2023高考数学复习-立体几何综合小题练习100题

2023高考数学——立体几何综合小题必刷100题

目录

1.任务一:善良模式（基础）1-30题................................................1

1.1.单选题..................................................................1

1.2.多选题.................................................................13

1.3.填空题................................................................21

2.任务二：中立模式（中档）1-40题................................................27

2.1.单选题.................................................................27

2.2.多选题..................................................................51

2.3.填空题................................................................67

3.任务三:邪恶模式（困难）1-30题................................................78

3.1.单选题.................................................................78

3.2.多选题...............................................................106

3.3.填空题...............................................................123

1.任务一:善良模式（基础）1-30题

1.1.单选题

1.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2,则该正四棱锥的体积为（）

A.—B.4√2C.逋D.4√3

33

【答案】A

【分析】

计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积.

【详解】

正四棱锥的底面积为2x2=4,正四棱锥的高为巧彳可=忘

因此，该正四棱锥的体积为k√∑χ4=逑.

33

故选：A.

2.已知相，“为两条不同的直线，a,力为两个不同的平面，则下列说法正确

的是（）

第1页共134页

A.若〃ua,贝∣j"M∕aB.若，w∕∕a,〃ua,贝（j加〃〃

C.若WUa,nuβ,m∕∕n,贝（ja∕/D.若a〃夕，"?ua,贝（jm//2

【答案】D

【分析】

利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解

【详解】

选项A：有可能出现加Ua的情况；

选项B：加和〃有可能异面；

选项C:a和夕有可能相交；

选项D：由a〃夕，机ua,得直线相和平面尸没有公共点，所以加〃夕，

故选：D

3.如图，空间四边形。"C中，点M在线段OZ上，且两=2而，N为8。的中

点，MN=xOA+yOB+zOC,则x,V,Z的值分别为（）

._1__£_i_ŋ_21λTL_L_2n22_J_

99,,

A・-9--f-O.--9792C・22^3^D∙73^^2

【答案】B

【分析】

利用空间向量的基本定理求解.

【详解】

,_____:1__________O___,

因为丽=砺_两=-(0B+0C)--O4,

-2-+l⅛+l-

322

第2页共134页

211

所以x=_§，y=--z=y.

故选：B.

4.己知α,β,，是三个不同的平面，相，〃是两条不同的直线，下列命题为

真命题的是（）

A.若加〃a,m/1βt则α∕∕y?B.若〃?//ɑ,n/Ia,贝及//〃

C.若nLa,贝∣j相〃"D.若aU,βLy,贝!jα〃月

【答案】C

【分析】

利用空间中点线面之间的位置关系即可对每个选项做出判断，从而选出正确选

项.

【详解】

对于选项A：若m∕∕a,加//万，则α与尸平行或相交，故选项A不正确;

对于选项B：若InHa,nila,则阳与〃可平行、异面、或相交，故选项B不正

确;

对于选项C：若〃?-La,«1«,则用〃〃，垂直于同一平面的两个直线平行，故选

项C正确;

对于选项D：若α∙Ly,βM，则α与夕平行或相交，故选项D不正确.

故选：C

5.已知四棱锥P-ZBC。的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm）的正三角

形，俯视图为正方形，则该四棱锥的体积（单位：cπ?）是（）

84√34√24

B.C.

3亍~T^3

【答案】B

【分析】

根据四棱锥P-/8C。是正四棱锥求解.

【详解】

如图所示:

第3页共134页

由题意知：四棱锥尸-/8CZ）是正四棱锥，

因为四棱锥P-ZBC。的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm）的正三角形,

所以PE=2,BC=2,

则正四棱锥的高为：Po=JPE「EO。,

又因为俯视图为正方形，

所以％的,=Jx2χ2x√i=士，，

故选：B

6.在正方体/8CQ-48CA中，则直线4。与直线/C所成角大小为（）

A.30'B.45"C.60D.90°

【答案】C

【分析】

设正方体的棱长为“，连接4G,证明4G///C可得/ZMG或其补角即为直线4。

与直线/c所成角，在AD4G中求/O4G即可求解.

【详解】

设正方体ABCD-44CQ的棱长为α,连接AiCt,

因为4√∕CG且∕4=CG，所以四边形MGC是平行四边形，

可得4G///C,

所以404G或其补角即为直线4。与直线AC所成角，

在△£>%G中，。4=4G=QG=缶，所以4⅛G=60°,

所以直线4。与直线ZC所成角大小为60°,

故选：C.

