第4章 参数估计

第四章参数估计估计就是根据你拥有的信息来对现实世界进行某种判断。你可以根据一个人的衣着、言谈和举止判断其身份你可以根据一个人的脸色，猜出其心情和身体状况统计中的估计也不例外，它是完全根据数据做出的。如果我们想知道南充人认可某饮料的比例，人们只有在南充人中进行抽样调查以得到样本，并用样本中认可该饮料的比例来估计真实的比例。从不同的样本得到的结论也不会完全一样。虽然真实的比例在这种抽样过程中永远也不知道；但可以知道估计出来的比例和真实的比例大致差多少。从数据得到关于现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。上面调查例子是估计总体参数（某种意见的比例）的一个过程。估计(estimation)是统计推断的重要内容之一。统计推断的另一个主要内容是下一章要引进的假设检验(hypothesistesting)。§4.1用估计量估计总体参数人们往往先假定某数据来自一个特定的总体族（比如正态分布族）。而要确定是总体族的哪个成员则需要知道总体参数值（比如总体均值和总体方差）。人们于是可以用相应的样本统计量（比如样本均值和样本方差）来估计相应的总体参数§4.1用估计量估计总体参数一些常见的涉及总体的参数包括总体均值(m)、总体标准差(s)或方差(s2)和(Bernoulli试验中)成功概率

等（总体中含有某种特征的个体之比例）。正态分布族中的成员被（总体）均值和标准差完全确定；Bernoulli分布族的成员被概率（或比例）p完全决定。因此如果能够对这些参数进行估计，总体分布也就估计出来了。§4.1用估计量估计总体参数估计的根据为总体抽取的样本。样本的（不包含未知总体参数的）函数称为统计量；而用于估计的统计量称为估计量(estimator)。由于一个统计量对于不同的样本取值不同，所以，估计量也是随机变量，并有其分布。如果样本已经得到，把数据代入之后，估计量就有了一个数值，称为该估计量的一个实现(realization)或取值，也称为一个估计值(estimate)。§4.1用估计量估计总体参数这里介绍两种估计，一种是点估计(pointestimate)，即用估计量的实现值来近似相应的总体参数。另一种是区间估计(intervalestimate)；它是包括估计量在内（有时是以估计量为中心）的一个区间；该区间被认为很可能包含总体参数。点估计给出一个数字，用起来很方便；而区间估计给出一个区间，说起来留有余地；不像点估计那么绝对。§4.2点估计用什么样的估计量来估计参数呢？实际上没有硬性限制。任何统计量，只要人们觉得合适就可以当成估计量。当然，统计学家想出了许多标准来衡量一个估计量的好坏。每个标准一般都仅反映估计量的某个方面。这样就出现了按照这些标准定义的各种名目的估计量（如无偏估计量等）。另一些估计量则是由它们的计算方式来命名的（如最大似然估计和矩估计等）。§4.2点估计最常用的估计量就是我们熟悉的样本均值、样本标准差(s)和(Bernoulli试验的)成功比例(x/n)；人们用它们来分别估计总体均值(m)、总体标准差(s)和成功概率(或总体中的比例)

。这些在前面都已经介绍过，大家也知道如何通过计算机（或公式）来计算它们。§4.2点估计那么，什么是好估计量的标准呢？评价一个统计量好坏的标准很多；本教材涉及到三个标准。无偏性

(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数所谓无偏性(unbiasedness)就是：虽然每个样本产生的估计量的取值不一定等于参数，但当抽取大量样本时，那些样本产生的估计量的均值会接近真正要估计的参数。有效性

(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效因为方差小说明反复抽样产生的许多估计量差别不大，因此更加精确。一致性

(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)§4.3区间估计当描述一个人的体重时，你一般可能不会说这个人是76.35公斤你会说这个人是七八十公斤，或者是在70公斤到80公斤之间。这个范围就是区间估计的例子。区间估计

(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示

x95%的样本

-1.96

x

+1.96

x99%的样本

-2.58

x

+2.58

x90%的样本

-1.65

x

+1.65

x将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平表示为(1-

）

为总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的

为0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的置信区间

(confidenceinterval)置信区间

(95%的置信区间)重复构造出的20个置信区间

点估计值关于置信区间的注意点不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。置信度95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率；也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%包含参数。总体均值的区间估计

(大样本)1.

