小学奥数-寒假四年级（寒假共7讲）- 第7讲 操作类智巧趣题

操作类智巧趣题

知识GPS

＞本讲内容

过河问题；倒水问题；称重问题

＞前铺知识

最值问题初步——四年级秋季

必胜策略——四年级寒假

模块1过河问题

抽屉原理初步——四年级春季

四年级寒假第7讲操作类智巧趣题（C版）

天使的数量不能少于魔鬼，否则会被魔鬼吃掉，请问他们应该如何过河？

【分析】设天使为A,魔鬼为B,过河方式如下:

2A2B

2A2B<—』一IB

3AIB

3A<XB2B

\A\B—2B

\AIB<lAlB\A\B

2B—况^\A\B

2B<一」£一.3A

IB34

\B<lg3A18

—空■玲3A\B

有一条河，河面上排着7块石头，青蛙们可以跳着石头过河.有一天三只从左岸去右岸的青蛙，和三只

从右岸去左岸的蟾蛛相遇了，如下图所示.已知：

（1）一块石头只能停一只动物；

（2）青蛙不能往左走，蟾蛛不能往右走；

（3）动物的走法只能是往目标方向跳到相邻的空石头上，或者隔着一只动物跳到空石头上.

那么它们应该如何过河？

【答案】从左到右标号1~7,按顺序的步数：3-4（3号动物跳到4号），5-3,6-5,4-6,2-4,1-2,3-1,5-3,

7-5,6-7,4-6,2-4,3-2,5-3,4-5

四年级寒假第7讲操作类智巧趣题（C版）

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模块2倒水问题

______________________________________________________________________

有大、中、小3个瓶子，最多可分别装入水100克、70克和30克.现在大瓶中装满水，希望在中瓶和

小瓶上都能标出装10克水的刻度线，你能做到吗？

【答案】

大瓶100303060609090

中瓶070404010100

小瓶0030030010

............................................................................

卖牛奶的人有两桶10升装的牛奶.两个顾客各带容器去买2升牛奶.一个带的是5升的容器，另一个

带的是4升的容器.这位卖牛奶的人应如何解决问题？

【答案】

10升105599448810

10升101010101010101066

5升0511052222

4升0040114042

............................................................................

艾迪去河边打水，他有两个桶，大桶能装9升水，小桶能装4升水.要想恰好从河中打6升水带回去,

他该怎么办？

【分析】答案不唯一，给出下面一种解法：

大桶9511096

小桶0440114

某人有12升啤酒一瓶，想从中倒出6升.但是他没有6升的容器，只有一个8升的容器和一个5升的

容器.怎样的倒法才能让他恰好倒出6升啤酒？

模块3称重问题

（1）3枚金币外观完全相同，其中有两枚真币和一枚伪币，伪币比真币轻（真币一样重）.现有一架托

盘天平，至少需要称几次才能保证找出伪币？

（2）8枚金币外观完全相同，其中有七枚真币和一枚伪币，伪币比真币轻（真币一样重）.现有一架托

盘天平，至少需要称几次才能保证找出伪币？

（3）13枚金币外观完全相同，其中有十二枚真币和一枚伪币，伪币比真币轻（真币一样重）.现有一架

托盘天平，至少需要称几次才能保证找出伪币？

【答案】（1）1次；（2）2次；（3）3次

【分析】（1）把其中两枚放在天平的两端，如果平衡，则第三枚是伪币，如果不平衡，则轻的那枚是伪币.

（2）金币编号1~8,将金币分为三组：（1,2,3）（4,5,6）（7,8）.

第一次称（1,2,3）和（4,5,6）,如果平衡，伪币在（7,8）中，再称一次即可找到；如果不

平衡，则伪币在比较轻的那一组，再称一次即可.

（3）金币编号1~13,将金币分成三组：（1~4）（5~8）（9~13）.

第一次称（1~4）和（5~8）,如果平衡，伪币在（9~13）中，第二次称（9,10）（II,12）,平衡

则13为伪币，不平衡再称一次，轻的为伪币；

如果（1~4）和（5-8）不平衡，不妨设（1~4）轻，则伪币在1~4中，第二次称（1,2）（3,4）,

伪币在轻的一组，再称一次即可.

综上，至少需称3次.

总结：在真伪币谁轻谁重已知的情况下，若3"〈金币个数43"”，至少需称”+1次.