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7.正方体/8CZ)-M4GA的棱长为2,尸为侧面/网4内动点，且满足I町|=6,

则APBC面积的最小值为()

A.1B.√2C.2D.2-√2

【答案】B

【分析】

建立空间直角坐标系如图所示，设P(2∕,z)由IPAI=得出点P的轨迹方程,

由几何性质求得ImL,,再根据垂直关系求出APBC面积的最小值.

【详解】

以点。为原点，',DC,O4分别为x，%z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则R(0,0,2),8(2,2,0),设P(2∕,z)

所以陷I=J4+产+卜_2)2=6,得/+(z-2)2=2,

所以IPBlmM=√(2-0)2+(0-2)2-√2=√2

因为5C_L平面Z明4,^BCLPB

故AMC面积的最小值为S=18CHP/M=&

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故选：B

8.在直三棱柱/8C-4BC中，NACB=90°.R、E分别是/£、&C；的中点,

CA=CB=CCit则/片与84所成角的余弦值为（）

r√15√30

ʌ-fB.噜LJ•-------D.

10To-

【答案】D

【分析】

以C为坐标原点，以CB、CA.CG方向分别为x、六Z轴正方向，建立空间坐

标系，如图，设8C=8/=CG=I,分别求出西、布的坐标，根据空间向量的数

量积求出8S（西,语）即可

【详解】

以C为坐标原点，以C8、CA.CG方向分别为x、y、Z轴正方向，建立空间坐

标系,

如图，设BC=ZC=CG=I,

8(1,0,0"(1,0,1)/(0,1,0),4(0,1,1),呢OG(O,o,ι),4[o1,ι

____11____1

则叫=(-展展I)Mg=(O,

/——∖~BD,∙AE√30

所以CM%,眼>=画词=而，

故选：D

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<1

9.如图，在正方体/3CD-/由ICIDl中，则以下结论错误的是()

A.50〃平面CBtDxB./OJ_平面CBiDi

C.ACiLBDD.异面直线AD与CBl所成的角为45°

【答案】B

【分析】

利用直线与平面平移以及垂直的关系，结合异面直线所成角判断命题的真假即

可.

【详解】

解：A,在正方体力BS-NiBCbDi中，①BD〃BiDi,BQu平面C8。；

BDC平面CBbD|；所以80〃平面CBd;A正确；

B,；AD∕∕A∖D∖,且42_L平面。CG〃，所以4)_L平面。CCa,

又平面。CCQ号平面CBD不平行，所以AD与平面CSA不平行，；B不正确;

C,ZG在底面Z8C。上的射影NC,BDLAC；所以C正确；

D,根据正方体的性质可得4)∕∕8C

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所以异面直线AD与CBl所成的角即为直线8C与CBl所成的角,

由4(2=45。，所以异面直线40与CBl所成的角为45。；D正确

故选：B.

10.已知向量)=(2w+l,3,/M-1),b=(2,m,­m),且出区，则实数用的

值等于()

3a

C.0D.5或一2

【答案】B

【分析】

利用空间向量平行的坐标表示，即可求得结果.

【详解】

=""=0时，5=(1,3,—1),b=(2,0,0),

G与B不平行，.∙."7≠0,allb，

.2/n+I3m-∖R阳,

••丁=Z=='A解i得”=-2.

故选：B

11.正方体/5Ca-4历GDl中，E,厂分别是线段BC,Col的中点，则直线

/由与直线EF的位置关系是()

A.相交B.异面

C.平行D.垂直

【答案】A

【分析】

连接BR,皿,CR与CQ交于点F,易有,根据平面的基本性

质即可判断直线48与直线EF的位置关系.

【详解】

如图所示，连接BR,CA,C"与CQ交于点R

由题意，易得四边形4岚4是平行四边形，

在平行四边形48CA中，E,尸分别是线段8C,CR的中点，

：.EFHBD又4δc8Z)∣=8且4,8,E,F共面,则直线/田与直线E尸相交.

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故选：A.

