等比数列的前n项和公式

案例征集《等比数列的前n项和公式》的教学设计作者：张英姿地址：望城区职业中专联系电话编：410200

《等比数列的前n项和公式》课题等比数列的前n项和公式课型新授科目数学教学对象高二年级财会专业（34人）课时1课时一、教材内容分析“等比数列的前n项和公式”是高等教育出版社“基础模块（下册）”第六章第三节第三部分的内容。主要是学习“等比数列的前n项和公式的推导及应用”。本节是在学习了数列、等差数列和等比数列定义及通项公式的基础上进行的，是这一部分知识的延续。本节知识不仅在工农业生产和经济生活中有广泛的应用，是解决理论和实际问题的数学工具，也是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时还是财经专业的学生学习《财务管理》这门知识的基础。因此，本节内容不仅在数学学科中都占据着重要的地位，也是学生学习专业知识必备的基础。二、教学目标知识与技能（1）理解等比数列前n项和公式的推导方法；（2）掌握等比数列前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题，提高分析、解决问题的能力。教材内容的分析、学生认知特征的分析及教学大纲对本节三维目标的要求。过程与方法渗透特殊到一般、分类讨论、错位相减等数学思想方法。情感态度与价值观体会数学在现实生活中的应用价值，并形成良好的数学思维品质。三、学习者特征分析学习者特征分析依据1、有利因素：学生在学习本节内容之前已经学习了数列的部分知识，具备了一定的数学思想方法，能够就接下来的问题展开思考；另外，该班学生学习数学的积极性较高，参与性较强，敢于交流与表达自己想法。2、不利因素：学生分析问题的能力还不够深刻、严谨，所以“公式的推导”对学生来说有一定的难度，是学习本节课的障碍所在。借助平时对学生认知特征的了解和分析。四、教学重点难点具体内容处理策略重点等比数列前n项和公式的应用通过设计层层深入，环环相扣的练习题目，加强学生对公式应用的灵活性和熟练性，并通过“思维拓展”环节中练习题目的设置，提高学生的建模意识，从而使学生体会到数学在生活中的应用价值。难点等比数列前n项和公式的推导采用“由特殊到一般”的方法引导学生自主学习，讨论完成公式的探究，并通过学生发言，培养学生运用数学语言交流表达的能力。五、教学策略的选择与设计根据教材的知识特点和学生的认知水平，本节课除了采用常规教学中所用的“讲练结合”外，还采用了“情境教学”及“引导发现”等教学方法和“自主探究”及“合作学习”等学习方法。在教学中教师通过创设情境，将课堂真正还给学生，让课堂因学生而精彩。另外，在教学中充分利用多媒体辅助教学，不仅增强知识的直观性和趣味性，而且可以增大这一堂课的信息容量，使学习目标得以更完美的体现。这样多种教学策略的运用不但最大限度的提高了教学效益，而且也最大限度的实现了有效学习。六、教学环境及资源准备1、学案；2、设施完备的多媒体教室；3、移动黑板4、教学课件；5、投影仪。七、课前准备对学生划分小组，并按照所划分的小组进行座次安排。每小组六人，并力求这六个同学有来自农村和城市的，学习成绩有高有低，各自的认知结构、个体经验等都存在差异。八、教学过程教学环节教学过程设计意图教学内容教师活动学生活动情境导入（约5分钟）多媒体展示“要嫁就嫁灰太狼”歌曲及“喜羊羊与灰太狼”动画故事。故事情节大致如下：慢羊羊想在羊村建一所职业学院，但资金不足。灰太狼主动提出可以“每天投资给慢羊羊100万元，共30天”，但是需要“慢羊羊第一天还1元钱，第二天还2元钱，第三天还4元钱，…依次类推，以后每天还钱数是前一天的2倍，共还30天”，而且督促慢羊羊赶紧签署合同。利用课件播放音乐及Flash动画，展示结束后引导学生思考问题：慢羊羊能不能签这个合同？为什么？要求学生分组竞赛求出“投资总钱数”与“返还总钱数”。借助学生分组竞赛结果，引出本节课题，并指出学习目标。欣赏图片及动画，感受数学问题的情境化，并凭借自己已有的经验和知识思考、讨论，从问题中抽象出相应的数学模型，并按照老师要求计算结果。明确本节课的学习目标。教师通过创设学生熟悉且有趣的故事情境，结合精心设计的问题，激发学生的求知欲和正确的学习动机，变“要我学”为“我要学”，使学生通过“火热的思考”欣赏“数学冰冷的美丽”。探究新知（约15分钟）求1+2+4+···+=？【分析】S30=1+2+4+···+（1）2S30=2+4+8+···++（2）S30=-1出示问题，借助课件启发引导学生发现规律、总结方法，向学生渗透“错位相减法”；并向学生提出问题：能否用“错位相减法”求公比为3的等比数列的前n项和？公比为4呢？公比为q呢？在教师引导下认真思考、观察，发现并总结规律，认识“错位相减法”，并理解其应用。此“和”的求法对职校学生来说，有一定的难度，所以采用了“教师引导提示——学生观察思考——师生共同分析”的方式，提高学生学习的主动性和自信心，培养学生的辩证思维能力。教学环节教学过程设计意图教学内容教师活动学生活动探究新知（约15分钟）获得新知：提出问题：设等比数列｛an｝为a1,a2,a3,…,an,…，公比为q,求此等比数列的前n项和Sn？