O四年级寒假第7讲操作类智巧趣题（C版）

(1)有3枚金币，外观完全相同，其中2枚真币和1枚假币，假币和真币的重量不相同，但是不知道

假币比真币轻还是重，现有一架托盘天平，至少需要称几次才能保证找出伪币？

(2)有9枚金币，其中一枚是假的，外观和真的一样，只是不知道比真币重还是轻.至少需要称几次

才能保证找出伪币？

【答案】(1)2次；(2)3次

【分析】(1)将金币编号1~3.第一次称1与2,若平衡则3为伪币：若不平衡，则伪币在1、2中，3为真

币，再称1与3,平衡则2为伪币，不平衡则1为伪币.因此至少称2次.

(2)将金币每三个一组，分为1、2,3三组；

第一次称1、2组，若平衡，则伪币在第3组中，由上题可知还需称2次；

若不平衡，不妨设第1组轻.第二次称1、3组，若平衡，则伪币在第2组中，且伪币重，再称1次即

可；若不平衡，则伪币在第1组中，第1组轻(重)则伪币轻(重)，再称1次即可.

综上，至少称3次.

拓展10：

有12枚金币，其中一枚是假的，外观和真的一样，只是不知道比真币重还是轻.至少需要称几次才能

保证找出伪币？

【答案】3次

【分析】金币编号1~12,每4枚一组分为三组：(1,2,3,4)(5,6,7,8)(9,10,11,12).

第一次，称前两组：

若平衡，则伪币在第3组中：第二次称(1,2,3)与(9,10,11),若平衡，则12号为伪币，若不平

衡，伪币在(9,10,11)中，(9,10,II)轻(重)则伪币轻(:重)，再称一次即可；

若不平衡，不妨设第1组轻.第二次称(5,6,7,4)与(9,10,11,8)(第一组拿走3枚，替换为第

2组任意三枚，再将第3组任意三枚金币补到第2组)，第3组9~12均为真币；

令若平衡，由于只有一枚伪币，所以4~8均为真，伪币在(1,2,3)中，且伪币轻，再称一次即可：

令若(5,6,7,4)轻，分析可知伪币只能在4或8中，其余均为真币，第三次称4号与12号，平衡

则8号为伪币，不平衡则4号为伪币；

令若(5,6,7,4)重，分析可知伪币只能在(5,6,7)中，且伪币重，再称一次即可.

有五枚金币，其中一枚是假的，外观和真的一样，只是不知道比真币重还是轻.至少需要称几次才能确定伪

币比真币轻还是重？

【答案】2次

【分析】编号1~5,分为三组(1,2)(3,4)(5)

先称(1,2)(3,4),若平衡，则5号为伪币，取一枚真币与之称重即可判断；

若不平衡，取较轻的一组，将两枚金币分别放在天平两边：

(“)若平衡，则较轻的一组都是真币，那么伪币就比真币重，

(b)若不平衡，则较轻的一组中有一枚伪币，伪币比真币轻.

综上需要称2次.

知识点睛

1.过河问题中，受限制最多的元素需要优先考虑.

2.在已知真伪币谁轻谁重的情况下（真币重量均相同），若3"〈金币个数43"”，则至少需称〃+1次

可以找出伪币.

3.无论是否知晓真伪币谁轻谁重，均可将金币分为尽量平均的三组，称其中个数相同的两组.

拓展练习

1.☆☆有甲乙丙三只大老虎，带着甲乙丙三只小老虎过河。河上只有一条船，每次只能载两只老虎，不分

大小。（三只小老虎不能和自己母亲以外的大老虎单独呆在一起，否则会被其它的大老虎吃掉）问它们

要怎么平安地过河？

【答案】首先，甲乙两只小老虎先过河；然后随便回来一只，带着丙小老虎过河；再随便回来一只，如果丙

小老虎回来，就甲乙大老虎过去；这时，变成河对岸是甲乙两大两小四只老虎，这头是丙大小两只老虎。

然后，大甲和小甲老虎再一起从河对岸回来；让大甲和大丙老虎过去；再让乙小老虎回来，随便带一只

过河：小甲和小乙老虎过去；再让大丙老虎回来，带走丙小老虎，这六只老虎就全部平安过河了，一只

都不会少

2.☆☆两个没有刻度，容积分别为7升和8升的上下径不同的大杯子，和无限多的水，如何倒出2升水？

【答案】倒满8,再用8倒满7从而得到1,清掉7,把1倒进7；再倒满8,再用8倒满7,从而剩下2.

