第10讲 管理科学

2024/3/3王玉荣制作1管理科学对与定量分析有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科2024/3/3王玉荣制作2

运筹学（OperationalResearch)直译为“运作研究”。运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

运筹学的产生和发展

运筹学产生于第二次世界大战，主要用于解决如何在与德军的对抗中最大限度地杀伤敌人，减少损失。二战以后，运筹学得到了快速的发展，形成了许多分支，并且计算机的应用极大地推动了运筹学的应用与普及。运筹学有广泛应用运筹学不仅在军事上，而且在生产、决策、运输、存储等经济管理领域有着广泛的应用。2024/3/3王玉荣制作3管理科学的分支线性规划整数线性规划动态规划图与网络模型存储论排队论排序与统筹方法决策分析对策论预测***多目标规划、随机规划、模糊规划等2024/3/3王玉荣制作42024/3/3王玉荣制作5ImpactofManagementScience

管理科学的影响■改善全世界大量组织的效率■促进商业运作的规范性■节约大量稀有的资源■提高国家的经济生产力实践领域最负盛名的奖项是弗兰茨·厄德曼（FranzEdelman）奖这些奖项授予全世界年度管理科学的最佳应用。2024/3/3王玉荣制作6管理科学在工商管理中的应用组织应用Interface期刊号

每年节支（美元）联合航空公司满足乘客需求前提下,以最低成本进行订票及安排机场工作班次1-2/1986600万Citgo石油优化炼油程序及产品供应、配送及营销1-2/19877000万荷马特发展公司（HomartDevelopmentCo.）优化商业区和办公楼销售程序1-2/19874000万AT&T优化商业用户的电话销售中心选址1-2/19904.06亿，更多销售标准品牌公司控制成品库存（制定最优再订购点和订购量，确保安全库存）12/1981380万施乐公司通过战略调整，缩短维修机器的反应时间和改进维修人员的生产率11/1975第二部分生产率提高50%以上宝洁公司重新设计北美生产和分销系统以降低成本并加快了市场进入速度1-2/19972亿法国国家铁路制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量1-2/19981500万更多年收入Delta航空公司进行上千个国内航线的飞机优化配置来最大化利润1-2/19941亿IBM重组全球供应链，保持最小库存的同时满足客户需求1-2/2000第一年7.5亿Merit青铜制品公司安装统计销售预测和成品库存管理系统，改进客户服务1-2/1993更优的服务2024/3/3王玉荣制作7本课程的主讲内容线性规划预测2024/3/3王玉荣制作8第八讲线性规划2024/3/3王玉荣制作9线性规划（LP）

线性规划是运筹学的一个重要分支，它是40年代末开始发展的一门新兴学科。该学科在工业、农业、交通运输业、邮电通讯、金融、贸易、企业管理和军事等领域都有广泛的用途。2024/3/3王玉荣制作10线性规划的主题一.当某项任务确定了以后,尽量用最少的人财物力去完成这一任务。二.在已有的人财物力资源确定的情况下,如何合理地使用有限的资源,以取得最大的经济效益。2024/3/3王玉荣制作11为什么使用线性规划线性规划很容易而有效率地被求解知果存在最优解，则肯定能够找到功能强大的敏感性分析（sensitivityanalysis）许多实际问题本质上是线性的2024/3/3王玉荣制作12OptimizationModeling85%oftheFortune500companiesuseLinearoptimizationintheirplanningprocess.Theapplicationsarewideandvaried.Schedulingofworkers,Networkdesign.Productionplanning,Optimalfinancialinvestmentstrategiesforlargecompanies,financialplanning,channelallocationinmarketing,call-centerlocation.Thislistisreallyendless!2024/3/3王玉荣制作13线性规划能解决的实际问题1.运输问题2.生产组织与计划问题3.配料问题4.广告问题5.工厂选址问题及决定办厂规模6.资金预算7。人力资源分配的问题……2024/3/3王玉荣制作14本讲的重点内容线性规划模型原理和应用

