课件群编条件概率与独立性

1§1.3条件概率与事件的独立性§1.3.1条件概率§1.3.2事件的独立性引例110张抽奖券中有一张有奖，甲乙两人先后从中随机抽取一张。(1)乙中奖的概率是多少？(2)甲先抽发现未中奖，此时乙中奖的概率是多少？§1.3.1条件概率解：(1)由古典概型可知，乙中奖的概率为1/10.(2)由于已知甲先抽发现未中奖，此时乙抽取的样本空间中有9个样本点，有利场合数仍为1，因此乙中奖的概率为1/9.23在实际应用中，经常需要了解随机事件A与B之间有无联系、影响，如：当B已经发生后，A再发生的概率。这就是下面要介绍的“条件概率”P(A|B)

。条件概率引出的背景摸彩的例子：在摸彩活动中，你摸到头奖(而别人都没有)的概率是很小的，有概率头脑的人大多不会对此热衷。但是，当活动过半以后，大奖仍旧未出时，稍有头脑的人，积极性都将大增；一旦发现剩余的总奖金超过了未售彩票总值，就可能有人会将其全买下！ΩOthersYou(Others)A(You)B4引例2试验E为掷一颗骰子，A=“掷出偶数点”，B=“掷出2点”。求P(A),P(AB),P(B|A)。解:因样本空间故因在A发生的条件下，许多不确定因素已排除，故样本空间从Ω变为A，则条件概率的计算5定义：设两个事件A、B，若P(A)>0,则称为事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。注1：当A=Ω时,条件概率P(B|Ω)就是无条件概率P(B).注2：

条件概率P(B|A)满足概率公理化定义中的3个条件，因此条件概率P(B|A)也是概率，因此具备概率的一切性质。例如：条件概率的定义6课堂练习试证：(1)(2)若则7课堂练习解答8例1

一批产品100件,有80件正品，20件次品，其中甲生产的为60件，有50件正品，10件次品，余下的40件均由乙生产。现从该批产品中任取一件，记A=“正品”，B=“甲生产的产品”试计算：解：(样本空间为)(样本空间为)例题与解答9例2

10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，抽取2个。如果已知第一次取到次品，计算第二次又取到次品的概率？解:设{第个取到的是次品},需求出(注:也可用条件概率公式计算)例题与解答10直接压缩样本空间用条件概率公式总结：条件概率的计算方法11乘法公式：对于两个事件A与B,

(1)若P(A)>0，则P(AB)=P(B|A)P(A)；

(2)若P(B)>0，则P(AB)=P(A|B)P(B)。推广：

(1)当P(AB)>0时，P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)(2)P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1)

（前提：作为条件的事件,其概率大于零。）证明：由于A

AB，故P(A)≥P(AB)>0

P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (注意条件)乘法公式12例3袋中有3个红球，2个白球。每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球。若从袋中连续取球4次，试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解：设Ai为第i次取球时取到白球，i=1,…,4,则例题与解答13例4

设n张彩票中有一张中奖票。(1)已知前k-1人没中奖，求第k人中奖的概率？(2)求第k人中奖的概率？解：另解：直接用古典概型中奖概率与摸奖顺序无关例题与解答14引例一个袋子内装有10个球，其中红球7个、黑球3个。每次从中任取一球，连续两次。记A＝“第一次取到红球”；B＝“第二次取到红球”。求P(B)、P(B|A)和P(B|Ā)。解：(1)有放回抽取：P(B)＝0.7

＝P(B|A)＝P(B|Ā)；

(2)无放回抽取：P(B)＝0.7，而P(B|A)＝6/9＝2/3，P(B|Ā)＝7/9§1.3.2事件的独立性15由引例可见,在情形(1)下，P(B)=P(B|A)＝P(B|Ā)，说明事件B发生的概率，不受事件A发生与否的影响；在情形(2)下，P(B)≠P(B|A),P(B)≠P(B|Ā)，说明事件B发生的概率受到事件A发生与否的影响。两个事件独立性的直观概念：

当事件B发生的概率不受事件A发生的影响，即P(B)=P(B|A)，则事件B与A独立。1.两个事件的独立性16两个事件独立性的定义当事件B发生的概率，不受事件A发生与否的影响时，即P(B)=P(B|A)，乘法公式P(AB)=P(B|A)P(A)可以改写为P(AB)=P(A)P(B)。定义：若两个事件A、B，满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B相互独立。(简称A和B独立)用P(AB)=P(A)P(B)定义独立性，比用P(A)=P(A|B)适用范围更广。理由：后者受P(B)>0限制，而前者不受该条件限制。17有关独立性的推论1推论1：设A、B为两个事件，P(B)>0，则A和B独立的充要条件：P(A)=P(A|B)证明：(充分性)因为P(A)=P(A|B)，所以

P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)。(必要性)由独立性知,P(AB)=P(A)P(B),而由乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B),则P(A)=P(A|B)。P(A)P(B)=P(A|B)P(B),又因为P(B)>0，所以18推论2：设为两个事件，则下列四对事件中：