3.☆有两个没有刻度，容积分别12升和16升的上下径不同的大杯子，和无限多的水，那么能否量出8升

的水？

【答案】能

4.☆☆☆有三个没有刻度，容积分别为10升、31升和65升的不均匀的空桶，和无限多的水，要想量出

28升水，至少需要进行多少次操作？（接水、互倒、倒水均算一次操作）

【答案】6次

【分析】31升接满，倒入65升容器：再接满，再倒入65升容器；再接满，再倒入65升容器，此时还剩28

升，因此共需6次.（31x3—65=28）

5.☆☆艾迪有300克糖，他有一架天平及两个重量分别为30克与5克的祛码，那么艾迪要想称出100克

糖，至少需要称几次？

【答案】2次

【分析】第一次用两个底码称出35克的糖，第二次用30克硅码和35克糖可称出65克糖.

6.☆☆在一批产品中有16个零件，其中有一个是次品（质量比合格产品要轻），给你一架天平，你最少

用几次天平称量就可以检验出次品零件？

【答案】3次

【分析】第一次：两边各8个，轻的8个中有次品

第二次：天平两边各3个，平衡，次品在剩下的两个中；不平衡，轻的一头有次品

第三次：第二次称量后，次品最多混在三个零件中，一边一个，不平衡的话轻的一头是次品；平衡则剩下一

个是次品.

四年级寒假第7讲操作类智巧趣题（C版）

7.☆☆☆有30盒饼干，其中29盒质量相同，还有1盒由于少放了几块就轻了些.如果能用天平称，至少

称几次才可以找出这盒饼干？

［答案］33<30<34,称4次

【分析】第一次：把30盒饼干平均分成三份每份10盒，把任意两份分别放在天平秤两边，若天平平衡，那

么在没称的10份中，若不平衡，则在较轻的10份中；

第二次：把比较轻的10盒饼干分成（3,3,4）三份，把两个三份的分别放入天平秤两边，如平衡则在没称

的4份中，如不平衡，则在轻的3份中；

第三次：如在轻的3份中，再把这3份分成（1,1,1）三份，任取两个放在天平上称，如平衡，则没称的

是次品，如不平衡，则轻的一份是次品，如次品在4份中，则把分成（2,2）两份，放在天平上称，找

出有次品的一份；

第四次：把这两个放在天平秤两边，可找出次品.

8.☆☆☆有三个没有刻度，容积分别为160升、119升和77升的空桶，和无限多的水，要想量出76升水,

至少需要进行多少次操作？（接水、互倒、倒水均算一次操作）

【答案】8次

【分析】观察160—119=41,119—77=42,所以可以先把160接满，160倒满119,119倒掉，160剩下的

41升倒进119,77升接满，77全倒进119,这样119里面已经有118;然后77接满，77倒满119即可.

9.☆☆☆有101枚硬币，其中100枚质量相同，另一枚是假币.现在不知道假币比真币重还是轻.

10.（1）利用天平，至少称凡次就可以判断假币比真币重还是轻？

11.（2）在上题的基础上，至少再称几次就能找出那枚假币？

【答案】（1）2次：（2）4次

【分析】（1）把101枚破币，分成34,34,33,三组

把两组34的放到天平上称，如天平平衡，则假币在33的一组中，从34一组的中任取一枚硬币，再放

到天平上和33的一组进行称量，若33的一组重，则假币重，若33的一组轻，则假币轻；

若天平不平衡，则33的一组全是真币，取下轻的一端的34个，分成17、17放在天平两端，如果平衡，

说明这34个是真币，之前才重的一堆中有假币，假币比真的重；如果不平衡，说明这34个中有假币，

因为这34个是轻的一堆，所以假币比真币的轻.

（2）在上题的基础上，本题转化为从34（或33）枚硬币中找出一枚假币的题，至少4次就能找出.

12.☆☆☆☆有12枚金币，其中一枚是假的，外观和真的一样，只是不知道比真币重还是轻.至少需要称

几次才能保证找出伪币？

【答案】3次

【分析】金币编号1~12,每4枚一组分为三组：（1,2,3,4）（5,6,7,8）（9,10,II,12）.

