不等式的证明以及应用

PAGEII不等式的证明以及应用目录TOC\o"1-2"\h\u21589摘要 231926abstract 362771引言 4321092基本不等式的证明与应用 5442.1基本不等式的定义 551852.2基本不等式的证明 5125372.3基本不等式的应用 715623均值不等式的证明与应用 987793.1均值不等式的定义 9252543.2均值不等式的证明 10275823.3均值不等式的应用 1259354排序不等式的证明与应用 1343854.1排序不等式的定义 13320464.2排序不等式的证明 14325864.3排序不等式的应用 14272295柯西不等式的证明与应用 16185285.1柯西不等式的定义 16139025.2柯西不等式的证明 17254895.3柯西不等式的应用 1925186结束语 224937参考文献 2311990致谢 24

摘要在数学中,不等式的证明与应用是重点考察内容，贯穿整个数学的学习。其中的几个重要不等式，如基本不等式、均值不等式、排序不等式和柯西不等式，均可实现推导证明与应用。本文主要就以上几个重要不等式归纳推理出证明过程，并结合近几年数学中的不等式问题进行应用，对不同类型的问题提供了一些解题方法.关键词:数学;重要不等式;证明与应用.

1引言在数学的学习中，重要不等式在数学教学过程中发挥着非常重要的作用，备受数学命题专家的青睐，同时也是一线数学教师的重要研究内容,因此，要认真分析高中数学中重要不等式的相关情况，运用合适的解题策略让中学数学教学工作得到很好地落实。研究重要不等式，首先要研究其证明方法和几何意义，掌握其几何意义能够更好的帮助学生理解重要不等式；为更好的应用重要不等式解决问题，需掌握其证明方法，重要不等式的证明方法形式多样，可通过综合法、参数配方法、比较法、、数学归纳法、配方法等多种不同的方法证明不等式。其次，重要不等式是数学所学不等式知识点中的一个重要组成部分，是研究数学和其他交叉学科的重要工具。事实上,对不等式的研究由来已久,最开始不等式并不是一门学科,只是数学家在他们研究领域使用的引理,或者是证明和研究所得到的副产品而已.自不等式成为一门系统的学科后,不等式的研究开始逐步变得多样化、系统化.在国外,1961年贝肯巴赫和别尔曼的《不等式》,1970年密特利诺维奇的《解析不等式》这两本书都对当时的不等式研究成果进行了总结;国内,1989年匡继昌的《常用不等式》一书是由中国人自己编撰的第一部关于不等式的著作,并第一次大量的收录了中国数学家们发现的新的不等式.除此之外,在1981发表的一篇论文中,胡克教授提出了一种全新的不等式,现在称之为胡克(HK)不等式.关于不等式的理论研究至今仍在继续,从未停歇.研究不等式得到的一些成果不仅限于数学领域的应用,也可用于解决生活中的一些问题,从这些问题中我们可以看出不等式的有用性以及研究它的重要意义.本文通过证明重要不等式、应用重要不等式解决问题，提高学生的思维能力和培养学生解决实际问题的能力，本文对重要不等式的证明与解题应用进行概括研究.