线性规划的一般模型

图解法从线性规划模型到EXCEL的“规划求解”敏感性分析线性规划问题的扩展整数规划非线性规划问题

2024/3/3王玉荣制作15生产组织与计划问题

应用1----(教材247)某公司生产A和B两种产品，它们都同样需要使用两台机器。第一台机器有24小时可供使用，第二台有16小时可供使用。产品A每件分别耗用第一台机器2个小时，第二台机器2个小时。产品B每件耗用第一台机器3个小时，第二台机器1个机时。两种产品的每单位利润分别为6美元和7美元。产品的销路不成问题。若以利润最大化为追求目标，则两种产品各应生产多少个单位？2024/3/3王玉荣制作16生产组织与计划问题

应用2长虹机械公司拟为来年1～6月份安排某产品的生产进度计划。该产品的成本受原材料价格影响逐月变动。每个月的正常生产能力是100件，如有需要还可以通过加班多生产15件。下表列出了各月的订购数和单位成本。从表中看到，有的月份定单未能填平产能，而另外一些月份定单超过产能。允许用足产能，将多余的产量留给以后月份销售。但是每件产品的每月存储费用是20元。公司生产调度需要决策的问题是：1～6月分每月使用正常生产能力和加班生产能力生产多少件产品，以便总成本最小。需要说明的是年末无库存，到6月底也不能有库存。2024/3/3王玉荣制作17实际问题举例3----生产进度计划续2024/3/3王玉荣制作18生产组织与计划问题

应用32024/3/3王玉荣制作19运输问题

应用1一个美国洗涤用品制造商拥有三个分厂，分别位于Cincinnati,Denver,Atlanta.每年的产量分别为：100000、60000、50000箱。这三个分厂的产品供应于五个仓库。每个仓库的需求量以及从工厂到仓库的单位运费见下表，问题：如何安排运输？2024/3/3王玉荣制作20运输问题数据2024/3/3王玉荣制作21运输问题数据2024/3/3王玉荣制作22广告组合

应用1某公司准备在电视上做广告，电视台的收费标准为：时段1：周一到周日18：30到22：30以外的时间每半分钟收费2000元。时段2：周一到周五18：30到22：30热门时间每半分钟收费3500元时段3：周六及周日18：30到22：30热门时间每半分钟收费5000元2024/3/3王玉荣制作23广告问题续该公司计划用72000元在电视台作一个月（30天）每天半分钟的广告。电视台规定：每周在时段2和时段3内播出的次数之和不能超过时段1内播出次数的一半，而公司希望时段3内播出的次数不少于4次，也就是平均一周要至少有一次。据估计，在时段1内收视率为一百万人次，在时段2和时段3的收视率分别为时段1的3倍及5倍。需要解决的问题是：公司应如何安排广告的播放次数，才能使广告的效果最大（收看广告的观众最多）。2024/3/3王玉荣制作24投资组合

应用1

财务规划（financialplanning）是资源分配线性规划问题最重要的应用领域之一。这一领域中所分配的资源完全不同于那些生产规划领域的生产设备等资源。在财务规划问题中，所分配的资源通常为财务资产，如现金、证券、应收帐款，银行存款等等。此处所举的资金预算例子所包含的有限资源为在各个时点上可用于投资的资金。问题梦大（Think－Big）发展公司是商务房地产开发项目的主要投资商。目前，该公司有机会在三个建设项目中投资：2024/3/3王玉荣制作25投资项目项目1：建造高层办公楼项目2：建造宾馆项目3：建造购物中心每一个项目都要求投资者在四个不同的时期投资：在当前预付定金，以及一年、二年、三年后分别追加投资。下表显示了四个时期每个项目可以从所有的投资者那里获得的总的投资资金。因此，按投资者投资项目的一定百分比，投资者必须支付表中所示资金的对应百分比的数目。2024/3/3王玉荣制作26资金需求和回报2024/3/3王玉荣制作27项目的前景从长期来看，这三个项目都是极为有利可图的，因此，梦大公司的管理层希望能尽量多地在几个或所有的项目中投资。公司希望能在目前阶段就明确公司未来的投资数量，以及未来三年预期实现的追加投资。关键是在目前预测的回报率的基础上确定最有利可图的投资组合。因为每一个项目都要在几年以后才能产生利润，并且盈利过程会持续多年。2024/3/3王玉荣制作28公司资金情况目前有2500万美元预计一年后，又可获得2000万美元两年后获得另外的2000万美元三年后1500万美元以供投资。2024/3/3王玉荣制作29决策问题梦大公司要在每个项目中投资多少百分比，才能使其投资组合获得最大的总净现值呢？每个项目投资10%如何？2024/3/3王玉荣制作30§1