5

12.已知直三棱柱∕8C-44G中，ZABC=6O0,AB=2,BC=Cg=I,则异面直

线/q与8G所成角的余弦值为（）

A.—B.OC.典D.在

253

【答案】B

【分析】

先用余弦定理求出/C=百，再由勾股定理可证可所以C4C8,CC∣两两

垂直，如图建立空间直角坐标系，求出各点坐标以及福、南的坐标，利用空

间向量夹角公式计算MS（福,南）|即可求解.

【详解】

因为直三棱柱4BC-4B∣C∣中，ZABC=60°,AB=2,BC=I,

222,

在AN8C中，由余弦定理可得：AC=AB+BC-2ABBCcos60≈4+l-2×2×l×^≈3,

所以∕C=√L

BC2+AC2=AB1,所以8C_L/C,进而可得C4C8,CC∣两两垂直，

所以以C为原点，CB为X轴，。1为＞轴，CG为Z轴，建立空间直角坐标系,

则N(0,G,0),8(1,0,0),5l(1,0,1),C1(0,0,1),^^=(1,-√3,1),5∩=(-l,0,l),

∙Bcl-1+0+1

所以COS（葩,西）=C

函H罔√5×√2

设异面直线/片与8C∣所成角的平面角为巴

则异面直线期与g所成角的余弦值为：cos。=∣cos^,5q）∣=0,

故选：B.

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13.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20Cm的铁丝接成的四棱锥形骨

架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为

()

A.10√3cmB.10cm

C.10Λ∕2cmD.30cm

【答案】B

【分析】

判断出球心的位置，由此计算出球的半径.

【详解】

依题意可知该四棱锥是正四棱锥，且OS_L平面/38,则

OA=OB=OC=OD=-AC=i×√202+202=10√2,

22

22

OS=y∣AS-OA=y∣20r-(10旬,=10方，

所以0/=08=0C=OO=OS=I0√Σ,

。到N8,8C,CaZ1。的距离都是;/8=10,

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在等腰直角三角形CMS中，。到154的距离为gs∕=10,

同理可得。到SB,SC,S。的距离也是10.

所以。是皮球的球心，且皮球的半径为IoCm.

故选：B

14.一种特殊的四面体叫做“鳖膈”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面

体P-45C中，设E,尸分别是尸5,PC上的点，连接∕E,AF,E尸（此外不

再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（）

A.6个B.8个

C.10个D.12个

【答案】C

【分析】

由题设，若四面体P-NBC为“鳖膈”，应用线面、面面垂直的判定、性质只需

AELEF.AELPC.EFLPC,即PFE尸也是“鳖膈”，即可保证直角三角形最

多，进而确定个数即可.

【详解】

为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体尸一48C为“鳖膈”，

其中HL面/8C,BC^ABC,则RIJ_8C,

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又ABLBC,AB∏PA=A,

ΛCβ±≡PAB.

AELPB,EFLPCz

⅛CBL^PAB,5C⊂jf∏PBC,贝U面以6_1_面P8C,又AEU面R4B,面∕⅜gn

面PBC=PB,

PBC,EF、PC⊂≡PBC,则ZEJ_EF且4E，尸C,又EFJLPC,

.∙.四面体P-ZE尸也是“鳖展”，则10个三角形全是直角三角形，

故选：C.

15.在四棱锥P-Z8CZ）中，底面是边长为4的正方形，且P4=2,PB=PD=2下,

则四棱锥外接球的表面积为（）

A.4；TB.8〃C.36〃D,144;F

【答案】C

【分析】

利用勾股定理判断PNJ∙平面/88,过正方形z88的中心。，作垂线，再过尸/中

点作此垂线的垂线，交点。即为外接球的球心，求出外接球半径，由表面积公

式即可求解.

【详解】

由题意可知尸才+41二尸炉，PA2+AD2=Pb1,

所以PNJL/8,PALAD,

又ABCAD=A,

所以P/_L平面力BCD,

过正方形ABCD的中心O作垂线，

再过尸/中点作此垂线的垂线，交点为O,

此点即为外接球的球心,

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则外接球半径R=OA=4+"『=3'

所以四棱锥外接球的表面积S=4乃斤=36乃.

故选：C

1.2.多选题

16.给出下列命题，其中正确的有()

A.空间任意三个向量都可以作为一组基底

B.已知向量;〃力，则入B与任何向量都不能构成空间的一组基底

C.已知空间向量&=(1,0,1),6=(2,-1,2),则标

D.已知空间向量G=(1,0,1),ft=(2,-1,2),则向量3在向量E上的投影向量的坐标

是HW

【答案】BD

【分析】

对选项A,B,根据空间向量基底概念即可判断A错误，B正确，对选项C,根

据空间向量平行的坐标运算即可判断C错误，对选项D,根据投影向量概念求

解即可.

