2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期开学考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期开学考试数学试题

一、单选题

1.已知集合A={x∣x≥-1},B={-3,-2,-l,0,l,2},则(4A)B=()

A.{-3,-2}B.{-3,-2,-1)

C.(0,1,2)D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【分析】根据集合的运算法则计算.

【详解】由题意IA={x∣x<T},所以解A)β={-3,-2).

故选：A.

2.已知命题P：关于X的不等式χ2-20χ-α>0的解集为R,则命题P的充要条件是()

A.-l<α≤0B.-1<α<0

C.-1<α<0D.a>1

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式恒成立得A<0即可.

【详解】关于X的不等式丁-2OX-α>0的解集为R,A=4∕+4α<0=>-l<”0,

故命题P的充要条件是-l<α<0,

故选：B

3.已知角«的终边经过点网―2,1),则cos^a+yj的值为()

A.BB.2C,-立D.—述

5555

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义，求得Sina=咚，再结合诱导公式，得到cos(^→α)=sinα,即可求

解.

【详解】由题意，角α的终边经过点尸(Tl),可得∕∙=∣OP∣=J(-2)2+12=√L

根据三角函数的定义，可得Sina=J==正，

√55

.(3πAΛ∕5

Xτ7Scos----∖-a=Slna=——.

故选：A.

4.已知α=0.32,b=2°∙3,c=logj72,则（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<hD.a<b<c

【答案】D

【分析】先利用对数运算化简c,在利用指数函数的单调性比较即可.

【详解】解：因为C=Iog/2=2,θ<α=O.32<O.3o=l,1=20<⅛=203<2l=2,

所以α<b<c.

故选：D.

5.若Sin(E+α)=g,则Sine-α)-cos传+ɑ)=()

A.OB.-C."2忘D.T&

333

【答案】B

【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.

【详解】依题意，令g+α=f,则Sinf=^--a=π-(^+a]=π-t,—+α=→→α=→Z,

63o∖o)3262

所以Sin(^∙-α)-COS(^∙+α)=sin(τt-1)-COS(^■+/]=sin∕+Sinr=2sin∕=j.

故选：B.

6.函数f(x)=bg2X+2x-l的零点所在的区间为()

A.(θɪ)B.(1,2)C.(ɪɪ)D.(ɪ1)

2422

【答案】D

【分析】先判断函数/(x)的单调性，然后再根据零点存在性定理，通过赋值，即可找到零点所在的

区间，从而完成求解.

【详解】函数/(χ)=bg∕+2χ-1可看成两个函数y=log2》(x>0)和y=2x-l组成，

两函数在(。，+8)上，都是增函数，

故函数/(X)=log2x+2x7在(0,+∞)上也是单调递增的，

所以=∣og2g+2xg-l=T+∣T=T<0,

而/⑴=iog2i+2*1-1=0+2-I=IX),

由零点存在性定理可得，函数/(X)=Iog2x+2x-l零点所在区间为.

故选：D.

【分析】根据函数的奇偶性先排除B,D,再利用特殊值排除选项C,进而求解.

【详解】函数/(x)=a七的定义域为R,且/(T)="7=5⅛F=∕(X),

则函数/(X)为偶函数，故排除选项B,D；

又因为当x>0时，/(x)>0,故排除选项C,

故选：A.

8.己知函数仆)=Sin(S+沙>0),若小+£|为偶函数，/(x)在区间C,总内单调，则0

的最大值为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据/卜+弓)为偶函数，可得直线X=T为函数f(x)图像的一条对称轴，进而可得

0=1+33根据“X)在区间存着内单调，可得齐鲁一方=：，进而可求解.

【详解】由于函数/1+1)为偶函数，故直线X=T为函数/(X)图像的一条对称轴，

所以---1—=—Fkit,keZ,则。=1+3々，keLr,

362

又T:≥7T-t-[Tc=;Tt,即Tt二≥Ttf,解得0<o≤4,

21234ω4

又<υ=l+3Z,keZ,所以0的最大值为4,

当。=4时，/(x)=sin(4x+^)在单调递增，满足要求，

故。的最大值为4.

