2023-2024届新高考一轮复习湘教版 7-3 直线、平面平行的判定与性质 学案

第三节直线、平面平行的判定与性质

【课标标准】1.从定义和基本事实出发，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面

与平面的平行关系，并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.

必备知识夯实双基

知识梳理

1.直线与平面平行的判定与性质

____________文字语言____________图形语言符号语言

如果平面外一条直线与一a-----

判定

的一条直线平行,那么该直线与此//4/7=a〃cc

定理

____________平面平行____________

一条直线与一个平面平行,如果过

性质

该直线的平面与此平面_______,・na〃b

定理

那么该直线与交线平行/r]

2.平面与平面平行的判定与性质

_________文字语言_________图形语言符号语言

如果一个平面内的两条∕βg^P^h7

判定

________与另一个平面平m=£〃α

定理

行，那么这两个平面平行/7

两个平面平行，如果另一个

性质—j=>a∕zb

平面与这两个平面______,

定理

那么两条______平行

［常用结论］

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若“_La,a邛,则a〃£.

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α〃夕，β∕∕γ,则ɑ〃7.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即“，ɑ,b±a,则。〃A

(4)若α〃4，«ca,则α〃夕.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)若直线α与平面ɑ内无数条直线平行，则。〃α.()

(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()

(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()

(4)若α〃夕，且直线a〃a,则直线"〃夕.()

2.

（教材改编）如图，在正方体ABCQ-ABlGA中，E为OA的中点，贝IJBz）I与平面ACE

的位置关系为.

3.

（教材改编）如图，平面α〃平面£,△以《所在的平面与α,夕分别交于C。和AB,若

PC=I,CA=3,CD=I,则AB=.

4.（易错）若直线α与平面α内的无数条直线平行，则。与α的关系为.

5.（易错）若平面α〃平面£,直线“〃平面α,则α与尸的关系是.

关键能力•题型突破

题型一直线与平面平行的判定与性质

角度一直线与平面平行的判定

例1［2023∙江苏南通市检测］《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最

重要的一部，它对几何学的研究比西方要早IoOO多年.在《九章算术》中，将底面为直角

三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵ABC-Al8∣G中，AAi=AB=

AC=I,M,N分别是CG，BC的中点，点尸在线段48上，若P为4∣8∣的中点，求证:

PN〃平面AA∣C∣C.

［听课记录］

题后师说

证明线面平行的2种常用方法

利用线面设法在平面内找到一条与已知直

线平行的直线，合理利用中位线

A平行的判-

或构造平行四边形，寻找比例式

定定理证明两式线平行________________

利用面面在平面内不易找出一条与已知直线

平行证明-平行的直线时，往往先证明已知

线面平行直线所在平面与已知平面平行即可

巩固训练1

如图，在直三棱柱ABC-AlBlG中，NABC=90。，AB=BC=AAx,M,N分别为棱AC、

AiBi的中点.

证明：MN〃平面BBiGC.

角度二直线与平面平行的性质

例2［2023∙广东梅州期末］

如图，在三棱锥P-ABC中，己知△/¾C是正三角形，平面RIC，平面ABC,AC=BC,

E在棱AB上，且BE=3AE,尸为棱AC的中点，点M为棱PC中点，点N在棱AB上，若

满足MN〃平面PEF,求黑

［听课记录］

题后师说

应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来

确定交线.

巩固训练2

[2023•河南南阳模拟]

如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为正方形，E为侧棱尸C的中点，设经过

A、B、E三点的平面交PO于F,证明：尸为尸。的中点.

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3如图，在三棱柱ABC-AlBlG中,E,F,G分别为BlCi，A,B∣.AB的中点.

⑴求证：平面AlClG〃平面BEF；

(2)若平面AIGGnBC=H,求证：H为BC的中点.

［听课记录］

题后师说

证明面面平行的3种方法

巩固训练3

如图所示，B为AACD所在平面外一点，M,MG分别为AABC,ΛABD,Z∖BCf)的

重心.

(1)求证：平面MNG〃平面Aa)；

(2)求SAMNG:S∆ADC-

题型三平行关系的综合应用

例4如图，四棱锥P-ABCO中，AB〃CD,AB=2CD,E为PB的中点.

(1)求证：CE〃平面∕¾O;

(2)在线段AB上是否存在一点R使得平面以。〃平面CEF?若存在，证明你的结论,

若不存在，请说明理由.

［听课记录］

题后师说

1.熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综

合问题的关键.

2.解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成

立的充分条件.若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件

(出现矛盾)，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或

某个三等分点，然后给出符合要求的证明即可.

巩固训练4

如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为平行四边形，侧面南。为正三角形,

M为线段PQ上一点，N为BC的中点.

(1)当“为尸。的中点时，求证：MN〃平面∕¾B.