【详解】

对选项A,因为空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底，故A错误.

对选项B,因为"力，则］A与任何向量都是共面向量，故B正确.

对选项C,α=(1,0,1),⅛=(2,-1,2),

因为《二二，所以入书不平行，故C错误.

2—1

对选项D,75=2+0+2=4,W=J4+1+4=3,

a-bb4Iɔʌ(848)

所以向量Z在向量让的投影向量为WXM=差(M2，-11，2)=丘一歹句.故D正确.

故选：BD

17.如图，正方体∕8CZ)-44C㈤的棱长为4,以下结论正确的是()

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B.直线4。与8G平行

C.直线片。与垂直

D.三棱锥CQ的体积为竽

r答案】AD

【分析】

A选项结合异面直线的定义即可判断；B证得即可判断；C由直线4。

与8。是矩形8。。声的两条对角线即可判断；D用正方体的体积减去四个三棱锥

的体积即可求出结果判断.

【详解】

直线8Q在平面BCC圈内与Bcl没有交点，所以直线BQ与Ba是异面直线，故Z

项正确；

.4B“CPι,且AB=CR,所以四边形48Ca为平行四边,因此又

因为LzA，所以40J∙5G,故8项错误；

直线与。与54是矩形出刈内的两条对角线，不垂直，故。项错误；

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A,-BCtD=匕IBCD-4B1CR~A1-ABD-^Cl-BCD-^D-AlClDl~^C1-A1B1B

=4?-JXLX4x4x4-LχLχ4x4x4-1χ1χ4x4x4-LX—×4×4×4=

323232323

故。项正确.

故选：AD.

18.如图，正方体MCD-44CA的棱长为1,点P是棱cc,上的一个动点（包含

端点），则下列说法正确的是（）

A.存在点P,使OP//面Q

B.二面角P-四-。的平面角大小为60。

C.PB+段的最小值是有

D.「到平面/8Q的距离最大值是。

【答案】AC

【分析】

对于A,当尸与G重合时可得结论，对于B,二面角P-即-。就是二面角

C-BBx-D,从而可求出结果，对于C,如图沿棱CG展开面ABCG为面GCFE,

利用两点之间线段最短判断，对于D,当尸与C重合时，点C到面/4。的距离

最大，从而可求得结果

【详解】

对于A,当P与G重合时,DPHABi,根据线面平行的判定,可得使Z)P〃面第A,

故正确；

对于B,二面角P-BB,-。就是二面角C-88∣-O,其平面角大小为45。.故错；

对于C,如图沿棱CG展开面8田Ca为面C,CFE,使点3，D,C,cι,E,尸共

面，则PB+尸A的最小值为DF=L+DF=后,故正确；

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对于D,当P与C重合时，4C垂直平面此时点C到面相Q距离最大值

19.已知"?、〃是两条不同的直线，a、B、7是三个不同的平面.下列说法中正

确的是（）

A.若"”/a,mu。，ac∖β=n,贝fj/”//aB.若加〃"，mHa,则〃〃α

C.若ac0=n,«1∕?,βIy,贝（j"∙L∕D.若，w_La,m工/3,allγ,贝（j力〃，

【答案】ACD

【分析】

对于A,利用线面平行的性质定理判断，对于B,利用线面平行的判定定理判

断，对于C,利用线面垂直的判定定理判断即可，对于D,利用面面平行的判

定方法判断

【详解】

由线面平行的性质定理可知，A正确；

若小〃α,机〃〃，则"〃。或〃=即B错误；

设α,"的法向量分别为之范，若α∏6=M,则又α”,∕7”,则Z〃7,

b∕∕r,所以“J∙y,即C正确；

若加_La则α〃夕，又。〃7,则夕〃7,即D正确.

