1(1,1)T(k1?0为任意常数)．关于?2?4，解对应齐次线性方程组(4E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(1,?1)T，因此A的属于特征值4的全部特征向量为k2?2?k2(1,?1)T(k2?0为任意常数)．（2）矩阵A的特征多项式为??1?2?22?(??1)(??1)(??3)，?E?A??22??12??1因此A的特征值为?1??1，?2?1，?3?3．关于?1??1，解对应齐次线性方程组(?E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,?1,0)k1?1?k1(1,?1,0)TT，因此A的属于特征值-1的全部特征向量为(k1?0为任意常数)．关于?2?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(1,?1,1)k2?2?k2(1,?1,1)T，因此A的属于特征值1的全部特征向量为T(k2?0为任意常数)．关于?3?3，解对应齐次线性方程组(3E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?3?(0,1,?1)k3?3?k3(0,1,?1)TT，因此A的属于特征值3的全部特征向量为(k3?0为任意常数)．(3)矩阵A的特征多项式为??2202?(??2)(??1)(??4)，?E?A?20??12?因此A的特征值为?1?1，?2?4，?3??2．关于?1?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(2,1,?2)k1?1?k1(2,1,?2)T，因此A的属于特征值1的全部特征向量为(k1?0为任意常数)．T关于?2?4，解对应齐次线性方程组(4E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(2,?2,1)k2?2?k2(2,?2,1)TT，因此A的属于特征值4的全部特征向量为(k2?0为任意常数)．关于?3??2，解对应齐次线性方程组(?2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?3?(1,2,2)k3?3?k3(1,2,2)TT，因此A的属于特征值-2的全部特征向量为(k3?0为任意常数)．(4)矩阵A的特征多项式为??4?2?3?2?(??1)(??3)，2?E?A??21??12?因此A的特征值为?1,2?1（二重），?3?2．关于?1,2?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,2,?1)k1?1?k1(1,2,?1)TT，因此A的属于特征值1的全部特征向量为(k1?0为任意常数)．关于?3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(0,0,1)k2?2?k2(0,0,1)TT，因此A的属于特征值2的全部特征向量为(k2?0为任意常数)．(5)矩阵A的特征多项式为??4?2?11??(??2)，2?E?A?2?1??3?1?因此A的特征值为?1?0，?2,3?2（二重）．关于?1?0，解对应齐次线性方程组(0E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,?1,?2)T，因此A的属于特征值0的全部特征向量为Tk1?1?k1(1,?1,?2)(k1?0为任意常数)．关于?2,3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(1,?1,0)k2?2?k2(1,?1,0)TT，因此A的属于特征值2的全部特征向量为(k2?0为任意常数)．(6)矩阵A的特征多项式为??4?2?3?2?(??1)(??3)，2?E?A??21??12?因此A的特征值为?1?6，?2,3?2（二重）．关于?1?6，解对应齐次线性方程组(6E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?1?(1,?2,3)k1?1?k1(1,?2,3)TT，因此A的属于特征值6的全部特征向量为(k1?0为任意常数)．关于?2,3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个根底解系为?2?(1,?1,0)T，?3?(1,0,1)TT，因此A的属于特征值2的全部特征向量T为k2?2?k3?3?k2(1,?1,0)2．设A为n阶矩阵，?k3(1,0,1)(k2,k3为不全为零的任意常数)．k(1)假设A?O，且存在正整数k，使得A?O(A称为幂零矩阵)，证明:A的特征值全为零；(2)假设A满足A2?A(A称为幂等矩阵)，证明:A的特征值只能是0或1；(3)假设A满足A2?E(A称为周期矩阵)，证明:A的特征值只能是1或?1．证明：设矩阵A的特征值为?，对应的特征向量为?，即A????.（1）因Ak???k?，而Ak?O,故?k??O.又因??O，故?k?0，得??0.（2）因A2???2?，而A2?A,故???A??A2???2?，即22(???)??O.又因??O，故????0，得??0或1.（3）同（2）可得??A??A2???2?，即(?2?1)??O.又因??O，故2??1?0，得??1或?1.3．设?1,?2分别为n阶矩阵A的属于不同特征值?1和?2的特征向量，证明:?1??2不是A的特征向量．证明：反证法.假设?1??2是A的特征向量，相应的特征值为?，那么有A(?1??2)??(?1??2)，即A?1?A?2???1???2.又因?1,?2分别为矩阵A的属于特征值?1和?2的特征向量，即A?1??1?1，A?2??2?2，那么??1???2???1???2，即(???1)?1?(???2)?2?O.因?1,?2是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,故?1,?2线性无关，因此可得???1?0,???2?0，即???1??2，矛盾.4．证明定理4.4.假设?是n阶矩阵A的特征值，那么m(1)设f(x)?a0?a1x???amx，那么f(?)是f(A)的特征值，其中f(A)?a0E?a1A???amAm(m?N)；篇三：同济版线性代数第四章习题全解第四章向量组的线性相关性1．