2023高考数学复习-立体几何空间距离与截面100题

2023高考数学一一立体几何空间距离与截面100题

目录

1.高中立体几何知识点总结...........................................................................1

1.1.平面..........................................................................................1

1.2.不等式........................................................................................3

1.3.集合..........................................................................................4

1.4.口诀...........................................................................................5

1.5.三角函数......................................................................................6

1.6.立体形状......................................................................................6

1.7.距离、面积、体积..............................................................................7

1.8.平行与垂直....................................................................................8

1.9.平面、直线....................................................................................9

1.10.口诀........................................................................................9

2.任务一：空间中的距离问题1-60题..................................................................19

2.1.单选题......................................................................................19

2.2.多选题......................................................................................48

2.3.填空题......................................................................................63

2.4.解答题......................................................................................72

3.任务二：几何体截面问题1-40题....................................................................91

3.1.单选题......................................................................................91

3.2.多选题.....................................................................................119

3.3.填空题......................................................................................136

3.4.解答题......................................................................................141

1.高中立体几何知识点总结

总结是指对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况加以总结和概括的书面材料，它可以

帮助我们总结以往思想，发扬成绩，因此，让我们写一份总结吧。但是却发现不知道该写些什么，

下面是小编为大家整理的高中立体几何知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋

友。

1.1.平面

通常用一个平行四边形来表示。

平面常用希腊字母a、8、Y…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相

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对顶点字母表示，如平面AC。

在立体几何中，大写字母A,B,C,…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线

和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：

a)A∈l一点A在直线1上;A□一点A不在平面ɑ内；

b)lα一直线1在平面ɑ内；

c)aɑ一直线a不在平面ɑ内；

d)l∩m=A一直线1与直线m相交于A点；

e)ɑ∩I=A一平面ɑ与直线1交于A点；

ŋɑ∩β=1—平面ɑ与平面β相交于直线Io

平面的基本性质

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；

公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线；

公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

根据上面的公理，可得以下推论，

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。

拓展阅读：高中数学立体几何解题技巧

L平行、垂直位置关系的论证的策略：

(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2.空间角的计算方法与技巧：

主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：

(2)直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算。

(3)二面角

①平面角的作法：⑴定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

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②平面角的计算法：

⑴找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式。

3.空间距离的计算方法与技巧：

(I)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解,

也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公

垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求

(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质

过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求

距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上

去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离

来求解。

1.2.不等式

L不等式的定义

在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以

表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.

2.比较两个实数的大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，

有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?.

另夕卜，若b>0,则有

概括为：作差法，作商法，中间量法等.

3.不等式的性质

(1)对称性:a>b?;

(2)传递性：a>b,b>c?;

(3)可加性：a>b7a+cb+c,a>b,c>d7a+cb+d;

(4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?;

(5)可乘方：a>b>07(n∈N,n≥2);

(6)可开方：a>b>07(n∈N,n22).

复习指导

1.“一个技巧”作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方.

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2.“一种方法”待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式

相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围.

3.“两条常用性质”

(1)倒数性质：①a>b,ab>0?〈;②a<0

③a>b>O,O;④0

(2)若a>b>O,m>0,则

①真分数的性质：<;>[b-m>0);

②假分数的性质：>;<(b-m>0).

1.3.集合

必修1：集合，函数概念与基本初等函数(指数函数，基函数，对数函数)

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数(三角函数卜平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上所有的知识点是所有高中生必须掌握的，而且要懂得运用。

选修课程分为4个系列：

系列1：2个模块

选修1-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图

系列2:3个模块

选修2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何

选修2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数

选修2-3：计数原理、随机变量及其分布列、统计案例

选修4-1：几何证明选讲

选修4-4：坐标系与参数方程

选修4-5：不等式选讲

2.重难点及其考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数

难点：函数，圆锥曲线

高考相关考点：

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L集合与逻辑：集合的逻辑与运算（一般出现在高考卷的第一道选择题）、简易逻辑、充要条件

