2023-2024届新高考一轮复习湘教版 3-3 导数与函数的极值、最值 学案

第三节导数与函数的极值、最值

【课标标准】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会

用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最

大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

必备知识夯实双基

知识梳理

1.函数的极值

(1)函数的极小值

函数y=∕(x)在点x=a的函数值式。)比它在点x=”附近其他点的函数值都小，/(a)=0;

而且在点x=”附近的左侧，右侧,则点“叫作函数>=段)的极小值点,尬)

叫作函数y=y(x)的极小值.

(2)函数的极大值

函数y=√(x)在点x—b的函数值,大匕)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，/3)=0；

而且在点x=h附近的左侧,右侧,则点h叫作函数y=∕(x)的极大

值点，犬/叫作函数y=∕U)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

2.函数的最值

(1)函数在他，切上有最值的条件

一般地，如果在区间3,句上函数y=Λx)的图象是一条的曲线，那么它必有最

大值和最小值.

(2)求函数y=∕(x)在区间［”,切上的最大值与最小值的步骤

①求函数y=Ax)在区间(a,h)±.的；

②将函数y=Ax)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一

个是最小值.

［常用结论］

1.对于可导函数y(x),/(χo)=o是函数yu)在X=XO处有极值的必要不充分条件.

2.若函数/U)在开区间①，份内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.

3.对于连续的函数y="r),在区间［α,句上，y=Λx)的极值有可能是最值，但最值只要

不在区间端点处取得，其必定是极值.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()

(2)导数等于0的点一定是函数的极值点.()

(3)函数的极大值不一定比极小值大.()

(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()

2.(教材改编)函数式X)的定义域为R,导函数HX)的图象如图所示，则函数HX)()

A.无极大值点，有四个极小值点

B.有三个极大值点、一个极小值点

C.有两个极大值点、两个极小值点

D.有四个极大值点、无极小值点

3.(教材改编)函数正X)=InX-X在区间(O,e］上的最大值为.

4.(易错)函数以)=n⅛3-2mx2+尤在X=I处取得极大值，则实数，〃的值为()

A.1或3B.3

C.1D.0

5.(易错)若函数KX)=4x+机在［0,3］上的最大值为4,则根=.

关键能力•题型突破

题型一导数与函数的极值

角度一求函数的极值

例1⑴求函数y(x)=(x+l)ex的极值.

(2)求函数y(x)=dlnx—(x+l)(αGR)的极值.

题后师说

利用导数求函数极值的一般步骤

一|确定函数的定义域

S二却I求方程/'(X)=0的痕

用方程∣:(x)=O的根和不可导点的X的值顺次将

函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格

I由/'(X)=O的根左右的符号以及/'(.r)在不可导点

刍四方T左右的符号来判断/(X)在这个根或不可导点处

I取极值的情况

巩固训练1

(l)［2023∙河北石家庄模拟］已知函数"V)=T型，则该函数的极小值为()

A.eB.3

C.OD.1

(2)已知函数兀V)=Ox3-3Λ2+1一;3∈R,"≠0),求函数/U)的极大值与极小值.

角度二利用极值求参数

例2⑴已知√(x)=x3+30x2+fec+α2在χ=-ι处有极值0,则“+/>=()

A.11或4B.-4或一11

C.HD.4

(2)[2023•河南南阳模拟]已知函数7U)=Λ2—αlnx+l在(1,3)内有极值点，则实数”的取

值范围是()

A.[2,18)

B.(2,18)

C.(-8,2]U[18,+∞)

D.[2,18]

(3)若函数Tu)=eYsinx—α)在区间(O,π)上存在极值，则实数”的取值范围是.

题后师说

已知函数极值点或极值求参数的两个要领

J根据极值点处导数为O和极值这两个条件列方程

巧寸V组，利用待定系数法求解

,因为某点处的导数值等于O不是此点为极值点的

充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证

xx合理性

巩固训练2

(1)函数√(x)=x3+0r2+3无一9,已知儿¥)在x=-3时取得极值，则〃=()

A.4B.5

C.6D.7

(2)函数y(x)=33+αx2+(α+2)χ-l有极大值又有极小值，则实数α的范围是.

