2023届高考前复习2-6 特殊与一般思想中的六种题型 （解析版）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用））

专题2.6特殊与一般思想中的六种题型

题型一：三角函数与解三角形

1.（2021•上海青浦•一模）若数列：CoSa、Ce）S20,cos4a,,cos2"a、中的每一项都为负数,

则实数。的所有取值组成的集合为.

【答案]∖aa=±^-+2kπ,kEZ

【分析】根据题意，可知当一；—。时，不符合题意；所以ssα≤j则cos2%≤［均

121,通过类比推理得出COSa+11≤gχ（gj

成立，从而得出COSa+D≤]cos2α+]对一切正整数

222

1

〃恒成立，进而可得出COSa+一0,即可得出实数。的所有取值.

2

I7

【详解】解：当——<cosa<0时，cosIa=2cos2a-∖<——,

48

17

cos4a=2cos22a-1>—>0,不符合题意，

又因为cosα<0,所以ssα≤j则cos2"α≤-*J成立'

CIC111

则cos2a+—=2cosa——COSa+一>2×lcosa÷l,

222422

11

即cosa+—≤2iL,以此类推,

232

121

CoSa+一≤-cos2«+—≤cos4α+'≤

232(1)2

1

cos2,,a÷-≤±对一切正整数"恒成立,

<112

→0,贝IJcosα+∣=0,

因为当〃一＞+∞时,—X

12π

所以COSa=—耳，解得：a=±-+2kπ,keZ,

经检验，&=±与+2&万次€2符合题意，

综上所述，实数。的所有取值组成的集合为。α=±夸+2Qr∕∈Z.

2π

故答案为:aa=±—+2kπ,keZ>.

题型二：平面向量

一、单选题

1.（2019秋•上海奉贤•高二校考期末）下列命题正确的是（）

A.单位向量都相争（

B.若〃∙b=α∙c且［wθ,则b=c

c.∣α+⅛∣=^-⅛∣,则4力=0

LlUU

D.若g与d是单位向量，则为以=1

［答案］C

【彳加】利用向量的定义知A错误；利用向量数量积的运算知B错误；利用向量模长的运算知C

正确，利用两个向量垂直，数量积为O知D错误.

【详解】对于A,向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A错

误；rr

对于B,若α∕=α∙c,根据数量积公式可得卜|卜卜05(49=卜卜卜05卜,弓，由二≠B可得

WCOS(α,b)=Hcos(α,c),不能得到b=c∙,故B错误；

对于C,由k+0=卜-囚，可得”~+2α•分+6~=α~-2α∙A+//，所以α∙6=0,故C正确.

LIUUIUlUUUU

对于D,若4与%是单位向量，且小，瓦，有/也=O,故D错误.

故选：C.

二、解答题

2.(2023春•上海闵行•高二校联考阶段练习)我们称"6∈N)元有序实数组U,王，3,)为

〃维向量，Wl+闻++同为该向量的范数，已知"维向量d=(%,x2,“X”),其中

x,.∈{-l,0,l},∕=l,2,n,记范数为奇数的〃维向量。的个数为A“，这A,个向量的范数之和为

B1,.

(1)求4和J的值；

⑵求&)23的值；

(3)当"为偶数时，证明：B,,="∙(3"T-1).

【答案】(1)4=4,与=4

⑶证明见解析

【分析】(1)根据新定义计算即可；

(2)类比(1),结合排列组合的知识，二项式定理，求解4。23即可；

(3)类比(2)的考虑方法，可得4,=C∙2"+C>2"-2++CΓ'∙2,

里=5T)∙C,∙2"T+("-3)∙C∙2"-3++C7I∙2,由二项式定理可得A,,=好1,根据组合数的

运算性质化简纥得解.

