2022-2023学年陕西省咸阳市武功县高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年陕西省咸阳市武功县高一下学期期中数学试题

一、单选题

ɪ.若i(l+z)=2,则W=()

A.-l-2iB.-l+2iC.l-2iD.l÷2i

【答案】B

【分析】根据复数的运算和共辆复数的定义即可.

【详解】vi(l+z)=2,

2

.'.z=­1=-2i—1.

i

.∙.z=-l+2i.

故选：B.

2.已知£=(-1,3),⅛=(2,λ),^α±(α-⅛),则4=()

A.-3B.4C.3D.-4

【答案】B

【分析】由平面向量的坐标运算求解，

【详解】因为ZR闽，所以ZG-L)=Z.岸10-(-2+32)=0,所以;1=4.

故选：B

3.设工是单位向量，M=3*丽=-3"，|而|=3,则四边形N8CZ)是()

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【答案】B

【分析】由题知方=3工=-无，进而得I万|=卜万|,ABHCD,再根据菱形的定义即可得答案.

【详解】解：因为在=3&CD=-3e,

所以75=3工=-诙，即9//函，同=|西=恸=3口=3,

所以四边形488是平行四边形，

因为回卜3,即网=|囹，

所以四边形N5C。是菱形.

故选：B

4.正方体中，点P,。，R,S是其所在棱的中点，则户。与RS是异面直线的图形是()

【答案】C

【分析】对于A,B,D,利用两平行线确定一个平面可以证明直线PO与RS共面，对于C,利用异

面直线的定义推理判断作答.

【详解】对于A,在正方体力88-44GA中，连接4C，/£,则/c〃4G，如图,

因为点P，。，R,S是其所在棱的中点，则有尸O∕∕ZC,RS//4G，因此P0〃RS,则直线P。与

RS共面，A错误;

对于B,在正方体力88-440。|中，连接/C,QS,PR,如图,

因为点P,Q,R,S是其所在棱的中点，有APuCR且AP=CR,则四边形ZPAC为平行四边形,

即有/C77PR,

又QSUAC,因此0S//PR,直线产。与RS共面，B错误;

对于C,在正方体/8CD中，如图,

因为点P,Q,R,S是其所在棱的中点，有RSUBB而8片U平面/8耳4，RSe平面月88/,

则AS〃平面43片4,PQU平面/8月4，则直线P。与RS无公共点，又直线P。与直线8片相交,

于是得直线PO与RS不平行，则直线尸。与HS是异面直线，C正确；

对于。，在正方体Z8CD-4MGA中，连接48,OlC,PS,QR,如图,

因为44〃JBC且40=BC,则四边形为平行四边形，有A∖B"D∖C,

因为点P,Q，R,S是其所在棱的中点，有PS"A、B,QRHDxC,则尸S//QR,直线尸。与HS共面,

D错误.

故选：C

5.已知两个力耳，E的夹角为（它们的合力大小为10N,合力与耳的夹角为:，那么后的大小

为（）

A.5√2NB.5NC.5√3ND.ION

【答案】A

【分析】因为合力与M的夹角为:，用两向量夹角的余弦公式列式求解

【详解】因为两个力耳，片的夹角为？所以耳∙E=o,

又因为它们的合力大小为ION,合力与M的夹角为：，设合力与月的夹角为。，

所以8S"崎#=露=¥'解得同=50.

故选：A.

6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=N8=2,则

【分析】先求出直观图中，AADC=45o,AB=BC=2,AD=加,AC=4,即可得到原图形是一个直角

梯形和各个边长及高，直接求面积即可.

【详解】直观图中，ZADC=45°,AB=BC=2,DCLBC,/.JD=2√2,DC=4,

.∙.原来的平面图形上底长为2,下底为4,高为4√Σ的直角梯形，

.∙.该平面图形的面积为（2+4）x4五x；=12".

故选：C

7.在Δ∕18C中，若COS2/+cos。8>2-si∏2C，则A48C的形状是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.无法判断

【答案】A

【分析】cos2A+cos2B>2-sin2C<=>sin2+sin2B<sin2C,利用正弦定理可得"+/，再利

用余弦定理即可判断三角形形状.