(3)[2023•河北沧州模拟]已知函数火X)=/-4x+αInX有一个极值点，则实数a的取值范

围为.

题型二导数与函数的最值

角度一求函数的最值

例3（1）［2023・河南平顶山模拟］函数段）=52—271”在区间［1,2］上的最大值是（）

ʌ-1B.1

cD.三

∙12

（2）［2023・安徽六安模拟］已知函数,/（x）=；+alnx,α∈R,求函数_/（x）在区间（O,e］上的最

小值.

题后师说

利用导数求函数最值的策略

当函数在一个区间内只有唯一的极小（大）值时,

这个极小（大）值就是最小（大）值，这翁情况

下可以直接写出最值

当函数在一个区间内的极值有多个时，就要把这

些极值和区间端点处的函数进行比较,比较大小

的基本方法之一就是作差法

若函数解析式中含参数，则需对参数分类讨论,

再求函数的最值

巩固训练3

［2023•山东淄博模拟］已知函数/U）=αr+6+cosx（a,⅛∈R）,若兀0在点（0,火0））处的切

线方程为y=3+2.

⑴求α,♦的值;

（2）求函数7U）在［0,2兀］上的最大值.

角度二利用最值求参数值

例4［2023•河北武安模拟］已知函数加)=*(a∈R).

(1)若a=-2,求火x)的极值；

(2)若KX)在［1,2］上的最大值为专，求实数。的值.

题后师说

利用最值求参数的值或范围是新高考的热点，常考常新，一轮复习一定要引起重视，有

时与恒成立问题综合命题.

巩固训练4

(1)当X=I时，函数yU)=alnx+6∕+3取得最大值2,则|3)=()

A.21n3+2B.

3

C.21n3—6D.—4

(2)［2023•河南济源模拟］若函数KX)=X3-3X在区间仅2—12,a)上有最大值，则实数a的

取值范围是.

真题展台］

LZHENTlZHAN

l.［2021∙新高考I卷］函数yω=∣2x—l∣-21nx的最小值为.

2.［2022∙全国乙卷］已知X=Xl和X=X2分别是函数7U)=2优一e∕(a>O且aWl)的极小值

点和极大值点.若X1<X2，则a的取值范围是.

3.［2021∙北京卷］已知函数1x)=W^

(1)若“=0,求y=∕U)在(1,犬1))处切线方程；

(2)若函数兀V)在X=-I处取得极值，求IAX)的单调区间，以及最大值和最小值.

4.［2022∙新高考［卷］已知函数外)=e*—和g。)=OX-In无有相同的最小值.

求a.

第三节导数与函数的极值、最值

必备知识•夯实双基

知识梳理

L(Wa)<o/(χ)>o(2y>(x)>o/(χ)<o

2.(1)连续不断(2)极值端点处的函数值犬”)，Λ⅛)

夯实双基

1.(DX(2)×(3)√(4)√

2.解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个，

故选C.

答案：C

3.解析：因为/(x)=［-1=?,

当x∈(0,1)时，/(x)>0,

当x∈(l,e］时,F(X)V0,

所以当x=l时，7U)取得最大值Inι-ι=-ι.

答案：一1

4.解析：/(x)=3/2χ2-4∕wx+1,

由题意得.尸(1)=，?2—£〃+I=0,解得m=l或nt=3.

当/M=I时，J(x)=xi-2x1+x,/(X)=3X2-4X+∣.

令/(x)>0,解得x>l或X令/(x)C0,解得*<1.

故T(X)在(一8,3上单调递增，在G，D上单调递减，在(I,十8)上单调递增，故X=:是

极大值点，符合题意.

当m=3时，y(x)=9x3-6x2+x,/(x)=27x2-I2x+I.

令Fa)>0,解得Ql或x《，令F(X)<0,解得如Xq,故式X)在(-8,》上单调递增，在《，

》上单调递减，在弓，+8)上单调递增，故X=］是极小值点，不符合题意.