2.函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数

函数、对数函数、函数的应用

3.数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求通项、求和

4.三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和差倍半公式、求值、化简、证明、三角函数的

图像及其性质、应用

5.平面向量:初等运算、坐标运算、数量积及其应用

6.不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式（经常出现

在大题的选做题里）、不等式的应用

7.直线与圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系

8.圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的

应用

9,直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量

10.排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用

IL概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布

12.导数：导数的概念、求导、导数的应用

13.复数：复数的概念与运算

1.4.口诀

点在线面用属于,线在面内用包含。四个公理是基础，推证演算巧周旋。

空间之中两条线,平行相交和异面。线线平行同方向，等角定理进空间。

判定线和面平行,面中找条平行线。已知线与面平行，过线作面找交线。

要证面和面平行,面中找出两交线，线面平行若成立，面面平行不用看。

已知面与面平行,线面平行是必然;若与三面都相交，则得两条平行线。

判定线和面垂直,线垂面中两交线。两线垂直同一面，相互平行共伸展。

两面垂直同一线,一面平行另一面。要让面与面垂直，面过另面一垂线。

面面垂直成直角,线面垂直记心间。

一面四线定射影,找出斜射一垂线,线线垂直得巧证，三垂定理风采显。

空间距离和夹角，平行转化在平面,一找二证三构造，三角形中求答案。

引进向量新工具，计算证明开新篇。空间建系求坐标，向量运算更简便。

知识创新无止境，学问思辨勇攀登。

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多面体和旋转体，上述内容的延续。扮演载体新角色，位置关系全在里。

算面积来求体积，基本公式是依据。规则形体用公式，非规形体靠化归。

展开分割好办法，化难为易新天地。

1.5.三角函数

三角函数。注意归一公式、诱导公式的正确性

数列题。1.证明一个数列是等差（等比）数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差（公

比）的等差（等比）数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，

一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法（用数学归纳法时，当n=k+l时,

一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般

进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到

目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性

很简单

立体几何题L证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单2求异面直线所成的角、线面角、

二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，要建系;3.注意向量所成的角的余弦值（范

围）与所求角的余弦值（范围）的关系。

概率问题。1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2.搞清是什么

概率模型，套用哪个公式;3.记准均值、方差、标准差公式;4.求概率时，正难则反（根据

pl+p2+...+pn=l）;5,注意计数时利用列举、树图等基本方法;6.注意放回抽样，不放回抽样；

1.6.立体形状

1、柱、锥、台、球的结构特征

⑴棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等；

平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

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表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面

距离与高的比的平方。

(3)棱台:

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

⑷圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩

形。

(5)圆锥:

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体:

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右卜俯视图(从上向下)

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图一一斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与X轴平行的线段仍然与X平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

1.7.距离、面积、体积

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1.空间的距离问题

主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、

平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离（在会求距离问题之前，需要明确其位置关系，

详见空间点、直线、平面的位置关系）.求距离的一般方法和步骤是：一作出表示距离的线段；二

证明它就是所要求的距离；三计算其值.此外，我们还常用体积法求点到平面的距离.

2,面积和体积

柱、锥、台、球及其简单组合体等内容是立体几何的基础，也是研究空间问题的基本载体，是

高考考查的重要方面，在学习中应注意这些几何体的概念、性质以及对面积、体积公式的理解和运

用。

3.三视图

几何体的三视图和直观图是认知几何体的基本内容，在高考中，对这两个知识点的考查集中在

两个方面，一是考查三视图与直观图的基本知识和基本的视图能力，二是根据三视图与直观图进行

简单的计算，常以选择题、填空题的形式出现。

1.8.平行与垂直

1.有关平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复

遇到的，而且是以各种各样的问题（包括论证、计算角、与距离等）中不可缺少的内容，因此在主体几

何的总复习中，首先应从解决平行与垂直的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的

内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行（垂直）、

线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。

2,判定两个平面平行的.方法：

（1）根据定义-证明两平面没有公共点；

（2）判定定理-证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；

（3）证明两平面同垂直于一条直线。

3.两个平面平行的主要性质：

⑴由定义知：两平行平面没有公共点。

⑵由定义推得：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那

么它们的交线平行。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

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⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为性质定理，但在解题过程中均可直接作为性质

定理引用。

1.9.平面、直线

L平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；

会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面

①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？

④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是

⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证

明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.

4.平面与平面

(1)位置关系：平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况)

(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理,

可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题点到面的距离问题

(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；

②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法

1.10.口诀

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

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5、过一点有旦只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角相等，两直线平行

10、内错角相等，两直线平行

11、同旁内角互补，两直线平行

12、两直线平行，同位角相等

13、两直线平行，内错角相等

14、两直线平行，同旁内角互补

15、定理三角形两边的和大于第三边

16、推论三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18、推论1直角三角形的两个锐角互余

19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24、推论(AAS)有两角和其中一一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)

31、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角

对等边)

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35、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴

上

45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线

对称

46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边C的平方，即a"+b八2="2

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、C有关系22+卜2="2,那么这个三角形是

直角三角形

48、定理四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)X180°

51、推论任意多边的外角和等于360°

52、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

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64、菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(aXb)÷2