故选：B

二、多选题

9.已知函数f(x)=2sin(2x+?)下列说法正确的是()

A.函数y=∕(x)的图象关于点对称

STr

B.函数y="χ)的图象关于直线X=-二对称

2汽TT

C.函数y=∕(χ)在---上单调递减

D./(x)图象右移g个单位可得V=2sin2x的图象

【答案】BD

【分析】根据正弦函数的对称性，可判定A错误，B正确；根据正弦函数的单调性，可判定C错误;

根据三角函数的图象变换，可判定D正确.

【详解】对于A中，令X=—(，可得f(-g)=2sin[2(-∣0+∣J=2sin(-∣0=-6≠0,

所以(-。,0)不是函数的对称中心，所以A错误；

1

对于B中，令X=,W/(-¾=2sin[2(-^)+ɪ]=2sin(-¾=-2,

141乙1乙J乙

所以函数/(X)关于X=-W对称，所以B正确；

对于C中，当Xe-⅞---y,则2x+W∈[-乃,0],

根据正弦函数的单调性可知函数在已知区间上不单调，所以C错误；

对于D中，当/(x)向右平移J个单位后可得y=2sin[2(x-g)+g]=2sin2x,

所以D正确.

故选：BD.

10.若mb,c∈R,且仇则下列不等式一定成立的是()

A.a+c>b+cB.ac2≥bc2

2

C.-^>0D.(6z+⅛)(tz-⅛)>0

a-h

【答案】AB

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，逐一判断作答.

【详解】对于A,因”,b,c∈R,a>b,则α+c>b+c,A正确；

对于B,因c⅛0,a>b,贝IJae⅛0c2,B正确；

对于C,当C=O时,=0,C不正确;

a-b

对于D,当。=1,⅛=-l,满足，但(α+b)(α∙b)=0,D不正确.

故选：AB

11.已知6«0,兀)，sin®+COSe=J,则下列结论正确的是()

(兀、337

A.一,πB.COSe=——C.tan=——D.Sine-CoSe=一

U)545

【答案】ABD

,、O124

【分析】由题意得(Sine+cos。)-=1+2SineCOSe=趣，可得2sinOcosO=-曾，根据。的范围，可

得sin，，CoSe的正负，即可判断A的正误；求得sin。-COSe的值，即可判断D的正误，联立可求

得sin。，COSe的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答

案.

【详解】因为sin。+CoSe=

所以(Sine+cos=1+2SineCoS。=L,贝!∣2SineCOSe=,

因为8∈(0,π),所以sin，>0,COSeV0,

所以e∈∣J∕}故A正确;

所以(Sine-cosO)?=1-2sin6cos0=

7

所以Sine-COSe=M,故D正确；

sinθ+cosθ=--

543

联立可得Sine=Cc)Se=晨，故B正确;

Sine-Cos。=一

5

所以tan。="Sinθ4故C错误.

cos”3

故选：ABD.

21

一/、X÷Xd---,X<O

12.已知函数/(x)={4,若方程/(x)=Z(ZeR)有四个不同的零点，它们从小到大依

Iln%-l∣,x)θ

次记为%%，*3，*4，则()

e2

A.O<⅛<一B.e<x<e2C.x+x=-1D.O<xxxx<

43l2l234^4

【答案】ACD

【分析】作出函数Ax)的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A；结

合对数函数性质可判断B；结合二次函数图象的性质可判断C；结合对数函数性质以及基本不等式

可判断D.

转化为函数.f(χ)的图象与y="有四个不同的交点，

由图象，得0<A<],故A正确；

当X<0时，f(x)=x~÷X+—,则%+%=2x(―5)=—1,故C正确;

当0<x<e时，令/(X)=，，即I-InX=!，解得，

44Λ-c

3

,

.∙,<x3<e故B错误；

V∣lnx3-1∣=∣lnx4-1∣,x3<e<X4,

2

.∙.1-Inx3=Inx4-1,即Inx3+Inx4=Inx3x4=2,则χ3χ4=e,

F；W%；，2

χxl<x2<0,X1X2=(-xl)∙(-Λ2)<()2=(-)2=ɪ,

2

•：X1X2>0,：.0<XtX2X3X4<,故D正确，

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：将方程F(X)=-ZeR)有四个不同的零点问题转化为函数/(X)的图象与y=k有

四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.

三、填空题

13.函数AX)=J—+lg(χ-l)的定义域是__________.

2-x

【答案】{x∣x>l且xw2}

1[2-x≠0

【分析】根据函数AX)=止+ig(x-1),由1八求解.