【详解】由CoS°/+cos?8>2-sin?C，得sin?N+sin?B<sin?C，由正弦定理，Wa2+b2<c2>

所以cosC="-+'-><0,故。为钝角，所以A48C是钝角三角形.

Iab

故选：A.

【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，考查学生对定理的灵活运用，是一道容易题.

8.当Z=-Y时，ZK）°+z5°+l的值等于（）.

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【分析】由已知先求出T的值，然后代入ZHW+z5。+1化简可得答案

*iu）ɪ—1—iz2（1—i丫1—2i+i~

【详解】解：由z=-0∙,得aZ=I—y—I=-----------=—ɪ,

所以2'°。+25°+1=（-y°+（7）25+1

=-1—i+l=-i

故选：D

二、多选题

9.下列说法中，错误的有（）

A.向量荏与向量强是相等向量

B.与实数类似，对于两个向量£,B有£=B，α>⅛.力三种关系

C.两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行

D.若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合

【答案】ABC

【分析】利用向量的概念、相等向量、共线向量的概念一一判定即可.

【详解】对于A项，可知向量而与向量0方向相反故非相等向量，A错；

对于B项，由于向量具有方向，故不能判定大小，其模有大小，B错；

对于C项，向量的平行包含重合，但有向线段平行与重合是两个概念，C错；

对于D项，共线向量所在的直线可以是平行也可以重合，D正确.

故选：ABC

10.在中，角45,C的对边分别为α,6,c.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的

是（）

A.a=5,⅛=7,c=8,有唯—•解

B.b=18,c=20,B=60°,无解

C.d=8,ft=8√2,B=450,有两解

D.1=30,6=25,4=150。,有唯一解

【答案】AD

【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B,C,D选项.

【详解】解：选项A,a=5,b=7,c=8,已知三边三角形确定，有唯一解，A正确；

6

选项B,由正弦定理得：ɪɪɪ,则.Ccsin820×T5√5^∣,再由大边对大角可得

sin5SinCSlnC=---=——ɪ=-----<1

⅛189

C>B,故C可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；

b

选项C,由正弦定理得：，a一=一与，则°—asinBδ×T1,且α<b,由大边对大角可

sm”即8SmZ=丁=Iɪ=”

得/<8,则A只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；

选项D,由正弦定理得：ʌɪ-ɪ-,sin8=刎更=争臀=三<1,由于/=150。，则8是锐

sinAsinBa3012

角，有唯一解，D正确.

故选：AD.

H.m,〃是空间中不同的直线，α,β,V是不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若IHm,〃?Uα,Iaa,则//∕ɑ

B.若IUa,muβ,allβ,则〃/加

C.若a//£,β∣∣γ,则α∕∕y

D.若/,小是两条异面直线，且〃∕α,mila,IHβ,m∕∕β,则ɑ//夕

【答案】ACD

【分析】根据直线、平面的位置关系逐一判断即可.

【详解】由线面平行的判定可知，故A正确；

若Iua,muβ,a∕∕β,贝∣J∕与〃?异面或平行，故B错误；

由面面平行的性质可知，故C正确；

I,切是两条异面直线，IMa,mHa,U∕β,mllβ,则存在直线/使得M〃”?，且相交，设/,M

确定的平面由面面平行的判定可知7〃a,同理可得力/夕，则α〃夕，故D正确.

故选：ACD

12.如图，正方形RBCO的边长为2,动点P在正方形内部及边上运动，AP=^JB+μAD,则下列

结论正确的有（）

A.点P在线段BC上时，方.万为定值

B.点P在线段C。上时，万.而为定值

C.2+〃的最大值为2

D.使/1+2〃=：的P点轨迹长度为正

22

【答案】AC

【分析】以点A为坐标原点，AB、4。所在直线分别为x、V轴建立平面直角坐标系，设点

P(X,y)(0≤x≤2,0≤y≤2),利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】以点A为坐标原点，AB、所在直线分别为X、夕轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

设点P(XM(O≤x≤2,0≤y≤2),

则/8=(2,0),AD=(0,2),AP=(x,y),AB-AP=2x>

当点P在线段8C上时，x=2,AB-AP^2x=2×2=4＞故A正确;

当点P在线段CD上时，X不是定值，布.方=2x不为定值，故B错误；

由万=抚+得(XM=42,0)+〃(0,2)=(2人2〃)，则/1=：,〃=?