故选：ACD

20.在下列条件中，不能使M与4B,C一定共面的是（）

A.OM=IOA-OB-OCiB.OM=∣GU+⅛5+∣<9C-

UUUlUUlLUUU___________________

C.MA+MBMC=0↑D.OM+OA+OB+OC=0;

【答案】ABD

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【分析】

根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

M与A,B,C一定共面的充要条件是丽=X刀+y08+z反,x+y+z=l,

对于A选项，由于27-1=0声1,所以不能得出“，4民C共面，

对于B选项，由于g+；+所以不能得出M，43,C共面，

对于C选项，由于血=-丽-荻，则忘,砺,祝为共面向量，所以”,4民C共面,

对于D选项，^OM+OA+OB+OCOM^OA-OB-OC,而-1-1-1=-3≠l,

所以不能得出M,48,C共面.

故选：ABD

21.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方

体的顶点.则满足MN_Lo尸的是（）

【答案】BC

【分析】

根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后

可判断AD的正误.

【详解】

设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接4C,则MV∕∕∕C,

故乙PoC（或其补角）为异面直线8,MV所成的角，

第17页共134页

1_√2

故ZPOC=

在直角三角形OPC,0C=√2.CP=\,tanTrT

故历V，OP不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取Nr的中点为0,连接尸0,OQ,则O0LN7,PQLMN,

由正方体SBCM-NADT可得SNj_平面ANDT,而。。u平面月加7,

故SN_L。。，而SNrlMN=N,故。。J∙平面SNTM,

又MNU平面SNTM,OQVMN,而OQ∏PQ=0,

所以MN，平面0P。，而PoU平面OPQ,故MNJ尸，故B正确.

对于C,如图（3）,连接加，则83∕∕Λ∕N,由B的判断可得OP_L8。,

故OPLMN,故C正确.

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对于D,如图（4）,取NO的中点。，N8的中点K,连接“CP。,。。,PK,OK,

贝IJACHMN,

因为。P=PC,故PQ∕Λ4C,故PQ//MN,

所以N0尸。或其补角为异面直线POAW所成的角，

22

因为正方体的棱长为2,故P。=3C=7∑,OQ=y∣A0+AQ=√l+2=√3,

PO=yJPK2+OK2=√4+T=√5>QO2<PQ2+OP2,故』。尸。不是直角，

故尸O,ATN不垂直，故D错误.

故选：BC.

22.设一空心球是在一个大球（称为外球）的内部挖去一个有相同球心的小球（称

为内球），已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1,若某正方体的所

有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切，则（）

第19页共134页

A.该正方体的核长为2B.该正方体的体对角线长为3+g

C.空心球的内球半径为0-1D.空心球的外球表面积为（12+6√η兀

【答案】BD

【分析】

设内外球半径分别为r，R,利用正方体的对角线求得R=技，根据两球上点的

距离最小值为R-r=ι,求解后得到r,R,进而求得正方体的对角线和外接球的

表面积.

【详解】

设内外球半径分别为，、R，则正方体的棱长为2厂，体对角线长为2R,.∙.R=√^,

又由题知&-『=］，所以〃=&.,R=^

22

正方体棱长为6+1,体对角线长为3+石，

外接球表面积为兀（3+6）=（12+6>∕J卜,

故选：BD.

23.在正三棱柱NBC-48C中，AB=1,AAt=2,8g与交于点尸，点E是

线段4片上的动点，则下列结论正确的是（）

A.AF=-AB+-AC+-AA

2221

B.存在点E,使得,4F"L8E

C.三棱锥8-4EF的体积为由

12

D.直线4尸与平面8CC4所成角的余弦值为亨

【答案】AC

【分析】

A.利用空间向量运算求解判断；B.利用空间向量运算求解判断；C.利用等体积

法求解判断；D.利用线面角的求解判断.

【详解】

由题意，画出正三棱柱/8C-/0G如图所示，

第20页共134页

向量/=方+/^方+；回+西)=∑β+i(7C-∑β)+∙^Zξ=y∑5+y^C+yZζ,

故A正确；

假设存在点E,设4七=4/£，owawi,所以

^=^-AB=AAi+AJE-AB=AAi+λJζBl-AB=AA]+(λ-l)ABAF±BE,所以

而而=（；荔+；衣+；麴）∙[Zξ+（"l）布卜翔—1）方2+；麴2+；（九_]）衣而1

+-

2

∙∕5=；(4-l)+；x2?+；(2T)XIXIx；=0.解得4=.故B错误;

因为正三棱柱Z8C-44G,所以4B//44,所以

r/_V_..1_11

〃三棱融-/8F="三棱网T8F=J校雄/f四=5/三梭惟CT88]=5'三梭怵鸟f8C=Q

x；XlXIXqX2x；=*,所以匕.3师=5斤,呼=。故C正确;

设BC中点为。，所以ZO_L8C,三棱柱/8C-44G是正三棱柱，所以“。，平面

BBGC,所以N4FO即AF与平面BBGC所成的角,2Fo="="迎故

AF√77

D错误.