2-xx-l>0

【详解】因为函数/⑴=S+∣g(χf'

2-x≠O

所以

x-l>O

x≠2

解得

x>l

所以函数f(x)=J—+lg(XT)的定义域是{x∣x>l且x≠2},

故答案为：{x∣x>l且XH2}

14.已知扇形的圆心角为2r4d,扇形的周长为l(kro,则扇形的面积为cm2.

【答案】胃

4

【解析】首先设扇形弧长为/,半径为「，列方程求解，再利用扇形面积S=；//`求解.

【详解】设扇形弧长为/,半径为r,

-=2

-r,解得：∕=5,r=2.5,

/+2r=10

则扇形的面积S=1F=亍25.

故答案为：与25

4

【点睛】本题考查扇形面积的求法，意在考查基本公式，属于简单题型.

15.若函数/(x)是R上的奇函数,且周期为3,当0<x<∣时，"x)=3',则/(∣)+"2023)=.

【答案】3-√3

【分析】根据奇偶性和周期性，得至V图=-/(-1)=-6,/(2023)=/(1)=3,从而求出答案.

【详解】函数/(x)是R上的奇函数，则/(T)=一/(x),

则H闫,

又因为f(x)的周期为3,所以“x)=∕(x+3),

故人一升不一|)=*Ns

所以/■图=TT=S

/(2023)=∕(674χ3+l)=“1)=3,

故/(1)+/(2023)=3-石.

故答案为：3-下)

ππ

16.已知函数/(x)=siι√X-CoSX+α,函数/(x)在区间上有两个不同解，则。的取值范围是

252

【答案】（—1,1）

【分析】根据题意化简/"），利用换元法令Z=COSX,将函数转化为二次函数问题，求解即可.

【详解】/（x）=Sin2x-cosx+α=一CoS2x-cosx+l+α,,

令/=cosχ.∈（0,1],则有/⑺=一/一r+α+l,

根据对称性，函数/（X）在区间，方）上有两个不同的解，

等价于/（，）=-产―+。+1在区间（0,1）有一个解，

由于一r+α+l∕∈（O,l）,对称轴为f=-；,

f∕（0）=4Z+l>0/、

故只需：V（,）<α-1<o'解得：αe（T,l）∙

故答案为：（-Ll）

四、解答题

sin(π+cr)cos(π-6z)tan(2023π+a)

Sin警—小(一α)

17.(1)化简:

1

(2)求值:4logj2+(0.125)5+log.25-

【答案】(1)Sina；(2)5

【分析】（1）利用诱导公式计算可得;

(2)根据对数的性质及指数基的运算法则计算可得.

sin(π+a)cos(π-a)tan(2023π+a)(-sina)∙(-cosa)∙tantz

【详解】解：⑴—Sin号一a”(.a)—=~-CoSa)∙(-tanα)

I

(2)4T啕2+(0.125)3+log有25

=-+-+4=5.

22

18.已知函数/(x)=Igu定义域为A,集合8={Nχ2-2e+病-9≤θ}.

⑴求集合AB；

(2)若xe8是XeA成立的充分不必要条件，求实数，”的取值范围.

【答案[(1)A=(-∞,1)(3,-HO),B=[m-3,m+3]

(2)(-∞,-2)o(6,+oo)

【分析】(1)根据对数型函数的性质即可求解A,根据一元二次不等式即可求解8,

(2)将充分不必要条件转化成集合的真子集的关系即可求解.

【详解】(1)由题意知：=>0=(x-3XX-I)>0,解得x>3或x<l.

集合A=(→M,1)L(3,÷X>).

对于集合B满足：X2-2nιx+nr-9=(x-∕n+3)(x-wz-3)≤0.

y,m-3<m+3.∖B=[m-3,m+3∖.

(2)若XeB是XeA的充分不必要条件，则集合B是A的真子集，

由(1)知，只需满足m+3<l或，〃-3>3即可，解得〃?<-2或%>6.

综述，满足题意的加的取值范围是(9,-2»(6,内).

19.函数”》)=河11(3夕)(4>0,3>0,|3|苦)的部分图象如图所示：

⑴求函数f(χ)的解析式与单调递减区间:

⑵求函数F(X)在Og上的值域.

