2024届四川绵阳南山中学高三第三次诊断性考试(理数)

·PAGE1·保密★启用前南山中学2024级绵阳三诊模拟测试数学试题(理科)命题:李庆普胡小益审题:王正良贺松林考生注意：本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部，总分值150分，考试时间120分钟.所有试题均在答题卡上作答.其中，选择题用2B铅笔填涂，其余题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率〔k=0，1，2，…，n〕球的外表积公式，其中R表示球的半径球的体积公式，其中R表示球的半径第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合，，那么〔〕A．B．C．D．2.设〔其中〕，那么的值为〔〕A.B.C.D.3.为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，那么“〞是“点在第四象限〞的()A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设l、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是〔〕A.假设l∥m，l∥，那么m∥B.假设⊥，l∥，那么l⊥C.假设l⊥，⊥，那么l∥D.假设l⊥m，l⊥且m⊥，那么⊥5.为等比数列,是它的前项和.假设,且与的等差中项为,那么等于〔〕A.35B.33C.31D.296.函数的图像关于直线对称，它的最小正周期为，那么函数图像的一个对称中心是〔〕7.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，那么y＝f(x)的图像可能是()8.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2千克、B原料4千克，生产乙产品每件需用A原料3千克、B原料2千克.A原料每日供应量限额为60千克，B原料每日供应量限额为80千克.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，那么合理安排生产可使每日获得的利润最大为〔〕A．500元B．700元C．400元D．650元9.有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，那么不同的站法共有〔〕A．66种B．60种C．36种D．24种10.设点是椭圆〔〕上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心,假设，那么该椭圆的离心率是〔〕A.B.C.D.11.关于x的不等式在上恒成立,那么实数k的取值范围为〔〕A．B．C．D．12.都是定义在R上的函数,,且且，，对于有穷数列，任取正整数，那么前项和大于的概率是〔〕A．B．C．D．第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕．13.的展开式中各项系数之和为128.那么展开式中的系数为〔用数字作答〕14.点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，在圆上，那么的最小值为.15.一个四面体ABCD的所有棱的长度都为，四个顶点A、B、C、D在同一球面上，那么A、B两点的球面距离为.16.数列：，时具有性质对任意的，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：①数列具有性质；②数列具有性质；③数列具有性质，那么；④假设数列具有性质，那么.其中真命题的序号为__________.(所有正确命题的序号都写上)三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共74分〕．17.〔此题总分值12分〕函数.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)记的三内角A、B、C所对的边长分别为、、,假设，的面积,，求的值.18.〔此题总分值12分〕QQ先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，方案从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼〔每条鱼被抓到的概率相同〕并吃掉．假设黑鱼未被抓出,那么它每晚要吃掉1条青鱼〔规定青鱼不吃鱼〕．〔1〕求这7条鱼中至少有6条被QQ先生吃掉的概率；〔2〕以表示这7条鱼中被QQ先生吃掉的鱼的条数，求的分布列及其数学期望．19.〔此题总分值12分〕如以下列图，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交、于点、，作//，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如以下列图的三棱柱．〔1〕求证：平面；〔2〕求四棱锥的体积；〔3〕求二面角的大小．20.〔此题总分值12分〕数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．〔1〕求数列的通项公式和；〔2〕是否存在正整数，使得成等比数列？假设存在，求出所有的值；假设不存在,请说明理由．21.〔此题总分值12分〕双曲线：的离心率为，左、右焦点分别为、，在双曲线上有一点，使，且的面积为．〔1〕求双曲线的方程；〔2〕过点的动直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点、，在线段上取异于、的点，满足．证明：点总在某定直线上．22.〔此题总分值14分〕函数．〔1〕假设函数在区间〔其中〕上存在极值，求实数的取值范围；〔2〕如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；〔3〕求证．

南山中学高2024级四月月考(理)数学试题参考答案及评分标准命题:李庆普胡小益审题:贺松林王正良一、选择题：CBADCBBDCAAD12.由单调递减，又，故，所以由，得是首项为，公比为的等比数列，其前项和，所以，二、填空题：13、2114、415、16、②三、解答题：17.解(1)的单调递增区间为:………………..6(必须写出,否那么扣1分(2)8分18.解：〔Ⅰ〕设先生能吃到的鱼的条数为先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，……………2分先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，……4分故先生至少吃掉6条鱼的概率是……6分〔Ⅱ〕先生能吃到的鱼的条数可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天先生吃掉黑鱼,其概率为………8分………10分所以的分布列为(必须写出分布列,否那么扣1分)4567P……11分故，所求期望值为5.…1219.解．〔1〕证明：在正方形中，因为，所以三棱柱的底面三角形的边．因为，，所以，所以．2分因为四边形为正方形，是矩形，所以，而，所以平面．4分〔2〕解：因为平面，所以为四棱锥的高．5分因为四边形为直角梯形，且，，所以梯形的面积为．7分所以四棱锥的体积．8分〔3〕建系如以下列图坐标系，那么A〔0,0,3〕,P〔0,3,0〕,Q〔4,7,0〕，设与的夹角为，10分11分12分20.解〔1〕〔法一〕在中，令，，得即解得，,2分．3分4分5分6分以下解法，请参考上述评分标准合理给分〔法二〕是等差数列，．由，得，又，，那么．(求法同法一)〔2〕，假设成等比数列，那么，即．法一:由，可得8分即，．10分又，且，所以，此时．因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．………12分〔法二〕因为，故，即，，〔以下同上〕．21.〔1〕解：∵双曲线的离心率为，∴．即①1分∵，且的面积为1．∴，即．2分∵，∴．∴．∴，∴．②4分将②代入①，得．∴双曲线的方程为．5分〔2〕又设直线的倾斜角为，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，那么，，，，6分∵，∴〔3-〕〔〕＝，即.③8分设直线的方程为，④将④代入＝1中整理，得〔1-3.依题意，是上述方程的两个根，且，∴⑤10分将⑤代入③整理，得.⑥11分由④、⑥消去得，这就是点所在的直线方程.∴点〔〕总在定直线上.12分以下解法，请参考上述评分标准合理给分。解法2：设点，的坐标分别为，，，∵，∴，即，即.以下同解法1.解法3：设点的坐标分别为，由题设知均不为零，记PBAPBAQxy∵过点的直线与双曲线的左、右两支相交于两点，，∴且．∵四点共线，∴．即∴③由③消去，得.以下同解法1.解法4：设点的坐标分别为，由题设知均不为零，记．∵过点的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，∴且．∵四点共线，设，那么．即∴∵点，在双曲线上，∴，其中．∴是方程的两个根.即是方程的两个根．∵，且，∴，即．∴点总在定直线上．2