土动力学与土工抗震工程之集中质量体系地震反应分析

土动力学与土工抗震工程1基岩地基地震波土坝结构特性地基特性地震特性地基及土工结构物动力分析抗震措施安全评价第十讲集中质量法与振型叠加法适用于水平成层地基或土工结构物适用于任意地基或土工结构物结构简化剪切层集中质量系有限单元求解区域时域：如逐步积分法频域：利用傅立叶变换振型：叠加法2集中质量体系地震反应分析第十讲3一、集中质量体系三、振型叠加法简化方法基本方程自振频率和振型地震反应振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析二、逐步积分法线性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法4一、集中质量体系1.简化方法第十讲集中质量法与振型叠加法集中质量：刚度系数：5一、集中质量体系2.基本方程第十讲集中质量体系地震反应分析相对位移矢量：相对速度矢量：相对加速度矢量：地震加速度：基本方程：[M]:质量矩阵[C]:阻尼矩阵[K]:刚度矩阵{E}:质量列阵62.基本方程各矩阵的表达式：－瑞利阻尼公式一、集中质量体系第十讲集中质量体系地震反应分析[C]的表达式与[K]类似，简化计算时72.基本方程瑞利阻尼公式λ1、ω1为第一振型的阻尼比和自振圆频率近似取：SDOF：水平成层地基：一、集中质量体系第十讲集中质量体系地震反应分析8第十讲集中质量体系地震反应分析一、集中质量体系三、振型叠加法简化方法基本方程自振频率和振型地震反应振型叠加法二、逐步积分法线性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法9二、逐步积分法基本思路:1、输入地震波历时为T，将其分为N个微小时段：Δt=T/N2、如t时刻的各物理量已知,3、假定与间的关系4、通过积分可用表示5、再积分可用表示6、以为基本未知量，代入基本方程，即可求出7、再求出8、至此已求出如t＋Δt时刻的各物理量：9、t=0时各量已知，按上述方法可逐步求出全程解答（此步常用增量形式）第十讲集中质量体系地震反应分析10具体方法：按与间的关系假定可分为线性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法适用范围：单自由度体系的动力反应解答多自由度体系的动力反应解答有限元法的动力反应解答其它与时间有关的问题（固结）二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析111.线性加速度法假定加速度在Δt=t2-t1的微小时段内呈线性变化如t1时刻的各物理量已知,t1t2=t1+Δtt速度为：t2时刻的速度为：位移为：t2时刻的位移为：二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析12以u(t2)为基本未知量：1.线性加速度法t1t2=t1+Δttt2时刻的速度和位移为：增量：二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析13t1t2=t1+Δtt增量：动力微分方程：1.线性加速度法二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析14稳定性：增量：全量：TN为第N振型的自振周期有条件稳定1.线性加速度法二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析152.

Wilson-θ法t1tt3=t1+θΔtt2=t1+Δtθ≥1假定加速度在δt=θΔt

的时段内呈线性变化t1时刻的各物理量已知,t2时刻的速度和位移为：t3时刻的速度和位移为：二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析162.Wilson-θ法增量：以t3和t1间的增量为未知量，增量形式动力微分方程：t1tt3=t1+θΔtt2=t1+Δt二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析17稳定性：无条件稳定

最优常用线性加速度法增量：全量：2.Wilson-θ法二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析183.

Newmark-β法假定速度和位移在t2=t1＋Δt时刻按下式计算如t1时刻的各物理量已知,速度：位移：t1t2=t1+Δtt增量形式：二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析19以Δu为基本未知量：3.Newmark-β法t1t2=t1+Δtt二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析20稳定性：β=1/6，γ=1/2时，即为线性加速度法，有条件稳定β=1/4，γ=1/2时，即为常值加速度法，无条件稳定