和，

和，

和，

和，只要有一对事件是独立的，那么其余三对事件也是独立的。仅证明若独立，则和也独立。证明：有关独立性的推论2其余类似可证。有关独立性的推论3两个事件A和Ｂ独立，不仅事件Ａ的发生与否不影响事件Ｂ的发生的概率；而且事件Ｂ的发生与否不影响事件Ａ的发生的概率.推论3：设0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下面四个等式等价，即其中任何一个成立，另外三个也成立：1920例题与解答例5甲、乙二人分别向目标射击一次，设甲击中的概率为0.7，乙击中的概率为0.8，求甲、乙二人至少有一人击中的概率.解一：记A=“甲击中”，B=“乙击中”，可以认为A、B是独立事件，A+B则表示至少有一人击中。

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0.7+0.8－0.56=0.94解二:由A和B独立可知:和也是独立的,所以21例题与解答例6有一个均匀四面体，其中有三面分别漆成全红、全黑、全白色，剩下的一面漆有红、黑、白三色。随机投掷一次，记事件A、B、C分别表示底面漆有红色、黑色、白色。试判断A与B的独立性、A与C的独立性、B与C的独立性。解:由古典概型，P(A)=P(B)=P(C)=2/4=0.5 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4=0.25 P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，

P(AC)=P(A)P(C)。★

3个事件中任何2个事件都独立，称该3个事件两两独立.222.多个事件的独立性思考：上例中P(C|AB)=P(C)成立否?P(C|AB)≠P(C)表明事件C发生的概率受到其余两个事件同时发生的影响。因此， 在涉及两个以上的多个事件的相互独立时，还应要求任何几个事件发生与否都不影响其余事件的概率.上例中P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，因此A、B、C虽然两两独立，但是不相互独立。23多个事件相互独立的定义定义：设A1,A2,…,An为n个事件，若对于正整数m(2≤m≤n)以及1≤i1<i2<…<im≤n,都有

P(Ai1Ai2…Aim)=P(Ai1)

P(A

i2)

…P(Aim),则称事件A1,A2,…,An为相互独立的。当m=2时，称事件A1,A2,…,An为两两独立。n个事件相互独立不同于n个事件两两独立。 在例6中，3个事件两两独立，但不相互独立。在很多实际应用中，判断一些事件的相互独立性，不是利用定义计算，而是根据问题的实际意义分析确定。24多个事件相互独立的直观解释直观性定义：设A1,A2,…,An为n个事件，若它们中任何一个事件发生的概率都不受其余某一个或某几个事件发生与否的影响，则称事件A1,A2,…,An是相互独立的。推论1：设n个事件A1,A2,…,An是相互独立，则P(A1A2…An)=P(A1)

P(A2)

…P(An)推论2：设n个事件A1,A2,…,An是相互独立，则它们中的任意一部分换成各自事件的对立事件后，所得的n个事件也是相互独立的。25例题与解答例7

甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7，丙译出的概率为0.6，求密码能译出的概率？解:A=“甲译出密码”,B=“乙译出密码”,C=“丙译出密码”,D=“密码被译出”,显然A、B、C相互独立，D=A+B+C，26例题与解答例8

甲、乙、丙三部机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8，0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要照管的概率？解：设A1,A2,A3分别表示在这段时间内，甲、乙、丙机床需要照管，Bi表示在这段时间内，恰有i台机床需要照管,i=0,1。显然，A1,A2,A3相互独立，B0与B1互不相容,

所以27课堂练习1.设A、B、C是三个相互独立的随机事件,且0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()解:由于A、B、C是三个相互独立的随机事件,那么其中任意两个事件或其对立事件的和、差、交与另一事件或者其对立事件是相互独立的，根据这一性质，只有B是不成立的。282.设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是()

A.A与BC独立 B.AB与A+C独立

C.AB与AC独立 D.A+B与A+C独立解:选项B、C、D的两个事件中都出现事件A，因此都不可能独立。因此考察选项A,如A与BC独立，则P(ABC)=P(A)P(BC)但A、B、C两两独立，因此P(BC)=P(B)P(C)因此P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，即A、B、C相互独立，反之亦然。因此，应填选项A。课堂练习293.试验的独立性回顾随机事件的独立性试验的独立性

直观定义：若有n个试验E1,E2,…,En,每个试验的每个结果都是一个事件。若E1的任一事件与E2的任一事件，…，与En的任一事件相互独立，称E1,E2,…,En相互独立。若这n个试验还是相同的，则称其为n重独立重复独立试验。例如：n次有放回摸球是n次重复独立试验；n次无放回摸球是n个相互不独立且不重复的试验。30伯努利试验：若随机试验E只有两种对立的结果A和Ā

，则称E为伯努利试验。注：一般以A代表“成功”，Ā代表“失败”。给定P(A)=p,(0<p<1),则P(Ā)=1-p,就给出了伯努利试验的所有事件的概率。n重伯努利试验：将伯努利试验独立地重复n次,称这n次试验为n重伯努利试验。伯努利概型：n重伯努利试验所对应的概率模型称为伯努利概型。4.伯努利（Bernoul