【详解】(1)范数为奇数的二元有序实数对有：(1,0),(-1,0),(0,1),(0.-1),

它们的范数依次为1,1,11，

A2=4,鸟=4；

(2)当〃为奇数时，在向量。=(%"2，%)的〃个坐标中，

要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，

，可按照含0个数为0,2,4,进行讨论：

”的“个坐标中含0个0,其余坐标为1或T,

共有C；2个，每个〃的范数为〃；

”的“个坐标中含2个0,其余坐标为1或T,

共有C>2"一个，每个a的范数为〃-2；

a的“个坐标中含n-l个0,其余坐标为1或T,

共有Cj'∙2个，每个a的范数为1；

...A,,=C>2"+C>2"-2++C7'∙2,

(2+l)n=Cθ∙2"+C：∙2"-2++C7.2+C；,

(2-1)"=Cθ-2,'-C;-2"-2++(-1),,C;;,

两式相加除以2得：A,=C!∙2"+C∙2"T++C}'∙2=Wɪ

_3叫1

•,^*2023=2，

(3)当"为偶数时，在向量a=(卬W,W,,怎)的"个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数

一定是奇数，所以可按照含0个数为：1,3,…进行讨论：ɑ的"个坐标中含1个0,其余坐标

为1或-1,共有CJ2"T个，每个4的范数为n-1；

4的“个坐标中含3个0,其余坐标为1或-1,共有C>2"-3个，每个4的范数为〃-3；

。的"个坐标中含个0,其余坐标为1或T,

共有C7.2个，每个。的范数为1；所以An=C>2"T+C>2"3++q-'∙2,

β,,=(w-l)∙Cj,∙2"T+(〃-3)∙@∙N-++q-'∙2.

因为(2+1)"=C>2∙+C,∙2"T+C>2"-2++C；；,①

(2-I)”=C>2"-C,∙2"T+C>2"2-+(-1),,C;;,②

①一②得,Cl,∙2"^l+C：-2,,^3+=,

22

所以4=号.

思路-：因为=∏i)∙顼&r〜!(W="*,

所以纥=(-1)Cj2"T+M-3)∙C∙2"-3++q-,∙2.

="(Cι∙2"-y∙2-3++C-；-2)

=2MC3∙2"2+C3∙2"4++Cχj)

=2”{^≡i)=n∙(3"τ-l).

思路二：”些得，C∙2"+C:2"-2+=里尹.

2.N

又因为⅛Γ”(J幅:匕)!=〃*，

=n

所以C∙kl(n-k)l'(*-l)!(∕j-⅛)!="C二；

="(C)∙2"T+C：∙2"3++C/∙2)-(C∖∙2"T+3∙Cj∙2"3++(n-l)∙C7'-2)

=研,-"(c3∙2"T+C3∙2"-3++C：j2)="(号-^±i)="∙(3"T-l)

【点睛】关键点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组

合数，二项式式定理的的灵活运用，化简变形要求较高，属于难题.

题型三：数列

1.(2021•上海徐汇♦一模)已知〃∈N*,记max{x∣,.,当}表示x∣,,x“中的最大值，

min{y∣,∙•,”}表示耳，,%中的最小值，若/(x)=x2-3x+2,g(x)=2x-l,数列{q}和低}满

j

足4向=mn{∕(αJgm)},⅛,,+l=max∖bn,g(bn^,ai=a,bi=b,a,beR,则下列说法中正确的

是()

A.若“≥4,则存在正整数加，使得4用<%,B.若4≤2,则,!亚。“=°

C.若b≥2,则㈣d=°D.若匕eR,则存在正整数小，使得粼M<%

【答案】B

【分析】根据α≥4时，­=∕(%)=d-3a,,+2,利用二次函数的性质可得。,,川>金即可判断

A,当α42时，分类讨论可判断数列极限确定B,6≥2时判断数列的增减性判断C,由题意可得

%池即可判断D.

【详解】设/(x)=g(x)的解为£,

当“≥4时，4+∣=/(",,)=“：-3。“+2,

因为α≥4,所以a?=/(4)=/-3。+2>4,

依次类推，am+l>anι,故A错误；

当f≤α≤2时，ɑɔ=∕(o)=α2-3a+2∈--Γ-3r+2⊂[--,I),lim«„=0,

l4t4n→<x>

当α<t时，a,,=g(a)=2a'∙-l,hma=0,所以B正确；

+lnW->∞n

当6≥2时，°)5",所以也}是递增数列，所以也}无极

限，故C错误;

因为%=max{bn,g(为)},所以bn+l≥b,,,故D错误.