人力资源分配的问题

人力资源应用1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?2024/3/3王玉荣制作31人力资源

应用2

一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？2024/3/3王玉荣制作32

配料问题应用

某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？2024/3/3王玉荣制作33工厂选址问题

应用案例(教材321)2024/3/3王玉荣制作34新炼油厂的备选建造地点以及它们的优势2024/3/3王玉荣制作352024/3/3王玉荣制作36线性规划问题建模步骤需要做哪些决策？决策变量是什么问题的目标是什么？写出目标函数资源和需求之间的情况如何？确定约束条件2024/3/3王玉荣制作37生产组织与计划问题

应用1的LP模型2024/3/3王玉荣制作38生产组织与计划问题

应用2的LP模型2024/3/3王玉荣制作39生产组织与计划问题

应用2的LP模型续1约束1：生产能力约束，正常每月生产是100件，加班生产15件2024/3/3王玉荣制作40生产组织与计划问题

应用2的LP模型续2约束2：供需平衡约束平衡式为：月期初库存+本月正常生产的产量+本月加班的产量=本月订购量+期末库存量1月：（年末没有库存）0+X1+Y1=95+I1

X1+Y1-I1=952月：I1+X2+Y2=85+I2：I1+X1+Y1–I2=85………2024/3/3王玉荣制作41生产组织与计划问题

应用2的LP模型总结2024/3/3王玉荣制作42运输问题

应用1的LP模型2024/3/3王玉荣制作43问题2的LP模型2024/3/3王玉荣制作44广告组合

应用1

的LP模型

设：在第I时段播出的广告次数为XI目标函数:2024/3/3王玉荣制作45有关约束条件1，全月播放的总次数为30次，即2，每周在时段2和时段3内播出的次数之和不能超过时段1内播出次数的一半，即2024/3/3王玉荣制作46有关约束条件续3，公司希望时间3内播出的次数不少于4次，即X344,每种时间内播出的次数不能为负数，5，广告费用不能超过72000元，即

2024/3/3王玉荣制作47模型总结

求约束条件：

X342024/3/3王玉荣制作48投资组合

应用1的LP模型

决策变量

决策变量1：0B=该公司在办公楼项目中的投资比例决策变量2：H=该公司在宾馆项目中的投资比例决策变量3∶SC＝该公司在购物中心项目中的投资比例目标函数:2024/3/3王玉荣制作49约束条件资源约束：即企业在每个时点上可用资金(前一期未使用的资金,可以在下一期使用)资源1：现在可获得的总投资资金(2500)资源2：一年后可获得的累计的投资资金(2500+2000)=4500资源3：两年后可获得的累计的投资话金(2500+2000+2000)=6500资源4：三年后可获得的累计的投资资金(2500+2000+2000+1500)=80002024/3/3王玉荣制作502024/3/3王玉荣制作51投资组合应用1的

LP模型总结2024/3/3王玉荣制作52人力资源应用1

某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?2024/3/3王玉荣制作53人力资源应用1的LP模型