假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n>=30)使用正态分布统计量z易见，Z

对于给定的置信度1-,可以查正态分布双侧临界值得出相应的临界值z

/2,使得4。故总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为利用不等式变形可得总体均值的区间估计

(大样本，

2已知)【例】从某高校的14500名学生中随机不重复抽取100名学生进行月生活费支出调查，总体方差为455.68元2，经计算样本均值为546元，要求以95％的置信度估计该校全体学生的人均月生活费支出额。解：由题意知，N=14500，n=100,1-

=95%，z

/2=1.96全校学生人均月生活费支出额的95％的置信区间为（504.15，587.85）元。总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计

(例题分析)【例】从200名学生中随机抽取的50名学生的数学平均分为75分，总体标准差为10分，（1）200名学生数学平均分的95％的置信区间是多少？（2）我们可以在多大置信水平上说200名学生的平均分是75±1分？解：（1）因为总体容量相对于样本容量来说并不是很大，

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为（2）置信区间可表示为：【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计

(大样本，

2未知)解：已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645。根据样本数据计算得：

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的95％的置信区间为35.37岁~41.63岁总体均值的区间估计

(小样本)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差(

２)

未知小样本

(n<30)使用t分布统计量总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为t分布

t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)z总体均值的区间估计

(例题分析)【例】某时装专卖店的管理人员想估计其顾客的平均年龄，随机抽取了16位顾客进行了调查，得到样本均值为32岁样本标准差s为8岁，假定顾客的年龄近似服从正态分布，试求该店全部顾客平均年龄置信度为95％的置信区间。解：因为总体近似服从正态分布，

2未知，所以已知Ｘ~N(

，2)，n=16,1-

=95%，t

/2=2.131也即有95％的把握估计全部顾客平均年龄在27.737~36.263岁之间。总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为总体比例的区间估计总体比例的区间估计1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似使用正态分布统计量

z3.总体比例

在1-

置信水平下的置信区间为总体比率的区间估计

(例题分析)【例】对某一选举区内随机抽取的100位选民的民意调查表明他们中的55％支持某位候选人，求所有选民中支持这位候选人的比例的（a）95％，（b）99％，（c）99.73%置信度下的置信区间。解：已知n=100，p＝55%,

（a)1-=95%，z/2=1.96所有选民中支持这位候选人的比例的95%的置信度下的置信区间为45.25%~64.75%

样本容量的确定样本容量n的确定待估计参数已知条件样本数的确定正态总体，σ2已知总体均值（μ）有限总体，不放回抽样，σ2已知总体比率（

）服从正态分布总体均值的区间估计

(例题分析)【例】生理学家在测量反应时间，估计的标准差是0.05秒，为了有（1）95％，（2）99％的把握保证允许误差不超过0.01秒，他必须要抽取多大的样本？解：已知

1-

=95%，z

/2=1.96。σ=0.05秒

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为允许误差是因此，我们可以有95％的把握确定，如果样本容量为97或更大，则允许误差小于0.01秒SPSS实现区间估计例：(noodle.txt)某厂家生产的挂面包装上写明“净含量450克”。在用天平称量了商场中的48包挂面之后，得到样本量为48的关于挂面重量（单位：克）的一个样本：用计算机可以很容易地得到挂面重量的样本均值、总体均值的置信区间等等。下面是SPSS的输出：该输出给出了许多第二章引进的描述统计量。和估计有关的是作为总体均点估计的样本均值，它等于449.01；而总体均值的95%置信区间为（447.41，450.61）总体方差的区间估计1. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布总体方差的点估计量为s2,且4.总体方差在1-