综上所述：w=l.

故选C.

答案：C

5.解析：•.了(X)=Λ2-4=(X+2)(X-2),

令/(x)=0得X=—2或x=2.

V0≤x≤3,.∙.x=2,

当O<x<2时，/(Λ)<O,

.∙.函数1X)在区间(0,2)上单调递减；

当24<3时，/(χ)>0,

函数段)在区间(2,3)上单调递增.

又/0)=加，/3)=∕H-3,

*.*m>m-39

∙∙*=o时，7U)在［0,3］上取得最大值八0)=加

.∙.m=4.

答案：4

关键能力•题型突破

例1解析：(1)由式X)=(X+l)e',定义域为R.

/(x)=e"+(x+l)e"=(x+2)e∙r,

令/(x)>0,即x>一2,

令F(x)=O,即X=-2,

令/(x)<0,即x<—2,

所以函数的单调递增区间为(一2,+∞);

单调递减区间为(一8,—2),X=-2为极小值点，

所以函数的极小值为大-2)=—总

(2加x)=41nx—(x+l)3∈R)的定义域为(0,+∞),/(工)=：一1=?.

①当αW0时，F(x)<O,y(x)在(0,+8)上单调递减，无极值，

②当4>0时，由/(x)>0,可得(Kr<〃；由/(x)<0,可得x>α,

则当(KX<“时，/(x)>0,y(x)单调递增，

当x>a时，/(x)<0,兀r)单调递减，

故於)在x="时取极大值/(α)=αIna—a—1,无极小值.

巩固训练1解析：(1)由题意得了(X)=言普，

令f(ɪ)ɑ,得X=O或一1,

当x<-1或x>0时，/(x)<0,当一1<Λ<0时，/(Λ)>0,

所以兀。妆小值=人-1)=e,

所以极小值为e.

故选A.

(2»(X)=3OΛ2-6x=3X(Or—2),(a≠0),

令/(x)=0,则X=O或|,

当”>0,随着X的变化，/(x)与y(x)的变化情况如下:

22G+8)

X(一8,0)O(0,$

a

f(x)+0—0+

危)/极大值∖极小值/

所以小)权大烦=T⑼=1一、TW株小Bi=TE)=-ɪ-1+1；

当a<Q时，随X的变化，/(x)与/(X)的变化如下表：

(-8,|)2

X(I，0)O(O,+∞)

a

f(x)—0+0—

於)、极小值Z极大值、

所以於)观大值=大0)=1一|,於)机小值=八|)=一2一|+1»

综上所述，Xx)s*s=1~—ɪ—|+1.

例2解析：(1)根据题意，/(x)=3x2+6Or+6.

：函数兀C)在x=-l处有极值0,

•••/(-1)=3—6“+6=0且贝一l)=-l+3a-b+∕=0,

，。=1,b=3或α=2,b=9,

。=1,/2=3时/(x)=3x2+6x+320恒成立，此时函数无极值点，

*,*<7=2»6=9,

.∙.α÷⅛=ll.

故选C.

(2»a)=2x—1QO.当αWO时，/(x)>0恒成立，故函数在(1,3)内单调递增，不符合题

意；当α>0时，令/(x)>0,可得X度；令/(x)<0,可得0<x<",

所以要使函数段)在(1,3)内有极值点，只需1<亨<3,解得2<“<18.

故选B.

(3)由y(x)=ev(sinχ-a),得

/(x)=ev(sinx÷cosχ-^)=e'∣J2sin(X+—aj,

因为函数yU)=e”(sinx—〃)在区间(0,兀)上存在极值，

所以∕α)=e∙v[√∑sin。+》一&]=0在(0,兀)上有变号零点，

因为OVXV兀，所以e">0,即√∑sin(x+2)—。=0在(0,兀)上有解，

4

转化为〃=d∑sina+：)在(0,兀)上有解.