故选：AC.

第口卷（非选择题）

1.3.填空题

24.已知正方体/3CD-45ιGDι的棱长为2,M.N分别为331、5C的中点,

则三棱锥N-DMCl的体积为.

第21页共134页

【答案】1

【分析】

利用等体法以及三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】

「N-DMC、=VD-NMC、=gS.NMC、'DC

=JXf22—LX1×1——×Ix2——×1×2∣×2=I

3I222)

故答案为：1

25.已知正三棱锥的底面边长是6,侧棱与底面所成角为60。，则此三棱锥的体

积为一

【答案】18√3

【分析】

过。作OGL平面48C交于点G,延长ZG交8C于。，在"BC中，求得∕G=2√J,

根据。GL平面N8C,得到NOIG=60。，求得OG=6,结合体积公式，即可求解.

【详解】

如图所示，过。作。GL平面/8C交于点G,延长NG交5C于。，

所以点G是"8C的中心，所以49是等边“8C的•条高，其中边长为6,

所以AD=@BC=3后,可得NG=∣∙NO=2√J,

23

因为。GL平面N8C,所以/O4G=60。，

在直角a0∕G中，可得OG=&G=&2拒=6,

2

由“BC的边长为6,可得5ΔJSC=^×6=9√3,

所以三棱锥0-/8C的体积为V=；XSiUzic∙OG=gx9√Jχ6=18√J.

故答案为：18√J.

第22页共134页

O

26.如图，在直三棱柱NBC-44G中，N∕C5=90°,AA1=AC=BC=I,则异

面直线45与4C所成角的余弦值是.

【答案】5

【分析】

由ZC〃4G，知NC/8是异面直线48与ZC所成角（或所成角的补角），由此

能求出异面直线4B与AC所成角的余弦值.

【详解】

解：连结SG,∙.∙∕C"4C,

.∙.NG48是异面直线48与/C所成角（或所成角的补角），

∙.∙在直三棱柱力8C-44G中，NNcg=90°,AA1=AC=BC=\,

，∕8=√Σ,48=5BG=C,4G=ι,

：.CoSNCMB=专

异面直线48与/C所成角的余弦值为日•

故答案为：4

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27.已知圆台上底半径为L下底半径为3,高为2,则此圆台的外接球的表面

积为.

【答案】40;T

【分析】

先画出圆台的轴截面，利用圆心到上底圆周上一点等于外接球半径，圆心到下

底圆周上一点等于外接球半径，建立方程，解出外接球半径，求出外接球表面

积.

【详解】

如图所示，

设外接球半径为八球心到上底的距离为人则球心到下底的距离为1〃-2|

2

则有r=1+配，√=9+(2-⅛),解得力=3,厂=布.所以外接球的表面积为

4πr2=40万.

故答案为：40万

28.如图，已知平行六面体43CD-40GR中，底面N8C/)是边长为2的正方形,

侧棱44长为3,且/4/8=4/0=120。，则/G=_.

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【答案】√5

【分析】

由空间向量的加法法则有离=而+屈+麴，然后平方，转化为数量积运算可

得.

【详解】

平行六面体"8CZ)—48∣CQ∣中，AC1=AD+AB+AAx,

2

ACl^=(AD+AB+AAl)=AD+AB^+J+2AB∙AD+2AD∙AAx+∙AA1

=4+4+9+0+2×2×3×(--^∙)+2×2×3×(--ɪ)=5

jc1=∣jq∣=√5.

故答案为：vʒ.

29.如图，在空间四边形046C中，OA=a,OB=KOC=c9点M在O力上，且

OM=2M4,JV为5C的中点，则用向量〃,标表示向量丽=.

【答案】C

【分析】

根据丽=丽-两=;(历+反)-：刀，由此能求出结果.

【详解】

•••在空间四边形048。中，®=Z历=a反=工，点M在ON上，且OM=2M4,

第25页共134页

N为BC的中点，

/.MN=ON-OM=-(OB+0C]--OA=--a+-b+-c.