【答案】⑴∕3=2sg+'单调递减区间kπ∙+1,k兀+3UeZ)

OO

(2)[-√2,2]

【分析】⑴根据图像即可写出A=2,再由图像过(*叫4可即可求出其周期，则可求出。=2,

在将点Ji，。]带入/(x),则可求出*=£.由V=Sinx在区间12就+g,2∙+若]#eZ上单调递减,

则可求出fM的单调递减区间.

(2)由xe[O,∙^]n2x+(∈=Sin[2x+()e~,1=z>/(ʃ)∈[-5/2,2].

(32π

【详解】⑴观察图象得：A=2,令函数/*)的周期为T,则T=2x^4+WJ=4M=于=2,

由/HO=。得：2x(q)+”=2g*∈Z,而ISI曝于是得&=0,e=不

所以函数/(X)的解析式是/(X)=2sin(2x÷^).

4

πJT377TT5TT

由2A7r+5≤2x+wK2kπ+-,k≡Z解得：kπ-∖--<x<kπ+-,k∈Z,

所以/(X)的单调递减区间是kπ+jkπ+*(AeZ).

OO

(2)由(1)知，当x∈[θ,g]时，f≤2x+f≤苧，则当2x+E=q,即X=?时f(x)m=2,

2J444428

当2x+7=?,即X=1时，/ULn=-√2>

所以函数/(X)在0，1上的值域是[-√∑,2].

20.已知函数/(x)=α+77=,且f(χ)为奇函数.

(1)判断函数/(χ)的单调性并证明；

⑵解不等式：/(2x-l)+∕(x-2)>0.

【答案】(1)函数单调递减，证明见解析

(2)(-∞,l)

【分析】(1)根据奇函数的定义可求得参数α的值，判断函数单调性，利用单调性定义可证明函数

的单调性；

(2)利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式.

【详解】(1)因为函数Ax)=。+—,定义域为R,且/U)为奇函数，

4+1

则八。)…*=。，得"j

当…;时，ʃ(ɪ)ɪɪ-ɪ

对于任意实数、’小上*总4Λ1

4Λ+1^2

Λ/(-x)+∕(x)=O,/./(-x)=-/(%),即当α=-g时，/(x)为奇函数;

/O)=ɪ-ɪ为单调递减函数，

4v+l2

证明：设不<々，%”2^R,则/G)-=

4'+14电+1

4盯一牛

^(4A'+l)(4t2+l),

Λt2χΛ,ΛΛ2

x1<X2,.∙.4,<4,g∣J42-4>0,4'+1>0,4+l>0,

,*/(%)>/(工2)，

即函数/(%)在定义域上单调递减；

(2)因为/(X)在定义域上单调递减且/(X)为奇函数，

由不等式/(2x—l)+/(x—2)>0可得/(2工-1)>一/(工一2)=/(—九+2),

•♦2x—1<—X+2,

Λχ<l,即/(2x-l)+∕(x-2)>0的解集为(-∞,I).

21.如图所示，A8C。是一块边长为4米的正方形铁皮，其中A何N是一个半径为3米的扇形，已经

被腐蚀不能使用，其余部分可以利用.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一个长方形铁皮PQCR(其

中P在MN上，Q、R分别在边BC和CD上).设NM4P=6,长方形FQCR的面积为S平方米.

(1)求S关于。的函数解析式，并求出S的最大值;

(2)若S取最大值时夕=%,求sin%的值.

【答案】(I)S=9sin6cos6-12(sin，+CoSe)+16,S的最大值是4.

（2）0或1

【分析】(1)利用NM4P=6,表达出矩形两边长，列出S关于。的函数解析式，换元后，利用二次

函数求出最大值；(2)在第一问基础上，求出此时％=0或从而求出sin%.

【详解】(1)延长RP交AB于点儿则P"=3sinaA"=3cos6,θw0,|

所以RP=4-3sin6>,PQ=BH=4-3CoSe,

所以S=/?PPQ=（4—3sin，）（4-3cos6）

=9sin^∞s0-12（sin0+cos0）+16,

产-1

令Sine+cos6=f,则sin。cos。=---,

2

其中r=sin6+cosθ=y∣2Sin（夕+：[ʤ],

山2。9产一9,c,/9t2,C239<4?7

所以S=----------12/+16=-------12/H-----=-t—

222213J2

4

对称轴为「=；,故当，=1时，S取得最大值，最大值为4

3

(2)由(1)可知，此时0=4=0或

当4=0时，Sina)=0；

当4=