4

因为0<^<π,所,即一立<sin(x÷-)≤1,

44424

于是得一l<&sin(x+-)≤V∑.由此可得一l<tz≤V2.

4

实数。的取值范围是(一1,√2∣.

答案：(I)C(2)B(3)(-1,√2]

巩固训练2解析：(1)由题意，/(x)=3x2+24x+3,且/(-3)=0,

∙∖f(-3)=27-64+3=0,可得α=5.

∙∙√V)=3f+10x+3=(3x+l)(x+3),

当/(x)>0,有x>一：或x<—3,则在(一8,—3),(-ɪ,+8)上外)单调递增；

当/(x)<0,有一3<x<一/贝U在(-3,一》上加)单调递减；

.∙∙x=-3是火x)的极值点.

综上，a=5.

故选B.

(2)由题意得：/(x)=∕+20r+(α+2);

・・7U)定义域为R,且有极大值和极小值，∙∖Λx)=O有两个不等实根，

•••△=4〃2—43+2)>0,解得一1或〃>2,

即实数。的取值范围为(一8,—1)∪(2,+∞).

(3)由题意知了(X)=2Λ-4+;=WTg，函数於)=d—4x+“InX有一个极值点，

由/(x)=0可得a=4x—2r2,则直线y=。与函数y=4x-2x2在(0,+8)上的图象只有一

个交点(非切点)，

如图所示：

由图可知，当αW0时，直线y=n与函数y=4x—Zr2在(0,+8)上的图象只有一个交点

(非切点).

答案:(I)B(2)(—8,-l)u(2,+∞)(3)(-∞,0]

例3解析：(1)因为y(x)=∣x2-271nx,x∈[l,2],

所以/(X)=3L,=3(X+3J(X-3)<0,

所以於)在[1,2]上单调递减，所以式x)max=/⑴=∣.

故选C.

(2)∙∙y(X)=-^+：=詈，χ∈o+∞).

①当〃=O时，在区间(0,e］±∕(x)=^∣<0,此时函数,/(X)在区间(O,e］上单调递减，

则函数tf(x)在区间(O,e］上的最小值为/(e)=I+α

②当：<0即〃<0时，在区间(O,e］ɪ∕(x)<O,此时函数人工)在区间(O,e］上单调递减，

则函数./U)在区间(O,e］上的最小值为/(e)=∣+α

③当θ2<e,即公金时，

ae

在区间(0,∣)±∕(Λ)<O,此时函数八X)在区间(0,|)上单调递减，

在区间《，e)±∕ω>0,此时函数人X)在区间(4e］上单调递增，

aa

则函数段)在区间(O,e］上的最小值为淤)=〃+〃In

aa

④当》e,即(XaW时,

ae

在区间(O,e］±∕(x)≤O,此时函数次幻在区间(O,e］上单调递减，

则函数fix)在区间(O,e］上的最小值为y(e)=。+：.

综上所述，当aW∣时，函数代》在区间(O,e］上的最小值为α+j当α3时，函数段)在

区间(O,e］上的最小值为式∣)=α+"In|.

答案：(I)C(2)见解析

巩固训练3解析：(1)因为∕ζr)=0r+b+COSX(a,ft∈R),

所以，。)=。-SinX,

ff(O)=b÷cosO=b+1=2

由题意得F，加.∩1，

If(O)=a-sιnθ=a=-

所以〃=［,h=∖.

(2)由(1)得/(x)=∣r+1÷cosX,/(x)=∣-sinɪ,

因为x∈［0,2π］,

当OaWm时，/(幻，0,函数7U)单调递增，

6

当尹时，∕ω<o>函数式χ)单调递减，

66

当W1W%<2π时，/(x)20,函数式x)单调递增，

O

故当X='时9函数取得极大值/(F)==×ɪ+1+cosɪ=1H^~÷

66266122

又共0)=2,∕2π)≈∣×2π+1+cos2π=1+π+1=2+π,

因为2<1+卷+苧<2+π,

故函数1x)在［0,2兀］上的最大值为2+π.