置信水平下的置信区间为总体方差的区间估计

(图示)

2

21-

2

总体方差1-

的置信区间自由度为n-1的

2总体方差的区间估计

(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量单位：g112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.594.0108.8114.6100.0123.5102.0101.6102.2116.694.497.8108.6104.0136.8102.8101.598.493.3总体方差的区间估计

(例题分析)解:已知n＝25，1-

＝95%,根据样本数据计算得

s2=93.21

2置信度为95%的置信区间为该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g~13.43g4.3

两个总体参数的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值之差比率之差方差比两个总体均值之差的估计

(独立大样本)1. 假定条件两个总体都服从正态分布，

1２、

2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n1

30和n2

30)两个样本是独立的随机样本使用正态分布统计量z两个总体均值之差的估计

(独立大样本)1.

1２，

2２已知时，两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为

1２、

2２未知时，两个总体均值之差

1-2在1-

置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】150个A品牌灯泡的平均寿命为1400小时，标准差为120小时。200个B品牌灯泡的平均寿命为1200小时，标准差为80小时。求A和B两种品牌灯泡平均寿命之差的95％的置信区间。两个总体均值之差的估计

(例题分析)解:两个总体均值之差在1-

置信水平下的置信区间为因此我们可以有95％的把握断定总体均值之差在177.83小时和222.17小时之间。两个总体均值之差的估计

(独立小样本:

12=

22

)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：

1２=

2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)2.总体方差的合并估计量估计量

x1-x2的抽样标准差两个总体均值之差的估计

(小样本:

12=

22

)两个样本均值之差的标准化两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521两个总体均值之差的估计

(例题分析)解:根据样本数据计算得

合并估计量为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14分钟~7.26分钟两个总体均值之差的估计

(小样本:

12

22

)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：

1２

2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)使用统计量两个总体均值之差的估计

(小样本:

12

22

)

两个总体均值之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为自由度两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排名工人，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间

两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.221两个总体均值之差的估计

(例题分析)解:根据样本数据计算得自由度为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.192分钟~9.058分钟两个总体均值之差的估计

(匹配大样本)假定条件两个匹配的大样本(n1

30和n2

30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为对应差值的均值对应差值的标准差两个总体均值之差的估计

(匹配小样本)假定条件两个匹配的大样本(n1<30和n2<30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布

两个总体均值之差

d=

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计

(例题分析)【例】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表。试建立两种试卷分数之差

d=

1-

2

95%的置信区间

10名学生两套试卷的得分学生编号试卷A试卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916两个总体均值之差的估计

(例题分析)解:根据样本数据计算得两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.33分~14.67分1. 假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的2. 两个总体比率之差

1-

2在1-

置信水平下的置信区间为两个总体比率之差的区间估计两个总体比率之差的估计

(例题分析)【例】一台机器生产的100个螺栓样品中有12个次品，另一台机器生产的200个螺栓样品中有15个次品，求这两台机器生产的产品中次品比例之差的95％的置信区间。

两个总体比率之差的估计

(例题分析)解:已知

n1=100，n2=200，p1=12%，p2=7.5%，

1-

=95%，z/2=1.96

1-

2置信度为95%的置信区间为这两台机器生产的产品中次品比例之差的95％的置信区间为-2.8%~11.8%两个总体方差比的区间估计1. 比较两个总体的方差比用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异总体方差比在1-

置信水平下的置信区间为两个总体方差比的区间估计

(图示)FF1-

F

总体方差比1-

的置信区间方差比置信区间示意图两个总体方差比的区间估计

(例题分析)【例】为了研究男女学生在生活费支出(元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间两个总体方差比的区间估计

(例题分析)解:根据自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.505

12/22置信度为90%的置信区间为男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.47~1.84

4.4

样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定三、估计总体均值之差时样本容量的确定四、估计总体比率之差时样本容量的确定估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差