(2)当PB〃平面AMN时，求出点M的位置，说明理由.

第三节直线、平面平行的判定与性质

必备知识•夯实双基

知识梳理

1.此平面内Habuaa∕∕b相交a∕∕aα⊂βα∩β=b

2.相交直线auBbuβa∏b=Pa∕∕ab∕∕a相交交线a//βα∩γ=

Snr=b

夯实双基

1.答案：(I)X(2)×(3)√(4)×

2.解析：连接BO,则ACn8。=0,连接0E(图略)，则OE〃B£>1,OEU平面ACE,

BZM平面ACE,二Bz)I〃平面ACE.

答案：平行

3.解析：由平面α〃平面夕，平面∕¾8C平面α=CZλ平面RWC平面夕=AB,

PCrr)CD2ς

：.AB//CD,Λ-=-,VPC=2,CA=3,CD=I,：,AB=-.

PAABAB2+32

答案：I

4.解析：若直线〃在平面外，则。〃如若直线。在平面内，符合条件，

∙∖a∕∕a或QU。.

答案：a∕∕a或Gu。

5.解析：因为直线〃〃平面0,平面1〃平面外

所以au£或〃〃£.

答案：QUE或。〃S

关键能力•题型突破

例1证明：取AiCi的中点”，连接PH,HC.

BNC

在堑堵A8C-A∣B∣G中，四边形BCClS为平行四边形，

所以BCi〃BC且BCl=BC

在Z∖4BC中,P,H分别为A∣B∣,AIel的中点,

所以PH∕∕B↑C∖且PH=TBlG.

因为N为BC的中点，

所以NC=^BC,

从而NC=PH且NC//PH,

所以四边形PHCN为平行四边形，

所以PN"CH.

因为CHu平面AeICA,PMt平面AlClC4,所以PN〃平面44∣CιC.

巩固训练1证明：

取AB中点D连接ND,MD,

因为在直棱柱ABC-AbBIG中,M,N分别是AC,AlBl中点,

所以ND〃BBi,ND=BBi,MD//BC,

NzX平面BCeIBl,BBiu平面BCGBI,所以NO〃平面BCGBl,同理MD〃平面BCCIB1,

NDCMD=D,ND,MDU平面MND,

所以平面MND〃平面BCQBi,又MNU平面MND,

所以MN〃平面BCC1B1.

例2解析：

连接AM,交PF于点G,连接EG

因为F为AC的中点，M为PC中点,

故G为△/¾C的重心，黑=：

AM3

假设已有点M使得MN〃平面PEE

MNU平面AMN,平面AMNn平面PEF=EG,

则MN//GE.

巩固训练2证明:

P

连结EF,AF.

因为底面ABCZ)为矩形，所以AB〃CD

又ABa平面Pe。，且CDU平面PC£),

所以AB〃平面PCD.

又ABu平面A8E,且平面ABEn平面尸CC=EF,

所以AB〃EF.

又因为AB〃C£>,所以Cz)〃EF.

因为E为尸C的中点，所以F为PO的中点.

例3证明:(1)VE,F分别为BQ,AIBI的中点,

.,.EF∕∕AιCι,

：AiGu平面AICIG,ERi平面AiCjG,

.∙.EF〃平面A1C∣G,

又F,G分别为A∕∣,AB的中点，

.'.AiF=BG,

又A尸〃8G,

.∙.四边形A∖GBF为平行四边形，

则BF//A1G,

IAiGu平面4C∣G,BRl平面AIGG,

.∙.8F〃平面AlGG,

又EFCBF=F,EF,B尸U平面BEF.

平面AlGG〃平面BEF.

(2)；平面ABC〃平面AIBICl,平面4GGC平面AlBlG=AlCl,平面AlGG与平面ABC

有公共点G,则有经过G的直线，设交BC于点H,则AlCi〃GH,得GH〃AC,；G为4B

的中点，为Be的中点.

巩固训练3解析：

(1)证明：连接8M,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H；

'：M,N,G分别为AABC,∕∖ABD,ZkBS的重心，

且「，H,F分别为AC,CD,AQ的中点.

连接PE,FH,PH,有MN〃PF.

又尸FU平面AC。，MNa平面ACD,

.♦.MN〃平面ACQ,同理MG〃平面AC。，MGHMN=M,且MNU平面MNG,MGU平

面MNG,

.∙.平面MNG〃平面ACD.

(2)由(1)可知空=四=三，

、/MGBG2

2

：.MG=-PH.

3

又P"=Uθ,：.MG=-AD,

23

同理NG=IC,MN=RD.

：.XMNGsXACD,其相似比为1：3,

∙*∙SAMNG:S^ACD=ɪ:9.

例4解析：

(1)证明：取以的中点H,连接EH,DH,

因为E为PB的中点，所以EH〃A8,EH=^AB,

叉A