所以2+〃=；(x+y),故当X=V=2时，即当点P与点C重合时，X+〃取得最大值2,故C正确;

由2+2〃=；得g+y=；，直线之+y=；交X轴于点E(LO),交丁轴于点尸(0,；］,

所以，使4+2〃=；的尸点轨迹为线段E尸，且怪曰=卜+(；)=¥，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13.已知实数X,y满足(2+i)x=4+yi,则x+y=.

【答案】4

【分析】根据复数相等列方程求解即可.

【详解】∙∙∙(2+i)x=4+”,

.,.2x+xi=4+yi,

4

.∙[,χr=y,

..x=y=2,

x+y=4.

故答案为：4

14.已知同=6,W=3,Z/=T2,则Z在B方向上的投影数量是.

【答案】-4

【分析】根据向量数量积的公式和投影的概念即可.

【详解】α∙⅛=∣α∣j∕j∣cos6>=3WCOSe=-12,

.∙.Lr∣cos0=Y

故G在B方向上的投影数量是-4.

故答案为：-4

15.已知复数1+i是关于X的方程χ2+px+g=0(p,"R)的一个根，则加+列=.

【答案】2√2

【分析】根据实系数方程虚根成对原理可得复数1-i也是方程的一个根，利用韦达定理及复数代数

形式的运算法则求出p、q,即可求出其模.

【详解】因为复数1+i是关于X的方程f+px+q=0(pM∈R)的一个根，

所以复数1-i也是关于X的方程/+夕义+<7=0(。应€1<)的一个根,

(l+i)+(l-i)=-p

所以,所以P=-2、g=2,

(ι+i)∙(ιτ)=q

所以加+列=卜2+24=J(-2f+22=2√L

故答案为：2√Σ

16.已知矩形ZBCD的顶点都在球心为。的球面上，AB=y∕3,8C=3,且四棱锥。-/8CC的体

积为4百，则球。的表面积为.

【答案】76π

【分析】先确定球心到面/8CD的距离，再计算球半径即可.

【详解】设球心到面488的距离为d,半径为R,由矩形48CD的顶点都在球心为。的球面上可

知球心在底面ZBCD的投影为矩形的中心,

21

易得4D=AB+BC=2√3,S^BCD=3√3，VOTBcn=/®nd=4,

故K==Vr^=S球=4或2=76π.

故答案为：76π

四、解答题

17.平面内给定两个向量Z=(3,2),6=(-1.2)

(1)设［与］的夹角为。,求CoS。；

(2)求②-向.

【答案】⑴逅;

65

(2)√53.

【分析】(1)根据已知条件分别求出Z与坂的数量积及模长，利用向量的夹角公式直接代入求解即可;

(2)根据向量的坐标运算以及模长公式求解即可.

【详解】⑴因为2=(3,2),S=(-1,2),

所以±%=3x(-l)+2x2=1,

Iq=y∣32+22=y∕13,W=^(-l)2+22=卡,

na-b1√65

所以c°s"丽=而南=有；

(2)因为α=(3,2),(=(-1,2),

所以2H(3,2)_(T,2)=(7,2),

所以∣2l-B∣=J72+22=底.

18.如图，在四棱锥P-43C。中，底面力8C。是矩形，以为点尸到平面48C。的距离，48=4,

PM

AD=3,PA=3,点E、M分别在线段48、PC上，其中E是/8中点，—=2,连接ME.

MC

P

M

/∕∖χc

AEB

（1）当2=1时，证明：直线ME〃平面以。；

（2）当义=2时，求三棱锥BC。的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）2

【分析】（1）构造平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即可.

PM

（2）根据窸=2,求出三棱锥CD的高，然后利用体积公式即可.

【详解】（1）取尸。中点N,连接AN,

∙∙∙Λ∕N是APCZ）的中位线，.∙.肱W∕CO,S,MN≈-CD,

2

又AEHCD,且ZE=‘CD,.•.四边形NEMN为平行四边形，

2

--MEIIAN

又MEa平面R4D,ANu平面R4D,：.陋〃平面R4D.

