简明工程力学 课件 第1-3章 静力学基本概念和物体的受力分析、平面力系、空间力系

工程力学工程力学理论力学材料力学机械运动：是物体在空间的位置随时间的变化。理论力学是研究物体机械运动一般规律的一门学科。物体：指速度远小于光速的宏观物体。理论力学的研究对象

早在(公元前287~212)古希腊阿基米德著的《论比重》奠定了静力学基础。意大利的达芬奇(1452~1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。波兰的哥白尼(1473~1543)创立宇宙“日心说”。德国的开普勒(1571~1630)提出行星运动三定律。意大利的伽利略(1564~1642)自由落体定律、惯性原理及加速度的概念。

英国的牛顿(1643~1727)建立经典力学。理论力学发展史静力学：运动学：动力学：研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因。研究受力物体的运动变化与作用力之间的关系。理论力学的研究内容理论力学篇——

静力学第一章静力学基本概念和物

体的受力分析§1.1静力学基本概念

静力学研究物体在力系作用下的平衡规律。何谓平衡？何谓力系？力系分类：按力的作用线分布：平面力系和空间力系；按力的作用线关系：汇交力系、平行力系和任意力系。理想化的力学模型。由于静力学研究的力学模型是刚体和刚体系统，故静力学又称刚体静力学。1.刚体的概念何谓刚体？

力是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化，同时使物体的形状发生改变。外效应或运动效应；内效应或变形效应。

接触否？2.力的概念

力的三要素？单位？力的矢量表示。ABF何为矢量？仅有大小和方向？静力学研究的问题1）物体的受力分析2）力系的等效替换（力系的简化）3）建立各种力系的平衡条件§1.2静力学公理及推论

公理1二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：这两个力大小相等、方向相反、沿同一条直线。此公理提供了一种最简单的平衡力系。只受两个力作用而平衡的构件，叫二力构件或二力杆。FF'AB

公理2加减平衡力系公理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

作用在刚体上的力可沿其作用线任意移动，而不改变该力对刚体的作用。

推论1力的可传性原理AFBABFF1F2ABF2==作用于刚体上的力的三要素，滑动矢量

公理3力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，或者说，合力矢等于这两个力矢的矢量和，表示为：AF1FRF2

推论2三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。说明：该定理是不平行三力平衡的必要条件，即：三力平衡必汇交。三力汇交不一定平衡。F1F2ABCF3F12平衡时必与共线，则三力必汇交于O点，且共面。

公理4作用与反作用定律两物体间相互作用的作用力和反作用力总是同时存在，大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在这两个物体上。

它是受力分析必须遵循的原则。ABBAFB′FBFA′FA

公理5刚化公理柔性体（受拉力平衡）刚化为刚体（仍平衡）

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。它建立了刚体力学与变形体力学的联系。反之不一定成立。刚体（受压平衡）柔性体（受压不能平衡）§1.3约束和约束力自由体——位移不受限制的物体。非自由体——位移受到限制而不能作任意运动的物体。

约束——对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。

约束力——约束作用于非自由体的力。(简称：反力、支反力)

除约束力外，非自由体上所受到的所有促使物体运动或有运动趋势的力，称为主动力。约束力是由主动力引起的，故它是一种被动力。

约束力取决于约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。约束力阻止物体运动的作用是通过约束与物体相互接触来实现的，因此它的作用点在相互接触处；它的方向必与该约束所能阻碍的位移方向相反。约束力为拉力，作用线沿柔索背离物体。1.柔性约束约束力沿接触面公法线方向指向物体。2.光滑接触约束FN法线切线FN3.光滑铰链约束(1)连接铰链

约束力过销中心，大小和方向不能确定，通常用正交的两个分力表示。FxFyFN

约束力过销中心，方向不能确定，通常用正交的两个分力表示。(2)固定铰支座FRFxFy（3）滚动铰支座Fy(1)向心轴承(径向轴承)4.其它约束FByFBxFBz(2)止推轴承B(3)球铰链固定端接触面FAyFSAFNAFSAFNAMA柔性FAx若光滑，FSA=0AA约束类型固定铰链支座FNAFAx可动铰链支座连接铰链FAxFAyFAyAAA

解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即确定研究对象；然后考查和分析它的受力情况，这个过程称为进行受力分析。