第一次，称前两组：

若平衡，则伪币在第3组中；第二次称（1,2,3）与（9,10,11）,若平衡，则12号为伪币，若不平

衡，伪币在（9,10,11）中，（9,10,11）轻（重）则伪币轻（重），再称一次即可；

若不平衡，不妨设第1组轻.第二次称（5,6,7,4）与（9,10,11,8）（第一组拿走3枚，替换为第

2组任意三枚，再将第3组任意三枚金币补到第2组），第3组9~12均为真币；

令若平衡，由于只有一枚伪币，所以4~8均为真，伪币在（1,2,3）中，且伪币轻，再称一次即可；

令若（5,6,7,4）轻，分析可知伪币只能在4或8中，其余均为真币，第三次称4号与12号，平衡

则8号为伪币，不平衡则4号为伪币；

令若（5,6,7,4）重，分析可知伪币只能在（5,6,7）中，且伪币重，再称一次即可.

本讲巩固

1.一天，蛇、老鼠和猫在穿越森林时来到了一道又深又宽的峡谷前，而峡谷的底部是一条汹涌的河流.这

时，一只老鹰飞到它们的头顶，它愿意每次带它们中的一个穿过峡谷.由于不能单独把蛇和老鼠留在一

起或者把猫和老鼠留在一起，那么老鹰如何将蛇、老鼠和猫都安全地带到峡谷的对面去呢？

【分析】首先带老鼠过河，鹰返回；再带蛇过河，带着老鼠返回；带猫过河，鹰返回，最后带老鼠过河.

2.一个猎人要带一棵红萝卜，一只狗，两只老虎和一只羊过河.可现在，小船只有3个座位，猎人每次最

多只能送两样东西过河.没有狗看管，老虎会吃羊，狗和羊单独相处就吵架，羊与红萝卜在一起，红萝

卜就遭殃.有什么妙计能帮助它们过河？

【分析】①猎人带狗和羊过去，再把狗带回来.②带萝卜和一只老虎带过去，把羊再带回来.

③把另一只老虎和狗带过去.④把羊带过去.

3.有两个没有刻度，容积分别为6升和8升的上下径不同的大杯子，和无限多的水，如何量出4升水？

【答案】6升倒满，6倒入8,6倒满，6倒入8,这样6剩下4升.

4.有两个没有刻度，容积分别为5升和8升的上下径不同的大杯子，和无限多的水，

（1）如何准确量出3升水？

（2）如何准确量出6升水？

（3）如何准确量出1升水？

（4）假设只有这两个杯子，没有更大的容器，那么可以量出哪些量的水？

（5）那么有一个无限大的容器会如何呢？

【分析】（1）3=8-5:把8升倒满，用8升把5升倒满，8升里面剩下3升；

（2）6=8-2,2=5-3:把上问中5清空，8的3升倒到5里，8接满，再用8倒满5,还剩6升；

（3）1=6-5:把上问中5清空，8的6升倒满5,还剩1升：

（4）既然能得到1,则易得1~8的所有整数升：

（5）可以量出所有的正整数升的水.

5.有一个送奶工去给两家送奶，两家各订了5升，但是送奶工走到半路才发现他只拿了一满桶10升的奶.所

幸的是他有两个容积为7升和3升的空桶，请问他有办法把奶平均分给两家吗？

【答案】要出现5,应该从7中倒走2（5=7-2）,这就要求3中有1（2=3-1）;

要出现1,从7中倒走两次3即可（1=7-3-3）.

括号里三个数分别为10升、7升、3升桶内的奶量，具体操作如下：

（10、0、0）（3、7、0）（3、4、3）（6、4、0）（6、1、3）（9、1、0）（9、0、1）

（2、7、1）（2、5、3）（5、5、0）,此处10相当于水源，从而转化为双桶问题.

6.27枚金币外观完全相同，其中只有一枚伪币，伪币比真币轻（真币一样重）.现有一架托盘天平，你能

至少称几次保证找出伪币？

【答案】3次

【分析】先分成3组，9个为一组，称一次可知在哪个组；将这9个分为3组，每组3个，称一次可知在哪

个组，再称一次即可知道哪个是伪币.

四年级寒假第7讲操作类智巧趣题（C版）

7.有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻一克，为了找出这两个轻球，用天平

称了3次，结果如下：

第一次：①+②比③+④重；

第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻；

第三次；①+③+⑤与②+④+⑧一样重.

那么两个轻球的编号是和.

【答案】④、⑤

【分析】由第一次与第二次可知，③、④中必有一个轻球，⑤+⑥中必有一个轻球；第三次左边①是标准球,

右边②、⑧是标准球，如果④也是标准球，则③、⑤也是标准球，与“③、④中必有一个轻球“矛盾，所

以④是轻球，那么⑤也是轻球