增量：全量：3.Newmark-β法二、逐步积分法第十讲集中质量体系地震反应分析21第十讲集中质量体系地震反应分析一、集中质量体系三、振型叠加法简化方法基本方程自振频率和振型地震反应振型叠加法二、逐步积分法线性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法22三、振型叠加法振型：对于无阻尼的多自由度体系，在某一初始分布位移刺激下产生自由振动，如果在以后的振动过程中位移分布形状保持不变，只是大小发生周期性变化，则称这种位移分布形式为该多自由度体系的一个振型。m2mk2k第十讲集中质量体系地震反应分析23将土体的动力反应看作是由土体在一系列不同频率（自振频率）下振动所产生反应（振型）的叠加。因而，动力基本方程的求解，就归结为求各自振频率ω和相应的位移分布φ(x)（振型），并且在此基础上求解常系数二阶常微分方程式，得出幅值Y随时间的变化。振型的特性正交性：多自由度体系的任何振型，在振动过程中不在其它振型上做功，即振动能量不会转移到其它振型上去，或者说，它不会激起其它振型的振动。三、振型叠加法线性无关性：多自由度体系的位移可用各振型位移的线性组合来表示。振型叠加法：第十讲集中质量体系地震反应分析24基本思路地基或土工结构物离散成多自由度体系如集中质量体系无阻尼和有阻尼的特征值和特征向量（频率、阻尼、振型）地震动力反应振型叠加法（各振型的幅值及振型叠加）三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析25（1）无阻尼自由振动假定方程的解为：代入振动方程得：将两边左乘以得：令则有解得ω为无阻尼自由振动的圆频率常数A、α由初始条件确定多自由度振动体系(MDOFSystem)，N个自由度1.自振频率和振型振动方程为：三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析其中为位移空间分布向量261.自振频率和振型特征方程式有非零解的充要条件为方程组的系数行列式等于零，即或齐次线性代数方程组该式为关于ω2的N次代数方程式，求解可得ω2的N个根，即N个自振频率。按其由小到大排列，称之为第一频率（基本频率），第二频率，……，第N频率；它们都只是刚度分布与质量分布的函数。（1）无阻尼自由振动三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析27设第i个频率为ωi（1）无阻尼自由振动1.自振频率和振型三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析28（2）特征向量的性质取两个特征值相应的特征向量正交性线性无关性成立的条件是式中常数αi全为零1.自振频率和振型三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析29取两个特征值，相应的特征向量特征方程：对上二式分别用左乘其两端，得当[M]，[K]为对称矩阵时，根据矩阵的乘法可得将此代入前二式，再相减得（2）特征向量的性质1.自振频率和振型三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析30同样可得由上二式可以写出由于，上式必须有特征向量的正交性(共扼)（2）特征向量的性质1.自振频率和振型三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析31式一：体系以s振型作自由振动时，它所引起的惯性力对于r振型的位移所作的功等于零。对于r振型的位移某振型在振动过程中能量不会转移到其它振型上，即不激起其它振型的振动。（[M]，[K]为对称矩阵时成立）正交性的物理意义式二：体系以s振型作自由振动时，它所引起的弹性力所作的功也等于零。（2）特征向量的性质1.自振频率和振型三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析32如果线性相关，则式中的常数αi不能全为零左乘上式得由正交性，当i≠j时，，故上式中只剩下i＝j的值，即不能等于零。因此，线性相关的条件不能成立。由线性无关性，动力系统的位移可用特征向量的线性组合来表示，即或写为矩阵形式故有以用反证法证明特征向量的线性无关性（2）特征向量的性质1.自振频率和振型三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析33无阻尼自由振动方程解耦（2）特征向量的性质1.自振频率和振型基本方程：通解以左乘上式两端，得令则得三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析34[K*]、[M*]矩阵中的元素分别为根据特征向量的正交性：[K*]、[M*]均为对角矩阵，只有对角线上的元素不为零无阻尼自由振动方程解耦（2）特征向量的性质1.自振频率和振型三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析35由前面采用的表示式，可得或将无阻尼自由振动方程解耦无阻尼自由振动方程解耦（2）特征向量的性质1.自振频率和振型[K*]、[M*]

均为对角矩阵三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析36（3）有阻尼自由振动解答可写为将两边左乘以将两边除以并令其中可得λi为与第i振型相应的阻尼比1.自振频率和振型解耦条件：[C*]为对角矩阵三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析37常数A、α由初始条件确定两个特征方程式（3）有阻尼自由振动解答为：1.自振频率和振型三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析38三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析一、集中质量体系三、振型叠加法简化方法基本方程自振频率和振型地震反应振型叠加法二、逐步积分法线性加速度法Wilson-θ法Newmark-β法392.地震反应振型叠加法基本方程：令以左乘上式两端，得令则得三、振型叠加法第十讲集中质量体系地震反应分析402.地震反应振型叠加法根据特征向量的正交性：[K*]、[M*]和[C*]均为对角矩阵，只有对角线上的元素不为零