设v1?(1,1,0)T,v2?(0,1,1)T,v3?(3,4,0)T,求v1?v2及3v1?2v2?v3.解v1?v2?(1,1,0)T?(0,1,1)TTT?(1?0,1?1,0?1)?(1,0,?1)3v1?2v2?v3?3(1,?(0,1,1,0)?2(0,2)TT1,1)?(3,T4,0)TT?(3?1?2?0?3,3?1?2?1?4,3?0?2?1?0)2．设3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)其中a1?(2,5,1,3)T,TTa2?(10,1,5,10),a3?(4,1,?1,1),求a解由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得a?16(3a1?2a2?5a3)?T16[3(2,5,1,3)T?2(10,1,5,10)T?5(4,1,?1,1)]T?(1,2,3,4)3．举例说明以下各命题是错误的:(1)假设向量组a1,a2,?,am是线性相关的,那么a1可由a2,?am,线性表示.(2)假设有不全为0的数?1,?2,?,?m使?1a1????mam??1b1????mbm?0成立,那么a1,?,am线性相关,b1,?,bm亦线性相关.(3)假设只有当?1,?2,?,?m全为0时,等式?1a1????mam??1b1????mbm?0才能成立,那么a1,?,am线性无关,b1,?,bm亦线性无关.(4)假设a1,?,am线性相关,b1,?,bm亦线性相关,那么有不全为0的数,?1,?2,?,?m使?1a1????mam?0,?1b1????mbm?0同时成立.解(1)设a1?e1?(1,0,0,?,0)a2?a3???am?0满足a1,a2,?,am线性相关,但a1不能由a2,?,am,线性表示.(2)有不全为零的数?1,?2,?,?m使?1a1????mam??1b1????mbm?0原式可化为?1(a1?b1)????m(am?bm)?0取a1?e1??b1,a2?e2??b2,?,am?em??bm其中e1,?,em为单位向量,那么上式成立,而a1,?,am,b1,?,bm均线性相关(3)由?1a1????mam??1b1????mbm?0(仅当?1????m?0)?a1?b1,a2?b2,?,am?bm线性无关取a1?a2???am?0取b1,?,bm为线性无关组满足以上条件,但不能说是a1,a2,?,am线性无关的.(4)a1?(1,0)Ta2?(2,0)Tb1?(0,3)Tb2?(0,4)T?1a1??2a2?0??1??2?2?????1??2?0与题设矛盾.3?1b1??2b2?0??1???2??44．设b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明设有x1,x2,x3,x4使得x1b1?x2b2?x3b3?x4b4?0那么x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?x3(a3?a4)?x4(a4?a1)?0(x1?x4)a1?(x1?x2)a2?(x2?x3)a3?(x3?x4)a4?0(1)假设a1,a2,a3,a4线性相关,那么存在不全为零的数k1,k2,k3,k4,k1?x1?x4;k2?x1?x2;k3?x2?x3;k4?x3?x4;由k1,k2,k3,k4不全为零,知x1,x2,x3,x4不全为零,即b1,b2,b3,b4线性相关.?x1??x1(2)假设a1,a2,a3,a4线性无关,那么??x2?x?3?x4?0?1??x2?0?1??0?x3?0???x4?0?0011000111????0??0??????1??x1??x2??0?x3?x4??1011000111001?0知此齐次方程存在非零解由100那么b1,b2,b3,b4线性相关.综合得证.5．设b1?a1,b2?a1?a2,?,br?a1?a2???ar,且向量组a1,a2,?,ar线性无关,证明向量组b1,b2,?,br线性无关.证明设k1b1?k2b2???krbr?0那么(k1???kr)a1?(k2???kr)a2???(kp???kr)ap???krar?0因向量组a1,a2,?,ar线性无关,故?k1?k2???kr?0?1??k2???kr?0??0??????????????k?0?0?r?1?????01??k1??1??k2????????1??kr??0??????0??????????????0?1?1?????011?1?1?0故方程组只有零解由于0?0那么k1?k2???kr?0因此b1,b2,?,br线性无关6．利用初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大无关组:?25??75(1)?75???25319494321753542043??132?;(2)?134??48??1??0?2???11201213025?14311111???1?.?3???1?1723343??3??5??5??25??75解(1)?75???25?25r4?r3??0~?r3?r2?0??043??25?r?3r?1132?2?0?~?134r3?3r10????48?r4?r1?043??3??3??0?因此第1、2、3列构成一个最大无关组.?1??0(2)?2???112012130120025?14211??1?r?2r?1?1?3?0~??03r?r1??4???1??025201???1?，??2??0?12?2021?1?225?521???1??1???2??1r3?r2?0?~?r3?r4?0??0?20因此第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求以下向量组的秩,并求一个最大无关组:?1??9???2????????2??100???4?(1)a1??,a2??,a3??;????1102????????????44?8??????TTT(2)a1?(1,2,1,3),a2?(4,?1,?5,?6),a3?(1,?3,?4,?7).解(1)?2a1?a3?a1,a3线性相关.T?a1?T由?a2?T?a3??1?????9?????22100?4?11024??4?