2基本不等式的证明与应用基本不等式在中学是一个必考的知识点,不仅能够证明许多重要不等式，而且在不等式的解题过程中有着广泛的应用，如：比较数大小、求最值、解决实际问题等等.基本不等式的证明在课本中有过介绍，老师往往从平面几何视角中的弦图法、不等式视角中的综合法与换元法进行证明，这里将从其他几个视角给出基本不等式的证明及其应用，加深对基本不等式的理解，提高利用不等式解决问题的能力.2.1基本不等式的定义任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设为正数，则有以下不等式成立：当且仅当时等号成立.2.2基本不等式的证明(1)不等式视角证法1利用柯西不等式根据柯西不等式，可知:所以，即证法2利用排序不等式根据对称性，不妨设，则，由排序不等式，得，即可证基本不等式(2)向量视角证法3利用向量数量积设根据得即可证基本不等式(3)三角函数视角证法4利用三角函数在平面直角坐标系中，设则.因为即即可证基本不等式2.3基本不等式的应用基本不等式结构简约，形式优美，是高中数学的重要考点．一正、二定、三相等，是基本不等式在应用时需要依次满足的条件，三者缺一不可.基本不等式在应用过程中常与其它知识点交汇[3].作为高考的热点问题，其解决方法一般从这些知识点出发，构建变量与变量之间的等量关系，最后选用适当的方法求解．(1)在不等式中的应用例1(2020年高考天津卷理科题14)已知，，且，则的最小值为[3].解析因为，，且则由基本不等式当且仅当时取等号，结合，得或时取等号.点评本题考查基本不等式的应用，利用常数代换法是解决本题的关键[3]。(2)在平面向量中的应用例2(2015年高考天津卷理科题14)在等腰梯形中，已知，2，，，动点和分别在线段和上，且，则的最小值为．解析因为得（）又因为所以（）（）根据题意，，则有当且仅当时取等号.点评本题考查平面向量的基本定理和数量积运算，考察基本不等式的应用，解题关键是利用未知数的关系，最后通过基本不等式得出最小值[3].(3)在三角函数中的应用例3(2020年高考全国卷理科题21)已知函数(1)讨论在区间()的单调性；(2)证明：；(3)设明：.解析(1)略；(3)略；(2)构建函数化简得由基本不等式得：故有.点评本题考察三角函数的运算，考察基本不等式的应用，关键在于构造.小结从上述例子可以看出，在基本不等式应用解题过程中要注意以下两方面:一方面是注意基本不等式成立的条件;另一方面是合理构造基本不等式中的和或积[3].3均值不等式的证明与应用均值不等式是证明其他不等式的重要方法，拥有不可代替的重要地位，而运用均值不等式的原理来分析问题、解决问题的重要方法，在解决数学问题上均值不等式的许多性质起到了非常重要的作用，本文着重研究了均值不等式定义证明及其在初等数学中的应用.3.1均值不等式的定义调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数[2].即:设均大于零，其中，调和平均数：几何平均数：算术平均数：平方平均值：当且仅当时等号成立.3.2均值不等式的证明关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、排序不等式法、柯西不等式法等等[2]，都可以证明均值不等式，在这里采用排序不等式法的证明方法：简单介绍一下排序不等式及其推论：逆序和不超过乱序和，乱序和不超过同序和.即：其中有两个有序组数及，是的任意排列，当且仅当或时等号成立[6].推论1：若对于有，则，等号成立的条件是，推论2：若对于，且，则.等号成立的充要条件是.1)证明调和几何平均不等式：即：等价于又因为由推论2知(1)式成立，故成立，等号成立的充要条件是(2)证明几何算术平均不等式：即：等价于又因为由推论2知(2)成立，故成立，等号成立的充要条件是.(3)证明算术平方平均不等式：即：令且，则所以从而等号成立的条件是，即由此，即可证，当且仅当时等号成立.3.3均值不等式的应用(1)用均值不等式求极限（1）用均值不等式求极限.例1求极限.[4]解析由几何算术平均不等式，有从而有由两边夹原则，可得(2)用均值不等式求最值例2已知，求.解析因为所以由均值不等式，可得当且仅当即或时，的最小值为1(3)用均值不等式比较大小试判断之间的大小关系.