分离体——把研究对象解除约束，从周围物体中分离出来，画出简图。

受力图——将分离体所受的主动力和约束力以力矢表示在分离体上所得到的图形。§1.4物体的受力分析和受力图

解除约束原理：当受约束的物体在某些主动力的作用下处于平衡，若将其部分或全部约束解除，代之以相应的约束力，则物体的平衡不受影响。1、确定研究对象，取分离体；2、先画主动力，再明确研究对象所受周围的约束，进一步明确约束类型，画对应约束力；3、必要时需用二力平衡共线、三力平衡汇交、作用与反作用等条件确定某些反力的指向或作用线的方位。注意：(1)受力图只画研究对象的简图和所受的全部力；(2)每画一力都要有依据，不多不漏；(3)不要画错力的方向，反力要和约束性质相符，物体间的相互约束力要符合作用与反作用公理。受力分析的步骤例1-1：用力F

拉动碾子，遇到障碍A。画碾子的受力图。FPBABAPFFAFB例1-2：如图所示结构，画AD、BC的受力图。DCBAPFAyFAxACDF'CPF'CDCAPFABCFBFC例1-3梯子如图所示。画出下列各研究对象的受力图：（1）绳子DE；（2）AB杆；（3）AC杆；（4）

整体。DECBAEDBADCAE说明：三力平衡必汇交当三力平行时，在无限远处汇交，它是一种特殊情况。例1-4画出下列各构件的受力图。例1-5画出滑轮、CD杆、AB杆和整体受力图。TTWABCD1、研究滑轮2、研究CD杆ABC3、研究AB杆4、研究整体WABCDTTWTCBA研究整体时，不画物体间的内力。工程力学第二章平面力系平面力系：各力的作用线处于同一平面内的力系。平面汇交力系：各力的作用线处于同一平面内且汇交于一点的力系。§2.1

平面汇交力系1.平面汇交力系合成与平衡的几何法AF1FRF2AF1FRF2F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeFR1FR2力多边形法则F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。用矢量式表示为：如果一力与某一力系等效，则此力称为该力系的合力。

在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。平面汇交力系平衡的几何条件

平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示为：例2-1已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。①选碾子为研究对象②取分离体画受力图解：∵当碾子刚离地面时FNA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力FB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN,FB=23.1kN所以又由几何关系：2.平面汇交力系合成与平衡的解析法力在坐标轴上的投影FxyFxFyabO力的正交分解与力的解析表达式FFxFyxyijO合力投影定理

平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。平面汇交力系合成的解析法合力的大小：方向:

作用点:力的汇交点平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。平面汇交力系平衡条件：由得例2-2已知P=2kN，求FCD,FA解:1)取AB杆为研究对象2)画AB的受力图3)列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：4)解方程§2.2力矩和平面力偶理论MO(F)OhrFAB1.力对点之矩（力矩）力F与点O位于同一平面内，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。

力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。力矩的单位常用N·m或kN·m。2.合力矩定理与力矩的解析表达式平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对该点之矩的代数和。1）合力矩定理即

FFxFyxyOqxyA2）力矩的解析表达式例2-3求：解：由合力矩定理得已知：q,l；合力及合力作用线位置。取微元如图3.平面力偶与力偶矩

由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记为(F,F')。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。

力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。1）力偶d

力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：

(1)力偶矩的大小；

(2)力偶在作用面内的转向。2）力偶矩

平面力偶可视为代数量，以M或M(F,F')表示:

平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。力偶的单位与力矩相同。4.平面力偶的等效定理定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。推论：任一力偶可以在它的作用面内任意移动转动，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度常用如图所示的符号表示力偶，M为力偶的矩力偶与力偶矩的性质1)力偶在任意坐标轴上的投影等于零。力矩的符号2)力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。力偶矩的符号M3)只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移动转动，且可以同时改变力的大小与力臂的长短，而对刚体的作用效果不变。==4)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。==M1(F1,F'1)，M2(F2,F'2)

在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。5.平面力偶系的合成和平衡条件已知任选一段距离d,使得所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即思考题1刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？F1F3BACDF2F4思考题2从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？PORMFO例2-4不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用，转向如图。问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?60o60oABCDM1M2解:取杆AB为研究对象画受力图。

杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A处约束力的方位可定。ABCM1FAFC

Mi=0FA=FC=F,AC=aFa-M1=0M1=Fa(1)60o60oABCDM1M2取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定,则D点约束力方位亦可确定，画受力图。60o60oDM2BCAFDFC