解：设xi

表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,

目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6

约束条件：s.t.x1+x6≥60

x1+x2≥70

x2+x3≥60

x3+x4≥50

x4+x5≥20

x5+x6≥30

x1,x2,x3,x4,x5,x6≥02024/3/3王玉荣制作54人力资源应用2

一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？2024/3/3王玉荣制作55人力资源应用2的LP模型2024/3/3王玉荣制作56

配料问题LP模型的建立

2024/3/3王玉荣制作57决策变量

设xij

表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；2024/3/3王玉荣制作58利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量Max50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

目标函数2024/3/3王玉荣制作59约束条件：规格要求4个；

供应量限制3个。

约束条件：从第1个表中有：

x11≥0.5(x11+x12+x13)x12≤0.25(x11+x12+x13)x21≥0.25(x21+x22+x23)x22≤0.5(x21+x22+x23)2024/3/3王玉荣制作60

从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有

(x11+x21+x31)≤100(x12+x22+x32)≤100(x13+x23+x33)≤60

通过整理，得到以下模型：2024/3/3王玉荣制作61

配料问题的LP模型目标函数：Maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

约束条件：

0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）

-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超过25%）

0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）

-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超过50%）

x11+x21+x31≤100(供应量限制）

x12+x22+x32≤100(供应量限制）

x13+x23+x33≤60(供应量限制)xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,32024/3/3王玉荣制作62工厂选址问题

应用案例(教材428)LP的建模从油田到炼油厂(包括新炼油厂:有三个地方供选择)的最小运输成本从炼油厂(包括新炼油厂)到陪送中心的最小运输成本2024/3/3王玉荣制作63假设新的炼油厂建在洛衫矶决策变量由三个油田及中东到四个炼油厂的运输量.目标函数:运输成本最小约束:1原油供给约束:

四个炼油厂对每个油田的需求=每个油田的供应量2需求约束:

四个油田提供给每个炼油厂的原油总量=该厂的需求量2024/3/3王玉荣制作64线性规划求解的方法

1图解法

2应用计算机软件

ExcelLindo(LinearInteractiveDiscreteOptimizer)2024/3/3王玉荣制作65图解法线性规划的图解法一般只适合于只有两个决策变量的研究中。对于多变量的研究，可以使用各种软件解决。2024/3/3王玉荣制作66生产安排应用1的LP模型

计算结果.xls2024/3/3王玉荣制作67运输问题应用1计算结果.xls2024/3/3王玉荣制作68生产进度应用2

计算结果.xls2024/3/3王玉荣制作69广告问题应用1

计算结果.xls2024/3/3王玉荣制作70投资问题应用1的计算结果.xls2024/3/3王玉荣制作71人力资源应用1

计算结果.xls2024/3/3王玉荣制作72工厂选址问题

应用案例(教材428)LP的

计算结果.xls2024/3/3王玉荣制作73线性规划能解决的实际问题1.运输问题2.生产组织与计划问题3.配料问题4.广告问题5.工厂选址问题及决定办厂规模6.资金预算……关键不在规划问题有多难，而在于了解规划问题能解决什么问题？2024/3/3王玉荣制作74管理视角的建模总绩效测度必须是管理层想获得的现实目标（成本最小？市场份额最大？）准确细致地描述资源约束管理科学小组与管理层的有效沟通模型往往要不断地修改和扩展要进行What-if分析2024/3/3王玉荣制作75线性规划经典应用潘德罗索工业公司（一家墨西哥公司）选择产品组合联合航空公司工作人员排程Citgo石油集团供应、配送与营销的规划2024/3/3王玉荣制作76潘得罗索工业公司的产品组合

背景：它是一家墨西哥公司、截止到1998年的销售，公司生产了全国胶合板产量的1/4。与其他胶合板生产厂商一样，该公司的许多产品根据厚度和所用木材的质量而有所不同。因为产品在一个竟争的环境中进行销售，产品的价格由市场决定、所以产品的价格每月都有很大的变化。结果导致每项产品对公司整体利润的贡献也有很大的变动。这样，在某个月中一个产品比另一个产品能赚取更多的利润，而在下个月的情况可能正好相反。