例4解析：(1)若α=-2,於)=答，所以/(X)=嗫2,

所以F(X)>0时，Λ<-1;/(x)<0时，x>~∖.

所以人X)在(一8,一1)上单调递增，在(-1,+8)上单调递减，

又大-1)=U芋=e,所以«r)有极大值e,无极小值.

(2)由于/(x)=Wi,

①当α+l>2,即时，F(X)>0在(1,2)上恒成立，故√(x)在(1,2)上单调递增，fi,x)

在［1,2］上的最大值为火2)=旨=*，故α=l,满足心1；

②当α+l≤l,即α≤0时，/(x)<0在(1,2)上恒成立，故段)在(1,2)上单调递减,於)

在［1,2J上的最大值为川)=?=1，故α=∣一'不满足α≤0,舍去；

③当ICa+1<2,即OeaCl时，由/(X)=二g；扫=0,得X=“+1,

当x<a+l时，/(x)>0,当Λ>a+1时，/(x)<0,

即兀V)在［1,α+l)上单调递增，在3+1,2］上单调递减，

故外)的最大值为次4+l)=誓U=磊=，所以a=l,不满足Oea<1,舍去，

综上所述，α=l.

巩固训练4解析：(1)因为./U)=αlnx+6χ2+3,所以/(χ)=j+2bx,

又当X=I时，函数/(x)="Inx+⅛x2+3取得最大值2,

所以y∏)=2,/(l)=0,即fb上W=,解得匕=-1，α=2,

'>a÷Zb=U

2

所以4x)=2InX-X+3,/(X)=：_2X=2(I-X；(I+X),

所以式x)在(0,1)上单调递增，在(1,十8)上单调递减，符合题意，

所以13)=21n3-6.

故选C.

(2)".'βx)=x3-3x,：.f(X)=3X2-3.

令F(X)<0解得一l<x<l；令/(Λ)>0,解得x>l或Λ<-1,

由此可得T(X)在(一8,一I)上时是单调递增函数，在(一1,1)上时是单调递减函数，在(1,

+8)上是单调递增函数，

故函数y(x)在X=-I处有极大值，在χ=ι处有极小值，

a2-12<-1

a>—1,解得一l<αW2.

lf(a)≤f(-l)

答案：(I)C(2)(-1,2］

真题展台——知道高考考什么？

1.解析：由题设知：y(x)=∣2χ-1|-2InX定义域为(O,+°o),

当O<x≤g时，Kr)=I-2χ-2InX,此时兀V)单调递减；

当2<xWl时，√(x)=2x—1-2InX,有了(X)=2-∣W0,此时兀V)单调递减;

当x>l时，y(x)=2x—1—21nx,有/(x)=2>0,此时兀V)单调递增；

又∙.√(x)在各分段的界点处连续，

.∙.综上有：OaWl时，兀V)单调递减，x>l时，汽幻单调递增；.∙√(x)∕∕(l)=l.

答案：1

2.解析：由题意，得/(x)=2(<∕Ina-ex),易知/(x)至少要有两个零点为和应.令g(x)

=f(x),则g<x)=2aX(Ina)2-2e.⑴若a>l,则/(x)在R上单调递增，此时若((必)=0,则

g(x)在(一8,Xo)上单调递减，在(X0,+8)上单调递增，此时若有X=Xl和X=X2分别是函数

KX)=2av-ex1(a>0且a#1)的极小值点和极大值点，则x∣"2,不符合题意，舍去.(2)若0<«<1,

则g<x)在R上单调递减，此时若g，(Xo)=0,则g(x)在(一8,项)上单调递增，在(X°,+∞)±

单调递减，且Xo=Iog,,e,此时若有X=Xl和X=X2分别是函数AX)=2CTV-ex2(a>0且a≠i)

Una)A

的极小值点和极大值点，且X1<X2,则需满足g(xo)>O,即J⅛>elog"前A，所以a高<就声所

以Ina=<ln77■工7，即J-Irɪ—In(In4，解得三<α<e.又O<α<l,所以故〃