FD=FC

Mi=0-0.5Fa+M2=0M2=0.5Fa(2)联立(1)(2)两式得:M1/M2=260o60oABCDM1M2例2-5图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车为P=20kN，求：导轨对A、B轮的约束力。解:

Mi=0；FA·400–P·60=0；

得：FA=3kN，FB=FA。PFFBFAP60cm400cmFAB力偶仅能被力偶平衡例2-6图示结构，已知M=800N·m，求A、C两点的约束力。§2.3

平面任意力系的简化1.力线平移定理

可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。ABMABF′F′F″FABF＝＝AB①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶②力平移的条件是附加一个力偶M，且M=F·d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。说明：力线平移定理的逆定理(一个力和一个力偶合成为一个力):将力矢量逆着力偶转向旋转90°，量取

，即得到该力的作用线。ABMF′F＝dOxyijOOxyF1F2FnF1′F2′Fn′MnM2M1MOFR′2.平面任意力系向一点简化，主矢与主矩平面汇交力系

力，FR′

(主矢，作用在简化中心)平面力偶系

力偶，MO(主矩，作用在该平面上)平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合成结果为1)平面任意力系向一点简化·主矢与主矩

平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。2)主矢与主矩

原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O

。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。3.平面任意力系简化结果分析四种情况：(1)F′R=0，MO≠0;(2)F′R

≠0，MO=0;(3)F′R≠0，MO≠0;(4)F′R=0，MO=0(1)平面任意力系简化为一个力偶

平面力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。

F′R=0，MO≠0

如果主矩等于零，主矢不等于零，则平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。(2)

平面任意力系简化为一个合力

F′R≠0，MO=0如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一合力。如图OO′FR′dFR″FRFRMOFR′OO′dOO′(3)平面任意力系简化为一个合力

F′R≠0，MO≠0如果主矢和主矩均等于零，此时平面任意力系平衡。(4)

平面任意力系平衡

F’R=0，MO=0主矢主矩最后结果说明合力合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关合力作用线距简化中心结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定理。FRdOO′从图中可以看出所以由主矩的定义知：AAA

一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。4.平面固定端约束AMAFAyFAxFAMA简化中心：A点主矢思考：三角形分布载荷处理？主矩简化最终结果yxMAdxl

分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。5.平行分布线荷载的简化结论：1)合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积;2)合力的方向与线荷载的方向相同;3)合力的作用线通过荷载图的形心。1)均布荷载2)三角形荷载3)梯形荷载l/2l/2qQQqq2q1可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加。§2.4

平面任意力系的平衡条件和平衡方程1.平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即：由于可得平面任意力系的平衡方程(1)一般式2.平衡方程平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。(2)二矩式其中AB连线不垂直于投影轴x。平衡过A点的合力合力为0(平衡)合力沿AB连线合力为0(平衡)合力垂直x轴力系不可能简化为一力偶或或或(3)三矩式其中A、B、C三点不共线。平衡过A点的合力合力为0(平衡)合力沿AB连线合力为0(平衡)合力沿ABC连线力系不可能简化为一力偶或或或平面任意力系的平衡方程(1)一般式(2)二矩式(3)三矩式注意：

以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数；投影轴应选在与尽可能多的未知力垂直的方向上；矩心应选在尽可能多的未知力的交点上。解：以刚架为研究对象，受力如图。解之得：例2-7求图示刚架的约束力。APqFAyFAxMAAPabq例2-8求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：ABCPqmFBFAyFAxABCPabqm例2-9悬臂吊车如图所示。横梁AB长l=2.5m，重量P=1.2kN，拉杆CB的倾角a＝30°，质量不计，载荷Q=7.5kN。求图示位置a

=2m时拉杆的拉力和铰链A的约束力。解：取横梁AB为研究对象。ABEHPQFTFAyFAxaa从(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出

支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图所示。已知杆AC=CB；杆DC与水平线成45°；载荷F=10kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。ABDCF例2-10

1）取AB杆为研究对象，受力分析如图。ABDCFFFCFAyFAxllABC2）列平衡方程。解：3）求解平衡方程可得若将力FAx和FAy合成，得FFCFAyFAxllABC

外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m。试求铰支座A及支座B的约束力。F1ABl2l1llF2M例2-111)取梁为研究对象，受力分析如图。3)解方程。FAxABxyFAyF1FByF2M解：2)列平衡方程。F1ABl2l1llF2M