结论：等比数列的前n项和公式：（q≠1）（q≠1）（q=1）鼓励学生由特殊到一般，自主探究新知，并巡回观察、指导学生，有针对性地选择适当的学生上台阐述自己的推导过程，最后及时进行反馈评价。引导学生对各公式中涉及到的几个量进行分析，使学生明确公式的应用，同时指出在解题时一定要根据条件灵活选择公式，另外还引导学生分析：两个公式实质上是可以借助通项公式进行相互转化的，加深了学生对公式的理解。通过“公式分为q≠1和q=1”两种情况的分析，向学生渗透“分类讨论”分析探究新知的过程，向学生渗透“特殊到一般”的思想方法。在教师引导下，由特殊到一般，在小组内讨论交流，自主探究公式，经历数学知识形成的过程，并积极上台展示、表达自己的见解，培养自己运用数学语言交流表达的能力。在教师的引导下，分析并理解各个公式应用的条件，理解其中渗透的数学思想方法，并熟记公式。教师通过特殊例子的分析，引导学生从“特殊到一般”，从“模仿到创新”，积极主动地探索、研究，从而发现结论，总结规律，成功地突破本节课的难点。而且在这一过程中不仅可以提高学生的主动参与性，变“死学”为“活学”，而且使学生体会到成功的喜悦，加深对知识的认识，完善认知结构，增强他们学习的自信心。同时通过学生上台投影展示交流，培养学生用数学语言交流表达的能力。教学环节教学过程设计意图教学内容教师活动学生活动应用强化（约15分钟）问题一：等比数列中，，求。问题二：1、等比数列中，，求。2、求数列：30,30,30，…，30的前20项和。问题三：1、写出等比数列：1,-3,9,-27…的前n项的和公式，并求出数列的前8项和。2、求出上题数列中第3项到第8项的和。课件展示题目，并引导学生分析题目中已知条件，并确定选择哪一公式。根据学生情况有针对性地选择学生上台板书，并及时反馈评价。利用课件出示题目，指导学生分组竞赛，对优胜组进行表扬，落后组进行鼓励。进一步强调在选择公式时，一定要根据条件灵活选择。有针对性地选择学生上台板书，并及时反馈评价。提问学生思路，启发学生思维，并引导学生总结方法。在教师的引导下分析题目，确定选择的公式，并在学案上完成题目，强化对公式的理解。积极上台板演，锻炼自己的勇气，提升自身素质。灵活运用公式，并提高计算速度，积极参与小组讨论，与其他小组展开竞赛。积极上台板演，展示自己思路。认真思考，训练自己思维，达到进一步巩固、灵活运用知识的目的。在此环节中，“问题一”与“问题二”是对公式的直接应用，通过直接套用公式，增强学生对公式的识记和理解，同时通过三个不同公式的应用，进一步增强学生对公式应用的灵活性。而且在此过程中通过分组竞赛，提高学生学习的积极性和团结协作的良好个性品质。通过“问题三”增强学生对数学步骤书写的规范性，培养学生良好的学习习惯，提升学生数学素养。并通过（2）题深化学生对公式的认识和理解。教学环节教学过程设计意图教学内容教师活动学生活动思维拓展（约5分钟）利用所学公式计算“慢羊羊能否签署合同。”2、慢羊羊将这一情况用一小时传给喜羊羊、暖羊羊和美羊羊，他们三个又用一小时各传给了不知这一情况的另外三只羊羊，…请问如此继续下去，一天时间可传遍多少只羊羊呢？提出问题，并要求学生在各组内展开竞赛，以提高学生的计算速度，并借助此题向学生强调数学的重要性。借助课件出示题目，要求学生从这一故事情境中抽象出数学问题，并引导学生体会数学与生活的联系。认真计算，并比较两个钱数的大小，体会数学在市场经济中的重要性。认真思考，从故事情境中抽象出数学问题，体会数学与生活的联系。通过（1）题，使学生意识到实际问题的解决离不开数学，在市场经济中必须有敏锐的头脑才行，否则会吃大亏。通过（2）题，使学生认识到数学与生活的联系，体会数学在现实生活中的应用价值，感受数学的奇妙，从而形成良好的数学思维品质。升华延伸（约5分钟）知识性内容：等比数列的前n项和公式。数学思想方法：分类讨论法错位相减法特殊到一般法引导学生结合板书进行小结，并提出希望将本节所学知识和方法应用到以后的学习和生活中。结合板书进行小结。进一步使学生巩固所学内容，培养学生的归纳和概括能力，进一步完成认知目标和素质目标。一、巩固性作业：1、根据下列条件，求相应等比数列｛an｝中的Sn。（1）a1=1,q=2,n=5（2）a1=3,q=,an=42、已知等比数列｛an｝教师出示作业学生明确作业内容。“巩固性作业”是对公式的进一步应用，其中第二小题是为了下节课的练习做好铺垫。教学环节教学过程设计意图教学内容教师活动学生活动升华延伸（约5分钟）的公比为2，S4=1，求S8。二、拓展性作业：1、阅读“国际象棋与麦粒”的故事，完成以下问题：（1）国王应该给大臣多少粒麦子？（2）国王能兑现他的承诺吗？国王如何做才能让自己避免尴尬？2、上网搜索与等比数列前n项和公式相关的实际问题，并尝试着用所学知识进行解决。利用课件出示作业，并简单说明“拓展性作业”的内容。明确作业内容。通过“拓展性作业”是使学生再次感受数学的奇妙，体会到生活中处处充满着数学，数学又时时为生活而服务。板书设计项和公式等比数列的前n（q≠1）错位相减法项和公式等比数列的前n（q≠1）分类讨论法（q=1）特殊到一般这一板书简单明了，可以有效地呈现本节课的学习内