67、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对

角

71、定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关

于这一点对称

74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截

得的线段也相等

79、推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80、推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=LXh

83、⑴比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc;如果ad=bc,那么a:b=c:d

84、(2)合比性质如果a∕b=c∕d,那么(a±b)∕b=(c±d]∕d

85、(3)等比性质如果a∕b=c∕d=…=m∕n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)∕(b+d+…+n)=a∕b

86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

88、定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线

平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三

边对应成比例

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90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角

形相似

91、相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

94、判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相似

96、性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101、圆是定点的距离等于定长的点的集合

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104、同圆或等圆的半径相等

105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109、定理不在同一直线上的三个点确定一条直线

110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111、推论1

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112、推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113＞圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相

等

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115、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等

那么它们所对应的其余各组量都相等

116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117、推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118、推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

119、推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121、①直线L和C)O相交d<r

②直线L和。O相切d=r

③直线L和OO相离d>r

122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124、推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125、推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两

条切线的夹角

127、圆的外切四边形的两组对边的和相等

128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131、推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的

比例中项

133、推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135、①两圆外离d>R+r

②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

④两圆内切d=R-r[R>r)⑤两圆内含d<R-r[R>r)

136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137、定理把圆分成n(n23):

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⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139＞正n边形的每个内角都等于(n-2)X180°/n

140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141^正n边形的面积Sn=Pnrn/2

P表示正n边形的周长

142、正三角形面积J3a∕4

a表示边长

143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此kX(n-2)180o

∕n=360o化为(n-2)(k-2)=4

144、弧长计算公式：L=n□R∕180

145、扇形面积公式：S扇形=nΠR∕360=LR∕2

146、内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

图形认识初步

1、(1)几何图形：我们把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形。

①立体图形：有些几何图形(如长方形，正方体，圆柱，圆锥，球等)的各部分都不在同一平面内，

它们是立体图形。

②平面图形：有些几何图形(如线段，角，三角形，长方形，圆等)的各部分都在同一平面内，它

们是平面图形

(2)从不同方向看物体

①从正面看，可以分清物体的长度和高度

③从左面看，可以分清物体的高度和宽度

④从上面看，可以分清物体的长度和宽度

2、体、面、线，点

体：几何体也简称体

面：包围着体的是面

线：面和面相交的地方是线

点：线和线相交的地方是点

点动成线，线动成面，面动成体

注：(1)一般柱体都可以由底面的平面图形沿棱平移得到

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(2)一般来说，有曲面的几何体，都可以由某一平面图形绕某一直线旋转得到

3、直线，射线，线段

(1)直线的基本性质(直线公理)

经过两点有一条直线，并且只要一条直线，简称为2点确定一条直线

(2)表示方法

用一个小写字母表示，如直线L线段a

用大写字母表示如，线段AB,射线OA

(3)点与直线的位置关系

点在直线上---X---------

A点直线外---P

(4)两直线相交

两条直线相交有一个公共点，即交点

注意公理和定理的区分

(1)命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题

(2)组成：①命题是由题设和结论组成的，题设是已知，结论是由已知推出的事项

②命题可以写成“如果.....那么”的形式

③经过推论证实的真命题叫定理

3、线段的性质

(1)线段的画法

尺规法：用圆规在射线AC上截取AB=a

度量法：先量出线段a的长度，在画出一条等于这个长度的线段

(2)线段的比较

叠合法：即把其中的一条线段移到另一条线段上作比较

度量法：即用刻度尺分别测量出它们的长度作比较

(3)线段的中点

一个点把其中一条线段分成两条相等的线段，这个点就叫做这条线段的中点，类似的还有线段

的3等分点等。

(4)线段公理

两点连线的所有线段中，线段最短

(5)线段距离：连接两点间线段的长度，叫做两点间的距离

4、角

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定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线是角

的两条边。

注：角的大小和边长没有关系

角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，当终止位置和起始位置成一条直线时所

成的角叫做平角，等终止位置和起始位置重合是所形成的的角叫做周角。

(2)角的表示法

①用3个大写字母表示，表示顶点的字母必须写中间

②当顶角处只有一个角时，可以用表示顶角的一个大写字母表示

③用数字或希腊字母表示

(3)角的分类

①锐角：大于0°,小于90°的角

②直角：等于90°的角

④钝角：大于90°,小于180°的角

⑤平角：等于180°的角

⑥周角：等于360°的角

(4)角的度量和换算

①我们常用量角器量角，度，分秒是常用的角度单位，把一个周角360等分，每一份就是1度

的角，记作：1°;同样的还有，把一度的角60等分，记作：1':把1分的角60等分，记作1''