三铰拱桥如图所示，左右两段由铰链C连接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每段重G=40kN，重心分别在D，E处，且桥面受一集中载荷F=10kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。ABCDEGF3mG1m6m6m6m例2-12AC1)取AC段为研究对象。解：2)受力分析如图。DFCxGFAxFAyFCyABCDEGF3mG1m6m6m6m3)列平衡方程。4)再取BC段为研究对象，受力分析如图。ACDFCxGFAxFAyFCyGF′CxFBxFByCEBFF′Cy6)联立求解。

FAx=-FBx=FCx=9.2kN

FAy=42.5kN，FBy=47.5kN，FCy=2.5kN5)列平衡方程。GF′CxFBxFByCEBPF′CyF

自重为G=100kN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图所示，其中M=20kN·m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端A的约束力。ADl

l3lqBMFG例2-131)取T字形刚架为研究对象，受力分析如图。ADBllF1FAxFAyMAlMFGyx解：ADl

l3lqBMFG2)按图示坐标，列写平衡方程。3)联立求解。ADBllF1FAxFAyMAlMFGyx

由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。

当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。

因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。§2.5物系的平衡

在静力学中,求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目等于独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为超静定问题或静不定问题。总未知量数与总独立平衡方程数之差称为超静定次数。

超静定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移协调条件来求解。静定（未知数三个）超静定（未知数四个）

组合梁AC和CE用铰链C相连，A端为固定端，E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：l=8m，F=5kN，均布载荷集度q=2.5kN/m，力偶矩的大小M=5kN·m，试求固端A，铰链C和支座E的约束力。l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4例2-14CE1）取CE段为研究对象。解：2）受力分析如图。4）联立求解。FE=2.5kN，FC=2.5kN3）列平衡方程。l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4F1M3l/8Il/8FCFE6）列平衡方程。7）联立求解。FA=15kN，MA=-2.5kNMAF2l/4JAFCHl/8l/8FA5）取AC段为研究对象，受力分析如图。

两根铅直杆AB、CD与水平杆BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l=2m，受力情况如图所示。已知水平力F=6kN，M=4kN·m，q=3kN/m。求固定端A及铰链C的约束力。MBCFByFBxFCxFCy解:1)取BC分析求得结果为负说明与假设方向相反。例2-15ABCDF2l/3l/2Mq02)取CD分析FCDF'CxF'CyFDxFDy求得结果为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2Mq0Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA3)取AB、BC分析求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2Mq0工程力学§3.1

力在空间直角坐标轴上的投影1.投影第三章空间力系若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直接投影法xyzagbFcabOyxzFFxFyFzFxyjg

当力与坐标轴x，y间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x，y轴上，这叫间接投影法。已知：F

夹角j,g,求：Fx

,Fy

,Fz

.

Fxy=FsingO1)合成将平面汇交力系合成结果推广得：合力的大小和方向为：2空间汇交力系的合成与平衡或2)平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：

该力系的合力等于零。由以解析式表示为：亦即：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。例3-1重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，已知P=1000N，CE=ED=12cm，EA=24cm，b=45°，不计杆重，求绳索的拉力和杆所受的力。解：以A为研究对象，受力如图。由几何关系：解得：1.空间力偶的矢量表示§3.2空间力偶zxyOF′FzxyOFF′zxyOFF′

由以上分析可知：空间力偶的作用效果取决于力偶矩的大小、力偶转向和作用面方位。可用一矢量M表示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指向按右手螺旋法则表示力偶的转向；M的作用线与力偶作用面的法线方位相同。

M称为力偶矩矢。力偶矩矢为一自由矢量。

空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。FMF'力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。

空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：2.空间力偶系的合成与平衡根据合矢量投影定理：于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：空间力偶系的合成

空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：因为：所以：上式即为空间力偶系的平衡方程。空间力偶系的平衡求:轴承A,B处的约束力。例3-2已知：两圆盘半径均为200mm，AB=800mm，圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计。解：取整体，受力图如图所示.§3.3力对点之矩和力对轴之矩1.力对点之矩以矢量表示——力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB

空间力对点之矩的作用效果取决于：力矩的大小、转向和力矩作用面方位。这三个因素可用一个矢量MO(F)表示。

其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面内的转向(符合右手螺旋法则)；方位表示力矩作用面的法线。

由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处，是定位矢量。以r表示力作用点A的矢径，则以矩心O为原点建立坐标系，则xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力F对z轴之矩定义为：力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点的矩。2.力对轴之矩xyzOFFxyhBAab符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。

由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴之矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对轴的矩不变。力对轴之矩实例