故选：B

2.(2022•上海市松江二中高三开学考试)若实数数列A,：49，,q("≥2)满足

∣¾+,-¾∣=l(⅛=l,2,,n-l),则称数列4为E数列.

(1)请写出一个5项的E数列满足q=%=。，且各项和大于零；

(2)如果一个E数列4满足：存在正整数强4//(4"<4<乙≤")使得％，%，%%，%组

成首项为1,公比为-2的等比数列，求”的最小值；

⑶已知4，%，%n(m≥2)为E数列，求证：彳,多,爷为E数列且,等为E数

列”的充要条件是“4，%，，4,"是单调数列”.

【答案】(I)A:0,1,0,1,0(答案不唯-)；(2)16；⑶证明见解析.

【分析】(I)根据E数列的定义写出一个满足条件的数列即可.

(2)由E数列的定义，只需让正整数G=LHHT间的间隔尽量小，结合题设找到4后续各项

数字出现规律，找到g对应4+〃的最小位置，即可得〃的最小值.

(3)由E数列的定义，分别从充分性、必要性两方面证明结论，注意反证法的应用.

αaa

(D由题设,I¾-∣I=I3-2I=Iα4-¾I=I¾-«41=1.又q=%=o,

所以IaJ=I%1=1,存在α3=O满足条件,

又4+%+4+/+%=出+41>°，则生=%=1，

综上，满足题设的E数列4有0,1,0,1,0.

⑵由题设，%,%，4，/%为K,4,-8,16,

所以E数列4从气开始依次往后各项可能出现的数字如下：

α

⅞+ι{θ,2],a∣ι+2{-l,l,3},4+3{-2,0,2,4),α,∙+4{-3,-1,1,3,5),

a-

il+5{-4,—2,0,2,4,6},4+6(5,—3,—1,1,3,5,7},aiι+7{—6,—4,—2,0,2,4,6,8),

%+s{-7,-5,T-1,1,3,5,7,9},…，aiι+l5{-14-12,...,14,16)

要使〃的最小即正整数4=1且%Y间的间隔尽量小，XZ,<^2<∕3<z4<∕3≤n,贝IJ

¾=4+3,4,=%+5，%.=4+9，《s=%M5，

综上,〃的最小值为&=，；+15=16.

⑶由彳，与，，弩为E数列,则I*-*31=2,由孑卷，,等为E数列,则

2

∣¾m-¾n-2∣=.

又q,02,∖%,,(,"≥2)为E数列，即1%,“一。2吁1一出吁2M¾m-2-¾m-3∣=l，

若“∣,4,不是单调数列，

则存在a2m~a2m-∖=fl2m-2-a2m-∖,即。2”=a2m-2,显然与Ifl2m—。2吁2I=2矛盾;

或存在a2m-∖~a2m-2=a2m-3¾m-2，即¾m-l=>显然与Iaim-l-aim-3l=0'盾；

综上，%%，，%.,是单调数列，充分性得证；

由q,02,,%,,(,〃≥2)是单调数列且为E数列，

aaaaaaaa

所以-ι,,,-x=2,,,-l-2m-2=2m-2-2,,,-3=1，则¾,,,-∣-2m-3=ιm-2m-2=2,

则∣%,I一%“-31=∣⅛,-⅛,-21=2,即I竽一号IR等一号1|=1,

所以g，g，,幻、今，？，,冬均为E数列，必要性得证：

222222

综上，］√∣,,缓为E数列且半苫，，变为E数列”的充要条件是“出，「，句“是单调

数列”.

【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列写出4,，%，秋,%，%的各项，结合

4<i2<i3<(,<4≤”及E数列的定义，有％必是最靠前的项，再依次项判断后续各项数字出现

规律，找到4对应4+〃的最小位置.

