新高考数学基础复习讲义 34 零点定理（学生版）

考点34零点定理

知识理解

一.函数的零点

（1）零点的定义：对于函数y=∕U）,我们把使兀0=0的,实数X叫做函数y=Aχ）的零点.

函数的零点不是函数与尤轴的交点，而是y=∕i⅛）与X轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个

点，而是一个实数

（2）零点的几个等价关系：

方程式犬）=0有实数根U函数y=∕i＞）的图象与X轴有交点U函数y=∕（x）有零点.

二.函数的零点存在性定理

1.如果函数y=Λx）在区间口，句上的图象是连续不断的一条曲线，并且有八。次切＜0,那么，函数y=∕U）在区

间3,3内有零点，即存在cG（α,b）,使得人C）=0,这个C也就是方程7（x）=0的根.

2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续

函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件

考向分析

考向一求零点

【例1】（2021•全国课时练习）函数=XInX的零点为（

ʌ.0或1

C.(1,0)D.（0,0）或（（1,0）

【方法总结】

已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(I)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

【举一反三】

1.(2021•上海市西南位育中学=)函数y=Y一5χ+6的零点是.

2.(2020•巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考(理))函数y=f—5%一6的零点是.

考向二零点区间

【例2】(2021•四川高一开学考试)函数/(x)=/+；x—2的零点所在区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【举一反三】

1.(2021•安徽省泗县第一中学)函数〃"二-3'+IogLX+4的零点所在的区间为()

2

A.(2,3)B.(3,4)C.(1,2)D.(0,1)

2.(2021•浙江开学考试)函数/(x)=∙∣-k>g2X的零点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

3.(2021•内蒙古包头市)函数/(x)=3x+e*的零点所在区间为()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

考向三零点的个数

【例3】(2021•云南高三其他模拟)函数/(x)=l-3SinX在1-24,葛)上的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【例3-2】(2021・江苏镇江市)方程«=】OgLX的解的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【举一反三】

1.（2021•云南昆明市）已知/（x）=Sin（2X+。），则/。）在[0,网上的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2021•云南丽江市•丽江第一高级中学）函数y=∣l0g2X∣-L的零点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

3（2021•江西吉安市）函数/（幻=3》2+]1一2020的零点个数是（）

A.3B.2C.1D.0

2,TX>θ

4.（2021•北京高三期末）已知函数/（x）=[；*]。，则函数y=/（x）—2N的零点个数是（）

2.（2021•湖北开学考试）函数/（无）=尤+馆（》一1）一3零点所在的整区间是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

3.（2021•四川资阳市）方程2'+x=4的根所在的区间为（）

ʌ.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

4.（2020•全国课时练习）函数/（x）=In（X+l）-x+l在下列区间内一定有零点的是（）

ʌ.[0,1]B.[1,2]

C.[2,3]D.[3,4]

5.（2021•广西河池市=）函数/（x）=2'+InX—1的零点所在的区间为（）.

JQ----Λ?>O

6.(2021•全国高三开学考试(文))已知函数/(x)=j2,一,则函数y=∕(∕(X))的零点个数为

[ln(-X),x<0

()

A.1B.2C.3D.4

2

x-2X9X≤0,

7.(2021•北京丰台区)已知函数/(x)=1则””的零点个数为()

——l,x>0,

IX

A.0B.1C.2D.3

8.(2021•山西吕梁市)函数/(x)=2*+；x—5的零点％∈[α-1间，a∈N*,则。=()

A.1B.2C.3D.4

x

9.(2021•安徽高三期末(文))设函数/(x)=SinX-IOg3%,^(x)=3-Iog05x,h(x)=sinx-Iog05x⅛<j

零点分别为a,b,c,则()

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

10.(2021•山东威海市•高三期末)若关于X的方程∕rtχ—æ=/在(0,+?)上有两个不等的实数根，则

实数”的取值范围为()

A.(-∞,-l]B.(→o,-l)C.[-l,+∞)D.(-l,+∞)

11.（2021•兴义市第二高级中学高三期末（文））已知函数/（乃=3,+%-9的零点为与，则X。所在区间为

()

_3_r__j_1'ɪ3^^35^

AA.B.t√♦D.

.^2,2.,2,2.,2,2.

—x~一4x一1,X<—1

12.（2021•广西南宁市•南宁三中高三开学考试（理））已知函数/（X）="1*若关于X方

PJ,x≥-1

程/（x）=〃?恰有三个不同的实数解，则实数加的取值范围是（）

A.(0,3)B.[2,3)C.(θ,;D.ɪ,lj

13.(2020•重庆市凤鸣山中学高三月考)函数/(x)=In(X+1)—2的零点所在的大致区间是()

X

A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)

14.(2021•兴宁市第一中学高三期末)若Xo=COS/,贝∣J()

ππ

B.X∈

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