面临的问题：确定每月的产品组合——以获取尽可能多的利涧

所需资源：（l）四种类型的原木（根据原木的质量区分）；（2）生产胶合板的两项关键作业的生产能力（模压作业和刨光作业）2024/3/3王玉荣制作77潘得罗索工业公司的产品组合效果：导致公司强调生产的原木产品类型有巨大的转换使公司的总利润增加了20%使原材料的利用、资本投资、人员的使用更加合理2024/3/3王玉荣制作78联合航空公司工作人员排程利用LP来为其在主要的机场和定票点的上万个工作人员安排每周的工作时间表。目的是为了能够在满足客户的服务需要的同时，将一周内每天每半个小时的人员成本最小化。此规划模型包含20，000个决策变量。效果：每年为联合航空公司在直接薪酬和津贴成本上节省了600万美元改善了客户服务以及降低了雇员的工作负担2024/3/3王玉荣制作79Citgo石油集团供应、配送与营销的规划运用管理科学的技术，特别是线性规划，建立供应、配送与营销的建模系统将公司主要产品的供应、配送与营销通过公司庞大的销售与配送网络得到很好的协调。在90年代中期创造了大量的财肓。公司每种主要产品的模型都大约含有l500个决策景以及3000个确定需求的约束最重要的成功因素是高层管理者所给予的无限制的支持，并且设立运作协调副总裁，来负责评价和协调这一跨组织边界的模型所提供的建议效果：使该公司的供应、配送和营销运营的效率得以大大改善在不降低服务水平的同时使产品库存有巨大的下降由于库存的下降为公司节约成本1400万美圆由于供应、配送和营销运营的效率的提高使公司每年增加利润250万美圆2024/3/3王玉荣制作80线性规划中的敏感性分析数学模型只是实际问题的一个粗略的抽象最优解一般只是针对某一特定的数学模型管理者要对未来做各种假设，在这些假设下，测试可能产生的结果，通过对各种结果深入分析来指导决策。通常，在取得最初版本模型的最优解之后，进行分析才能取得对问题深入的认识。这种分析称为what-if分析或敏感性分析2024/3/3王玉荣制作81敏感性分析对管理者的重要性模型参数是粗略的估计值获取所需数据必须付出相当多的时间与心血有些因素只有在研究完成后才能精确测量What-if分析可以表明改变这些决策对结果的影响，从而有效指导管理者作出最终的决策2024/3/3王玉荣制作822、研究目标函数中的系数在

怎样的变动范围之内,其目标

函数的最优解保持不变1、研究LP中约束条件右边常数项每变动一个单位,目标函数的变动量

敏感性分析包括的主要内容2024/3/3王玉荣制作83研究LP中约束条件右边常数项每变动一个单位,目标函数的变动量

引出一个重要的概念影子价格(Shadowprices)的定义:LP的一个约束条件右边的数值变动一个单位而其它约束条件右边的数值保持不变时,对目标函数的影响值.(Dualprice,marginalprice,marginalcost,marginalvalue.)影子价格的计算约束条件右边的数值在怎样的变动范围内才能使影子价格存在影子价格2024/3/3王玉荣制作84实际问题1的约束条件想想：机器1、机器2的影子价格的含义2024/3/3王玉荣制作85两个约束条件的影子价格1、假如第一台机器的时间增加或减少1小时,即为25小时或23小时,第二台机器的时间不偏变，此时将发生什么?2、假如第二台机器的时间增加或减少1小时,即为17小时或15小时,第一台机器的时间不变，此时将发生什么?3、两台机器的时间同时变化2024/3/3王玉荣制作86影子价格分别为:2,1的解释1、假如第一台机器的时间增加或减少1小时,即为25小时或23小时,第二台机器的时间不偏变，此时将发生什么?总利润增加22、假如第二台机器的时间增加或减少1小时,即为17小时或15小时,第一台机器的时间不变，此时将发生什么?总利润增加22024/3/3王玉荣制作87影子价格在管理中的应用影子价格告诉管理人员,增加哪种资源对增加经济效益最有利.影子价格告诉管理人员,花多大的代价来增加资源才是合算的.如增加第一台机器的边际成本为2.5,就不合算.影子价格告诉管理人员,如何评估新产品.例如上例中,公司希望生产一种新产品C,其边际利润为10.但生产单位C需机器1工作4小时,机器2工作3小时.公司是否应生产产品C？生产C的机会成本为2*4+1*3=112024/3/3王玉荣制作88约束条件右边的数值在怎样的变动范围内（可行域）才能使影子价格存在或影子价格有效----确定影子价格有效的区域