(2)换算方法

①由度化为分秒的形式：1°=60',1'=60''

②由分秒化为度的形式：1''=

③画角的工具：三角板，量角器

(5)角的比较和运算

①比较：可以用量角器量出度数再比较

②和差：两种意义，几何意义和代数意义

(6)角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线

6、余角和补角

①余角

如果两个角的和等于90度，就说明这两个角互为余角

简称互余，其中一个角是另一的角的余角

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②补角

如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补

角

③性质

等角(或同角)的余角补角相等

7、方位角

方位角通常以正南或正北方向为基准，描述物体运动的方向，通常先写正北或正南，在写偏东

或偏西

相交线与平行线

1、两条相交线所形成的角

邻补角：有一条公共边，它们的一条边互为反向延长线，邻补角互补

对顶角：有一个公共点，它们的两边都互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角，

对顶角相等

(1)邻补角和对顶角都是成对出现的

(2)对顶角相等：但相等不一定是对顶角

(3)两条直线相交，形成两组对顶角，分别相等，这一条件作为隐含条件，因此可以直接使用

(4)在两条直线相交所得的四个角中，其中有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角，有公共

顶点且有一条公共边的两个角都是邻补角

2、垂线的相关定义

①垂直：当两条直线相交所形成的4个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线相互垂直。

②垂线：当两条直线相互垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂直

③点到直线的距离：直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线最短，简称“垂线段最短”

注：1、垂线是直线，垂线段是线段

2、斜线段有无数条，而垂线段只有一条

3、在比较两条线段的长短时，要弄清那一条是垂线

3、平行线

①定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。直线a与b平行，记a〃b

②画法：一落-一把三角尺一边落在已知直线上

二靠--…用直尺紧靠三角形的另一边

三移……把三角形沿直尺的边推到三角尺的第一边恰好经过已知点的位置

四画……沿三角尺过已知点的边画直线

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(3)平行线的公理及其推论

①平行公理：经过直线外的一点，有且只有一条直线与这条直线平行，推论：如果两直线都与

第三条直线平行，那么着两条直线互相平行

(4)平行线的判定

①同位角相等，两直线平行

②内错角相等，两直线平行

③同旁内角互补，两直线平行

(5)平行线的性质

①两直线平行，同位角相等

②两直线平行，内错角相等

③两直线平行，同旁内角互补

注：平行线的性质和平行线判定的区别

判定是由角相等或互补推出的直线平行，性质是由直线平行推出的角的相等或互补

2.任务一：空间中的距离问题1-60题

2.1.单选题

1.《九章算术•商功》：“斜解立方，得两塑堵，斜解塑堵，其一为阳马，一为鳖晴.阳马居二,

鳖膈居一，不易之率也.合两鳖牖三而一，验之以基，其形露矣.”文中“阳马”是底面为长方形

且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.在阳马尸-488中，侧棱底面/8C。，且Q4=l,AB=AD=2,

则点A到平面PBo的距离为()

ATB-Tc∙Td∙T

【答案】B

【分析】

利用等体积法有%TBD=%"BD，即可求A到平面PBD的距离.

【详解】

B

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设A到平面心。的距离为〃，则三棱锥PABD的体积为:

；XS"BDXP4=；XS△即x/1,即有:χgχ2χ2χl=*Jχ2√∑χbχ∕;’

：.h=显

3

故选：B.

2.已知直线/过定点力（2,3,1）,且方向向量为W=（0,1,1）,则点P（4,3,2）至【〃的距离为（）

A∙述B.遮C.巫DY

222

【答案】A

【分析】

本题首先可根据题意得出后,然后求出网与万帚最后根据空间点到直线的距离公式即可得出

结果.

【详解】

因为4（2,3,1）,P（4,3,2）,所以N=（2,0,1）,

贝IUM二石，力尸辛i=q,

由点到直线的距离公式得八，I羽L酢W=述，

Y1H2

故选：A.