2、允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与可靠性系数成正比估计总体均值时样本容量的确定其中：【例】生理学家在测量反应时间，估计的标准差是0.05秒，为了有（1）95％，（2）99％的把握保证允许误差不超过0.01秒，他必须要抽取多大的样本？解：已知

1-

=95%，z

/2=1.96。σ=0.05秒

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为允许误差是因此，我们可以有95％的把握确定，如果样本容量为97或更大，则允许误差小于0.01秒估计总体均值时样本容量的确定

(例题分析)【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽取多大的样本容量？估计总体均值时样本容量的确定

(例题分析)解:

已知

=2000，E=400,1-

=95%，z/2=1.96

应抽取的样本容量为即应抽取97人作为样本根据比率区间估计公式可得样本容量n为估计总体比率时样本容量的确定

E的取值一般小于0.1

未知时，可取最大值0.5其中：估计总体比率时样本容量的确定

(例题分析)【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求允许误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？

解:已知

=90%，

=0.05，z/2=1.96，E=5%

应抽取的样本容量为

应抽取139个产品作为样本设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为估计两个总体均值之差时

样本容量的确定其中：估计两个总体均值之差时样本容量的确定

(例题分析)【例】一所中学的教务处想要估计试验班和普通班考试成绩平均分数差值的置信区间。要求置信水平为95%，预先估计两个班考试分数的方差分别为：试验班

12=90，普通班

22=120。如果要求估计的误差范围(允许误差)不超过5分，在两个班应分别抽取多少名学生进行调查？

估计两个总体均值之差时样本容量的确定

(例题分析)解:已知

12=90，22=120，E=5,1-

=95%，z/2=1.96即应抽取33人作为样本设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据比率之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为估计两个总体比率之差时

样本容量的确定其中：估计两个总体比率之差时样本容量的确定

(例题分析)【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种新型饮料认知的广告效果。他在广告前和广告后分别从市场营销区各抽选一个消费者随机样本，并询问这些消费者是否听说过这种新型饮料。这位制造商想以10%的误差范围和95%的置信水平估计广告前后知道该新型饮料消费者的比率之差，他抽取的两个样本分别应包括多少人？(假定两个样本容量相等)绿色健康饮品估计两个总体比率之差时样本容量的确定

(例题分析)解:E=10%,1-

=95%，z/2=1.96，由于没有

的信息，用0.5代替即应抽取193位消费者作为样本本章小结参数估计的一般问题一个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计样本容量的确定4-89

思考与练习1.在（）情况下，均值的抽样分布接近正态分布。

A、随着样本数量变得足够大

B、随着样本容量（每个样本中观察值的数量）变得足够大

C、随着总体标准查的变大

D、随着样本标准差的变大2.如果总体呈偏态分布而非对称分布，则均值的抽样分布需（）样本容量以达到正态分布。

A、相同的B、更小的

C、更大的D、两个分布不能对比3.对于一个大样本的均值的抽样分布情况，下列哪项叙述是正确的（）。

A、它和总体具有同样的形状和均值

B、它呈正态分布，且其均值和总体均值一样。

C、它呈正态分布，但其均值和总体均值不同。

4.样本容量n=30，均值的抽样分布在下列哪种情况下接近正态分布？

A、无论总体的分布形状如何

B、只有当总体的分布形状对称时

C、如果均值的标准差已知时

D、只有当总体呈正态分布时5.样本容量n=1，均值的抽样分布在下列哪种情况下呈正态分布？

A、无论总体的分布形状如何

B、只有当总体的分布形状对称时

C、如果均值的标准差已知时

D、只有当总体呈正态分布时6.一个99％的置信区间是指（）

A、总体参数有99％的概率落在这一区间内

B、总体参数有1％的概率未落在这一区间内

C、在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有99％的区间包含总体参数

D、在用同样方法构