实际应用例题1的影子价格及可行域）2024/3/3王玉荣制作89机器1影子价格有效域的图示2024/3/3王玉荣制作90机器1的运行时间最优解最大利润

16（8，0）4817（7.75，0.5）50……22（6.5，3）6023（6.25，3.5）62

24（6，4）6425（5.75，4.5）6626（5.55）6827（5.25，5.5）70……47（0.25，15.5）11048（0，16）11249（0，16）1122024/3/3王玉荣制作91约束条件右边的数值在怎样的变动范围内（可行域）才能使影子价格存在或影子价格有效

实际应用例题1的影子价格及可行域）

2024/3/3王玉荣制作92运输问题1的影子价格及可行域2024/3/3王玉荣制作93两台机器的时间同时变化当机器1的时间从24小时增至28小时，当机器2的时间从16小时增至18小时，两台机器的影子价格是否仍为:2,1。百分百原则：2024/3/3王玉荣制作94百分之一百法则：对于约束条件右边常数值同时发生变化时，当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比之和不超过100%时，影子价格有效。如果超过，则无法判断。允许增加量=上限-现在值允许减少量=现在值-下限允许增加的百分比=增加量/允许增加量允许减少的百分比=减少量/允许减少量2024/3/3王玉荣制作95机器1允许增加的百分比=增加量/允许增加量=（28-24）/24=16.67%机器2允许增加的百分比=增加量/允许增加量=（18-16）/8=25%

2024/3/3王玉荣制作96百分之一百法则练习当机器1的时间从24小时增至28小时，当机器2的时间从16小时减至13小时;当机器1的时间从24小时增至32小时，当机器2的时间从16小时减至10小时;当机器1的时间从24小时减至15小时，当机器2的时间从16小时增至26小时;2024/3/3王玉荣制作97百分之一百法则练习答案16.7%+37.5%=54.2%33.33%+75%=108.33%112.5%+125%=237.5%2024/3/3王玉荣制作98研究目标函数中的系数在怎样的变动范围之内,其目标函数的最优解保持不变

1、一个系数发生变化而其他系数不变的情况2.多个系数同时发生变化2024/3/3王玉荣制作99一个系数发生变化而其他系数不变的情况

实际应用例题1结果2024/3/3王玉荣制作100多个系数同时发生变化百分之一百法则：对于所有变化的目标函数决策系数，当其所有允许增加的百分比与允许减少的百分比之和不超过100%时，最优解不变。A的价格上涨４元，B的价格下跌３元，最优解如何2024/3/3王玉荣制作101Ａ允许增加的百分比=增加量/允许增加量=４/８=５０%Ｂ允许减量的百分比=３/允许减少量=３/４=７５%结论：无法保证（６，４）为最优解．2024/3/3王玉荣制作102LP的拓展

整数规划（0-1规划）

非线形规划2024/3/3王玉荣制作103整数规划一般整数规划、0-1整数规划2024/3/3王玉荣制作104一般整数规划举例

TBA航空公司背