(2)V-=2,尸到平面188的距离为3,点M到平面/8C。的距离为1,

MC7

V,.=-×ɪ×4×3×1=2.

,κιw-zrfγcγ"32

19.已知z=α+bi（“/eR）,z+2i和E均为实数，其中i是虚数单位.

2-1

⑴求复数z；

-17

（2）若z∣=z+；对应的点在第四象限，求实数机的取值范围.

m-∖加+2

【答案】（I）Z=4-2i

•7

【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则化简z+2i、ɪ,再根据复数的概念得到方程，求出a、

2-ι

6的值，即可得解；

（2）结合（1）得到z∣,再根据题意得到不等式组，解得即可.

【详解】⑴由z+2i=a+(6+2)i为实数，可得6+2=0,则b=-2.

Z_a+⅛i_(a+6i)(2+i)_2a+2Fi为实数，则与=0,得“=4,

x2≡i^2-i(2-i)(2+i)^5

Jɔ

.∙.z=4-2i.

/_、・

(2)*.,Zj=ZH-------1-------------7-----1,

m—1m+2

.•・4=4+—L+12—ɪ-]i,则Zl在复平面内对应的点的坐标为(4+—2-一ɪ-

m-∖∖m+2JVm-∖m+2

-17

而4=z+―---对应的点在第四象限，

m-∖m+2

4+^—>0

■mɪ,解得-2</<3或1<加<3,

2———<042

加+2

故加的取值范围为’2,目口卜|）.

sinJ+sinB

20.在春BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

b-asinJ+sinC

（1）求角8的大小;

(2)若SinC=2sin4,且S“蹂=26，求〃和c；

(3)若6=百，ac=∖,求的周长.

,田eQ，、2兀

【答案】(1)∙y

(2)6F=2,c=4

(3)2+√3.

【分析】（1）根据正余弦定理化简即可.

（2）根据正弦定理结合三角形面积公式即可.

（3）根据余弦定理求出a+c的值即可.

,,ʌ,_/、.csinJ+sin

【详a解zj】（1）∆∕jI8C中，-=-------,

b-asɪn^+SinC

由正弦定理得:

c_a+b

b-aa-∖-c

/.ac+c2=h2-a1>即c2+a2-b2=-ac，

・•・cosJ+2=W=-L,

IacIac2

在三角形中，0<8<兀，

.•・8=”

3

(2)vsinC=2sin√4,由正弦定理得：c=2a,

乂—SAABC=5QCsinB—ac，∙'∙QC=8,

.a=2,c=4.

2222

(3)由余弦定理：3=b=a+c-2accosB=(^a+c)-acf:.a+c=2f

故28C周长为2+6.

21.在如图所示的正方体N8CD-∕'8'C'D'中，E,F,G分别为棱48,AA',CC'的中点

(I)证明：E,F,C,。四点共面；

(2)证明：平面EFG〃平面H8C'.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)连接。C，根据公理4可证得QV/8',再根据公理2的推论即可证出；

(2)易证EE//平面W8C',尸G〃平面48C',再根据面面平行的判定定理即可证出.

【详解】(1)连接"C,因为月88-H8'C7)'为正方体，所以∕O'=5C,且4O'∕∕8C,所以四边

形488'为平行四形.所以/8〃8’，又因为《，尸分别为棱/B,的中点，所以A'B∕/EF，

所以EF"CD'，所以E,F,D1,C四点共面.

(2)连接尸G,EG,因为E,F,G分别为棱/8,AA',CC'的中点，所以EF"4'B,因为EFa

平面HBC所以防〃平面HBC.

同理，因为/F=CG，且∕W∕∕C'G,所以ZHG。为平行四边形，所以R7∕∕∕C’,又因为

FGCABC',所以FG〃平面HSC'.又因为MCFG=尸，所以平面EFG〃平面48C'.

AEB

22.某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆

面，该圆面的内接四边形/BCO是原棚户区建筑用地，测量可知边界/8=4。=4万米，BC=6万

米，Cr>=2万米.