3.在18C中，AB^AC=5,BC=8,若PN_L平面∕8C,Pzi=4,则点P到8C的距离是（）

A.√5B.5C.3√2D.4√2

【答案】B

【分析】

取BC的中点。，连接PD,AD,即可得到4。_L8。，再由线面垂直，得到PALBC,从而得到BCL面PAD,

即可得到尸DISC,再由勾股定理求出9即可；

【详解】

解：如图，取BC的中点Q,连接P。、AD,

因为/8=/^=5,所以4。，8。，又&_1平面/8（2,8（7匚平面/8（7,所以以，8。，PAoAD=A,PA,ADa

面Λ4O,所以BC_L面?PZ）U面尸/O,所以PD_L8C,在△/•）中，AC=5,CO=4,所以

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AD=y∣AC2-CD2=3,在RtVpw中，PA=4,NO=3,所以尸。=‘?才+,=5

故选：B

4.在四面体P-NBC中，PA,PB,PC两两垂直，设PA=PB=PC=a,则点P到平面/6C的距离为

O

A.—aB.—aC.7D.√6

333

【答案】B

【分析】

取BC中点。，连结N。，作尸O_L平面/8C,交/。于O,由此能求出点P到平面/8C的距离尸。.

【详解】

解：••・在四面体P-48C中，PA,PB,PC两两垂直，PA=PB=PC=a,

:.AB—AC—BC—∖∣2a，

取8C中点。，连结4D,作尸。，平面/8C,交.AD于0,

贝IJAD==号a,

：.Ao2瓜旦,

323

点P到平面/8C的距离PO=卜略）2=存.

故选：B.

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P

5.已知直线/的方向向量为『(1,0,1),点4(1,2,T)在/上,则点P(3,U)到/的距离为()

A.2√2B.1C.3D.2

【答案】B

【分析】

结合点到直线距离公式国Isin@苏)分别计算模长与夹角的正弦值即可计算.

【详解】

由题可知，点P到/的距离为网Sina刊，A4=(-2,l,-2),∣Λ4∣=3,«=(1,0,1),fl=√∑,则

c°sG'刑=||徜=ξ⅛=-半，则SinG网=；,故点P到/的距离为网,SinGW=BxJ=I.

故选：B

6.已知棱长为2的正方体/88-44CQ,E,尸分别为48和BQ的中点，则点3到川的距离为。

A.—B.√2C.—D.√6

22

【答案】A

【分析】

在正方体力88-44Ca中解,再在心中用面积法求边E尸上的高.

【详解】

第22页共148页

连接4G、Be、、FB,则尸为4G与他中点,

因为E为48的中点，所以EF='G,

又正方体NBC4ACQ边长为2,所以

EF=；BC\=6,EB=e,FB=y∣FB^+BB^=√6,

(可+(旬l(√Σ)［小

cosZEBF=

2×√2×√6―2

设3到所的距离为人则

EBXFB_√∣×√6√6

-×EF×h=-×EB×FB×sin--

2262EF2√2^2^

故选：A

7.若平面ɑ的一个法向量为；=(],2,2),点4(3,0,2),8(5,1,3),∕iα,Bwa,A到平面ɑ的距离为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

求出48，点Z到平面α的距离:由此能求出结果

【详解】

解：∙.∙Z(3,0,2),8(5,1,3),Ala,Bea,

18为平而ɑ的一条斜线，Hy⅛=(2,l,l)

VB''∖∣1×2+2×1+2×1∣6

...点A到平面匕的距离：d=⅛jJ/,2,=/2

222

”√l+2+23

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故选：B.

8.已知/(2,l,0),8(l,0,l),C(3,2,3),则点Z到直线8C的距离为()

B.1C.逅

D.ʌ/ð

AT32

【答案】A

【分析】

BABC-∕i

先求得=(1,1,-1),SC=(2,2,2),得到向量回在於方向上的投影为进而求得点N到直

~∖BC∖~~y

线8C的距离.

【详解】

由4(2,1,0),B(L(M),C(3,2,3),可得切=(IJT),宓=(2,2,2),

则向量防在斯方向上的投影为包翳=产2：2=好,

∖BC∖√22÷22+223

所以点Z到直线BC的距离Jl西2J旦匹丫=亚.

VI∖BC∖J3

故选：A.

9.如图，在棱长为2的正方体∕BCD-4BICIDl中，E为BC的中点，点P在线段DIE上，点P到直

线CCl的距离的最小值为()

A.∣√5B.—

55

C.—D.-^-√5

1010

【答案】A

【分析】

建立空间直角坐标系，将点P到直线CG的距离的最小值转化为异面直线DIE与CCl的距离，利用空

间向量可求得结果.

【详解】

以。为原点，3DC,必分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，

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则E(L2,0),Ol(0,0,2),C(0,2,0),Cl(0,2,2),

西=(-1,-2,2),Cζ=(0,0,2),C£=(1,0,0),

设力=(x,y,z),a1CC1,it1EDt,

则小无=(χ,y,z)∙(0,0,2)=0,.∙∙z=0,

HED1=(χ,y,z]∙(-11—2,2)=-x-2y+2