即即4排序不等式的证明与应用4.1排序不等式的定义设有两组有序实数组，则有下列不等式成立：其中是自然数的任一排列，当且仅当或时等号成立[8].4.2排序不等式的证明首先，令显然又因为所以有所以同理即可证排序不等式，当且仅当或时等号成立4.3排序不等式的应用(1)用排序不等式证明不等式例1已知，证明：故原不等式即可证.例2已知且满足，证明：解析不妨设，则由排序不等式得同理两式相加得所以由于.所以故原不等式即可证[8].(2)用排序不等式解三角问题例3在中，为三边长，证明：解析不妨设，则所以同样所以所以故原不等式即可证[9].5柯西不等式的证明与应用5.1柯西不等式的定义(1)柯西不等式的一般形式对于，则有下列不等式成立：可简化写成：当且仅当时等号成立.(2)柯西不等式的特殊形式形式1二维形式：当且仅当时等号成立.形式2三维形式：当且仅当时等号成立.形式3向量形式：当且仅当时等号成立.5.2柯西不等式的证明(1)利用均值不等式因为对任意实数和有：所以有将上述不等式从到相加，可得选取使得则有因为即可证柯西不等式当且仅当时等号成立[5](2)利用排序不等式令且，记.由排序不等式有即于是从而即可证柯西不等式当且仅当时等号成立，即等号成立[7].5.3柯西不等式的应用柯西-施瓦茨不等式的应用常体现在数学中，它是新课程标准教科书的选修课内容，是教学中的一个重要知识点，通常被称为柯西不等式，其形式的多样性决定其应用的广泛.巧妙应用柯西不等式可以将许多繁琐复杂的问题简单化，常常用于证明相关数学命题和求解有关数学问题，比如求最值，证明恒等式以及解方程组，要想在题目中运用它，关键要按照问题的已知并根据已有的形式巧妙构造出两组数，下面选取典型例题简要谈谈它在数学中的应用.5.3.1用于求最值例1已知,求的最值.解析由柯西不等式可得:即,当且仅当时,等号成立.因为 ,所以 ,即故的最大值是,最小值是,技巧分析：在这类问题中，需要根据题目相应的条件求最值，表面上看与条件联系不大，但通过仔细观察分析所给式子的特点，可以看到题目中的代数式 ,它可以拆分成，并且可以改写成，这样就凑出了柯西不等式的结构，转化成了可以应用柯西不等式的形式，再结合柯西不等式的二维形式是 ，以此来达到解题的目的.5.3.2用于证明恒等式例2已知,求证:.解析由柯西不等式,得当且仅当 时，上式取等号，所以,,于是证得.技巧分析：在这类问题中，已知和要证的式子都是恒等式，要证明这类问题，首先要能感受出、，以此为切入点，根据柯西不等式的二维形式的变形 ，合理选用所代表的特定部分，直接使用柯西不等式，并利用取等号的充要条件来实现这一目标.5.3.3用于求解方程组例3在实数集内解方程组解析由柯西不等式得，，又，所以有通过观察不等式只有等号成立,再根据柯西不等式等号成立的条件,有 ，与原方程联立有计算得解为技巧分析：在这类问题中，题目是两个方程，要求解3个未知数，它本是不定方程组，其特点是解往往有无穷多个，不能唯一确定，根据题意求实数，方程只有有限组解，属于技巧方程.首先,这里的柯西不等式将用于将方程转化为不等式，根据方程的特点，不等式也可以转化为方程，这是一个非常重要的步骤.然后，根据柯西不等式的取等号条件，得到一个新的方程，并将其与原方程组中的一个简明方程相结合，形成一个新的方程组,这个新的方程组与方程组具有相同的解，并且新方程组简单且容易解出.还有一类题目涉及到与解析几何知识相关，正常解题需要用到解析几何相关知识，相对步骤繁杂，但对有一部分题目如果能够灵活借助柯西不等式进行处理会在原步骤基础上简单不少，最终问题解决往往呈现的是几步代数推理.综上可以看到通过恰当的配凑，巧妙应用柯西不等式解决某些初等数学问题是很便利的，但是大多数学题目是有差异的，因此要准确识别这些差异，抓住问题的个性化特征，多进行归纳思考来优化认知结构，此时可以通过巧拆常数、重新安排某些项的次序达到利用柯西不等式结构的目的，在差异中寻找共性，最终找到解决问题的通用方法

6结束语本文列举的几个重要不等式是数学学习中的重点，包含的内容较多，高考中出现的题型及解题技巧也是多种多样[8-10],所以对该部分知识进行学习的时候也是有一定的难度.通过以上的研究可以得到，熟知重要不等式的证明方法与应用方向对解题有极大的帮助，选择合适的重要不等式，掌握其运算技巧，从而就能找出解题的突破口.

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