2、,3322

故答案为：-ga+；"；。.

30.已知四棱锥P-45CO的顶点都在球。的球面上，底面/6CZ）是边长为2

的正方形，且RIJ_平面/6C0.若四棱锥P-/5C0的体积为当，则球。的表

面积为.

【答案】24万

【分析】

由题意，画出示意图，四棱锥P-ZBa）的体积∕=gs∙P4=gx4xP/=果PA=4,

AC=y∕2AB=2y[2,PCɪy∣AC2+AP2ɪ2√6>球O的半径尺=gPC=K,进而求解.

【详解】

解：由题意，画出示意图如图：

则正方形ABCD面积S=4,

,/四棱锥P-ZBCO的体积P=gs∙P4=gx4χP4=g,.∖PA=4,

AC=SAB=2五,PC=y∣AC2+AP2ɪ2√6

球0的半径R=；PC=R

球0的表面积：S=4πR2=24万.

故答案为：24乃

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2.任务二:中立模式(中档)1-40题

2.1.单选题

1.在三棱锥产一/5C中，/APB=NBPC=ZCPA=KPAB,"AC,APBC

的面积分别记为邑，且珥=2$2=2邑=3白，则此三棱锥的内切球的半径为

()

2√6-VJŋ2-∖∕6—5/3

Aa.-------D.--------

37

r2√2+ln2√2+l

36

【答案】B

【分析】

根据二角形面积公式求出面积，联立方程求出棱长，再求出棱锥高得出棱锥体

积，由等体积法求出内切球的半径即可.

【详解】

VSI=^∙∖PA∖-∖PB∖sinZAPB=奈•评出8∣=√3,

,

S2=∣∙∣∕4IPq∙sinZAPC=(∙∣P∕∣∙∣PC∣=~,

S3="8HPCkinZSPC='僧倒卜?,

解得照I=IM=2,∣PC∣=3,

由余弦定理可得的=∣8C∣=√7,I丽=2,

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取川？的中点。，连接尸。，CD,如图,

可得尸CDLAB,PD=y∕3,CD=E,IPD「+∣CD「=∣Pef,

所以PeC。，

所以PD_L平面ABC,

________3%<ac√6∙√32√6-√3

内切球半径=f-----------~------------

SGP“B+SVC+SAPBC+SAABC4√3+√67

故选：B

2.在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同

学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线平面α,直线8CV/平

面α,b是棱5C上一动点，现有下列三个结论：

①若M,N分别为棱/C,5。的中点，则直线MN//平面α；

②在棱BC上存在点R使4尸，平面a；

③当尸为棱5C的中点时，平面/。尸，平面a.

其中所有正确结论的编号是（）

A.③B.①③C.①②D.②③

【答案】A

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【分析】

将正四面体放在正方体中，如图，由正方体的性质判断各选项.

【详解】

可将正四面体放在正方体中研究，如图，

对于①，由直线〃平面α,直线BC〃平面α,知平面α是与左右两个侧面平行

的平面，

",N是前后两个侧面的中心（对角线交点），则直线MN//平面α或直线MNU平

面α,故①错误.

对于②，正方体的左、右两个侧面与平面。平行，因此，与平面α垂直的直线只

能是与其四条侧棱平行或重合的直线，故②错误.

对于③，平面4。尸就是平面∕tf>PE,由。P与侧面垂直，得面面垂直，故③正确，

故选：A.

3.已知圆台上底面半径为3,下底面半径为4,高为7,若点/、B、C在下底

面圆的圆周上，且∕18∙L8C,点P在上底面圆的圆周上，贝IjPT+PB'PC?的最小

值为（）

A.246B.226C.208D.198

【答案】D

【分析】

222

问题可转化为三棱锥P-ABC且三棱锥有外接球，求PA+PS+PC转化为求

0才+04+。。2的最值，再转化为利用向量求解即可

【详解】

如图，

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A∕8C的外心是AC中点。i,点尸到底面/BC的距离为7,设P所在截面圆的圆