题型四：不等式

1.(2020•上海市嘉定区第二中学高三期中)在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三

条性质：

(1)对任意“eR,O*α=α；(2)对任意a，beR,a*b=b*ai

(3)对任意a,b,ceR,(a*6)*c=c*(α6)+(α*c)+(6*c)-2c.

给出下列四个结论：

①2*(0*2)=0；

②(2*0)*(2*0)=8;

③对任意α,b,cwR,α*(b*c)=b*(c*a)；

④存在”,6,ceR,("+b)*cx(4*c)+e*c).

其中，所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】根据给定的新运算得到“*b的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从

而得到正确的序号.

【详解】由题设有a*b=a*(b*0)=0*^aby)+a*0+b*0-2×0=ab+a+b,

对于①，

2*2=2x2+2+2=8,故①错误.

对于②，

(2*0)*(2*0)=2*2,由①中结果可知(2*0)*(2*0)=8,故②正确.

对于③，

对任意α,b,c∈R,4*(b*c)=α*(6c+b+c)=α(6c+b+c)+α+6c+6+c

=ahc+ah+ac-jfbc+a+h+c,

而〃*(c*α)=Z?*(ac+a+c)=Z?(ac+a+c)+Z7+ac+a+c

=abc+ab+ac+bc+a+b+c,

故“*(b*c)=8*(c*α),故③正确.

对于④，取α=b=l,c=l,

则2*l=2xl+2+l=5,

∣Tij(l*l)+(l*l)=2(l×l+l+l)=6,½(1+1)*1≠(1*1)+(1*1),故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】本题考查新定义背景下命题真假的判断，此题的关键是根据给出的运算规则得到

的运算方法，本题属于较难题.

2.(2022•上海•高三开学考试)有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{2}

的“积数”为2,{2,3}的“积数”为6,[1,的“积数”为乙，则数集

[23n]n∖

M=卜|》=。25〃52021,〃€Z}的所有非空子集的“积数”的和为.

【答案】IOlo

【分析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集A={%%，/，LCJ，积数和

Sn=(l+a,)(l+¾)L(1+%)—1,由此即可计算得到答案.

【详施】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集A=1%/，%，!-见}，积数和

S〃=(1+4)(1+〃2)L

当〃=1时，S〃=l+α∣-I=q=H,成立；

假设〃=Z(Z≥1)时，S,=(l+α1)(l+α2)L(l+¾)-l

当〃=Z+1时，SkZ=Sk+¾+1+5A,∙¾+1=Sk+(5Λ,+1)∙¾+1

=(1+Λ1)(1+Λ2)L(1+¾)-1+(1+a1)(1+¾)L(l+¾)¾+1

=(l÷a,)(l+a2)L(1÷¾)(1+¾+1)-l

综上可得，V∈N*,SA=(I+4)(l+々)L(l+¾)-l.

则数集M=卜∣x=∖24"≤2021,“eN*｝的所有非空子集的“积数”的和为:

(,1Yi1YfιO3452022,

1+-1+-11+-L1+-------1l=-×-×-×Lτ×---------1

I2Jl3Jl4)I2021J2342021

故答案为：1010.

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“积数”的理解和运用，以及“积数”的和的求法，求

证对于有限非空数集4={4，%，41,4},积数和，=(1+6)(1+生力(l+%)-l是解题的关键，

考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于难题.

3.(2022•上海•高三专题练习)在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的

双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：Sinh(X)=三乙，双曲余弦函数：

COSh(X)=Cf,U是自然对数的底数).

(1)解方程:cosh(x)=2;

(2)写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：Sinh(X+y)=,并证明；

(3)无穷数列4=。，an+l=2a;-1,是否存在实数“，使得出⑼=^?若存在，求出〃

的值，若不存在，说明理由.

【答案】⑴x=ln(2±√3);(2)答案见解析；⑶存在，±52痛+2』.

【分析】(1)由题意得(e*)2-4e,+1=0,结合一元二次方程的解法及指数函数的性质求解即

可；

(2)类比两角和正弦公式有Sinh(X+y)=sinh(x)cosh(y)+coSh(X)Sinh(y),结合已知双曲正余

弦函数分别化简等式左右边的式子，判断是否相等即可.