心为。2,此截面与平面/8C平行，球心。在。。2上，

2222

00,=y∣R-OC=√5-4=3,OO2=O1O2-OOt=7-3=4,

则r=Q尸=JE-。已=3,

设P在平面Z8C上的射影为0,则。在以Q为圆心，3为半径的圆，因为尸Q_L

平面Z8C,所以P0与平面ZBC内所有直线都垂直，PQ=I,

所以P/?+PB2+PC2=PQ2+QA2+PQ2+QB2+PQ2+QC2

=QA2+QB2+QC2+∖41

222？

QA+QB+QC（QOi+9丫+（函+网,+（函+砌

-2--------2--------2--------2------------------------►------------------------

=3。。］+0［√4+O'B+O1C+2。。［•。/+20。］・。田+20。］•。。

=27+16+16+16+2西•厢+*卜2西Oβ

=75+2西取，

当函,。滴反向时，西•用取得最小值-12,

所以尸才+尸出+尸。）的最小值147+75-2x12=198.

故选：D

4,北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲

性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等

于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，

角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多

面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是争

所以正四面体在各顶点的曲率为2兀-3x^=兀，故其总曲率为4π,则四棱锥的总

曲率为（）

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A.2万B.41C.51D.6兀

【答案】B

【分析】

根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可.

【详解】

解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，

因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，

所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，

所以面角和为4万+24=6万，

故总曲率为5X2万-6乃=4万.

故选：B.

5.如图，正方体488-44G2的棱长为1,线段4。上有两个动点E,F,且

EF当,则三棱锥G8E尸的体积为（）

第31页共134页

DA

A.ɪB.ɪC.D.不确定

12412

【答案】A

【分析】

根据题意可知平面/88,而E,尸在线段BQ上运动，则痔〃平面188,

从而得出点5到直线44的距离不变，求出A8E尸的面积，再根据线面垂直的判

定定理可证出ZO∙L平面成尸，得出点A到平面BE尸的距离为/0=也，最后利

2

用棱锥的体积公式求出三棱锥N-BEF的体积.

【详解】

解：由题可知，正方体/88-/fCR的棱长为1,

则40”平面力88,又£,尸在线段SQ上运动，

EFH^^^ABCD,

二点8到直线的距离不变，

由正方体的性质可知BB∖1平面N/C,则BB11EF,

而EF=*,δβl=l,

故ABEF的面积为1χ2∕Σχl=yi,

224

又由正方体可知，ACLBD,ACIBB1,^BDr>BBt=B,

：.AC1平面BB1D1D,则AC，平面BEF,

设4C与8。交于点。，则/0J.平面8E尸，

第32页共134页

•・・点A到平面5E尸的距离为Z。=也,

2

.V_1√2√2_1

A-BEF34212

6.如图已知正方体/BCDfgGA,点M是对角线"G上的一点且加=λACi,

六(0,1),则()

A.当人；时，NG，平面4。MB.当/.=；时，DM//平面CBQ

C.当"QM为直角三角形时，A=ID.当“QM的面积最小时，2=1

【答案】D

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；

【详解】

解：由题可知，如图令正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系，则4(1,0,0),

/(l,0,l),C1(0,1,0),0(0,0,1),β1(0,0,0),B1(1,1,0),C(0,I,l),所以布=(TJT),

因为翔=2有，所以Λ∕(T+1,4,T+1),所以而=(-Z4T+l),

两=(-2+1,九"),函=(1,0,-1),水=(OJl),设平面CBa的法向量为分=(XJ,z)

第33页共134页

，令X=1,则z=ι,y=τ,所以〃=(L-LI)

对于A：若4G，平面4。河，贝∣J%G,4M,则苑•丽=4+4+(-I)χ(->t+ι)=o,

解得义=；，故A错误；

对于B：若。M//平面C8Q,则丽一,B[JW-Jj=-A÷1-A-A=O,解得义=；,

故B错误；

当UQM为直角三角形时，有M。，肪1-即

丽.两=-"T+l)+储+(T)(Y+1)=0,解得;1=|或4=0(舍去)，故C错误;

2222

设M到的距离为k,则k=OM-I=3Λ-22+1=3(Λ-^)

.∙.当“QM的面积最小时，Λ=∣,故。正确.

故选：D.

7.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于“，点E、F、G分

别为4B、AD.OC的中点，则/等于()

C

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A.1BA∙ACB.2AD∙BDC.2FG∙CAD.2EF∙BC

【答案】B

【分析】

由条件利用两个向量的数量积的定义，对各个选项中式子进行运算，可得结论.

【详解】

由题意可得，2跋.送