(3)若α,="∈[T,l],假设4=COS(2"T0),应用数学归纳法证明通项公式在ZleM上成立，则

有可武―1,1],此时生⑼=：不成立；若q=ae(3,—l)“l,”)，则∣q∣=∣α∣>l,结合双曲余弦

函数的值域为[l,y),求证COSh(2x)=2CoSh2(力-1,并应用数学归纳法证明α,=cosh(2"%)在

上成立，令4⑼=:求m值，即可确定。值的存在性.

【详解】(1)由题意得："+e-'=4,即(e*y-4e'+l=0,解得：x=ln(2±√3);

(2)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(>,)÷cosh(x)sinh(y)

「my-zf-χ-y

左边=Sinh(X+y)=-------------,

x,

f,_PTz>>+z>->∙Pr-Xy_-y

右边=Sinh(X)cosh(y)+cosh(x)sinh(γ)=————×-———+---——×-——

ex+y+ex-y-ey~x-e-χ-yex+y+ey~x-ex-y-e-x-yex+v-e-x-y

=---------------------------------------------------------1---------------------------------------------------------=----------------------------，

442

左边等于右边，即Sinh(X+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)成立

(3)当4=α∈[T,l]时，存在e∈[0,司，使得CoSe=α,

由数学归纳法证明：⅛=cos(2"-'^),证明如下：

i)当”=1时，4=α=cosQie)=cose成立，

ii)假设〃时，4=COS(2*T。)，则为印=2《一1=20»2(210)-I=CoS(2χ2*τe)=cos(22)成

立.

综上：∕=cos(2"τe).

*

..al=α∈[-l,l],有ɑ,,e[-l,l],gβa202l≠.

当q=αe(γo,-l)U(I,+∞)时，由同>1,函数COSh(X)=U—的值域为[l,+∞),对于任意大于

1的实数闻，存在不为0的实数〃?，使得COShW)=⑷，类比余弦二倍角公式，猜测

cosh(2x)=2cosh2(ɪ)-l.

证明如下：

2c。Shy)T=2X[X]]=^^T=^1=8SM2X).

、2J22

2

类比4∈[一1,1]时的数学归纳法，由M=cosh(m),易证a2=2cosh(m)-l=cosh(2m),

2,,1

a3=cosh(2ʌn),∙∙∙,an=cosh(2^m),…，

.∙.若出⑼=cosh(22gWI)=设/=22。',则CoSh(r)=g≤=+解得：/=2或3，即

f=±ln2,

in.-miII`

=+4

..m于是M=CoSh(M=^--=-2丽+2F

-22020，221；

综上：存在实数4=±；卜/+2得卜吏得⅛l=J成立.

，14

【点睛】关键点点睛：第三问，讨论q=αe[-l,l]∖o1=6∕∈(-∞,-l)u(l,-w),应用类比方法分

别假设q=cos(2"T。)、CoSh(2x)=2CoSh2(x)T即氏=coshRf"),结合数学归纳法求证通项

公式在”，上成立，进而令-1判断参数的存在性

题型五:空间向量与立体几何

一、单选题

1.(2022•上海•高一专题练习)下列四种说法中:

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；

②相等的线段在直观图中仍然相等；

③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.

正确的个数是（）

A.OB.1C.2D.3

【答案】A

【分析】直接根据棱柱的定义，平面图形和直观图的应用，圆锥的定义即可判断出正误.

【详解】对于①，有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平

行，

这些面围成的几何体叫棱柱；如图，该几何体满足①中条件，却不是棱柱；故①错误；

对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，例如正方形在直观图中是邻边不等的平行四边

形，故②错误；

对于③，一个直角三角形绕其一直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，故③错误.

2.（2021秋•上海浦东新•高二上海市进才中学校考期中）如果直角三角形的斜边与平面ɑ

平行，两条直角边所在直线与平面ɑ所成角分别为仇和打,那么可和％满足条件是

（）

2222

A.sinθx+sinθ2≥1B.sinθx+sinθ2<1

2